Operasjonsanalytiske emner Del 23 Forecasting 3 Metoder Prognosemodeller

Operasjonsanalytiske emner Del 23 Forecasting 3 - Metoder Prognosemodeller basert på Tidsserieanalyse BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 1

Forskjellige prediksjonsmodeller Data Modeller som tillater skift i nivå/trend/sesong Stasjonære Glidende gjennomsnitt data Konstant nivå med tilfeldige variasjoner Sesong Konstant nivå med sykliske variasjoner Trend Langsiktig generell endring i nivå Trend & Sesong Veid glidende gjennomsnitt Eksponensiell glatting / additiv sesong Eksponensiell glatting / multiplikativ sesong Dobbelt glidende gjennomsnitt Holt’s metode (dobbel eksponensiell glatting) Holt-Winter med additiv sesong Holt-Winter med multiplikativ sesong BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 2

Alternative modeller Pegel’s klassifikasjon Trend Sesongkomponent Ingen Additiv Multiplikativ Ingen A-1 A-2 A-3 Additiv B-1 B-2 B-3 Multiplikativ C-1 C-2 C-3 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 3

Holt-Winter og endringer 400 450 Additiv sesong 350 400 350 Multiplikativ sesong 300 250 200 150 100 50 50 0 4 8 12 16 20 4 250 Skifta i nivå 300 0 24 250 8 12 16 20 24 Skift i trend 200 150 100 50 50 0 4 8 12 16 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 20 24 0 4 8 12 Rasmussen 4

Tidsserier og REGRESJON Data Modeller som IKKE tillater skift i nivå/trend/sesong Trend Lineær trend Langsiktig generell endring i nivå Kvadratisk trend Trend & Sesong Trend (lineær eller kvadratisk), additiv eller multiplikativ sesongjustering. Langsiktig generell endring i nivå og repeterte variasjoner rundt trendlinjen Regresjon med trend (lineær eller kvadratisk) og additiv sesong BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 5

Ekstrapoleringsmodeller forsøker å ta hensyn til tidligere utvikling i en tidsserievariabel i et forsøk på å predikere den framtidige utviklingen av den samme variabelen. Vi skal først ta for oss forskjellige ekstrapoleringsteknikker som passer for stasjonære data. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 6

TIDSSERIE Periode t Variabel Yt 1 2 …. . t-1 t t+1 Tid t+2 t Y 1 Y 2 Yt-1 Yt Yt+1? O B S E R V A S J O N S E R Yt+2 ? PREDIKSJONER Nå Basert på de historiske observasjonene skal vi forsøke å framskrive et datamønster for å lage prognoser for framtiden. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 7

Stasjonær data Stasjonær serie med skift i nivå 140 130 120 110 100 90 80 70 60 50 0 4 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 8 12 16 20 24 Rasmussen 8

Variabel Yt Lt KONSTANTMODELLEN Nå BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Tid t Rasmussen 9

KONSTANTMODELLEN Yt Lt Tid t Data-modell: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Prognose-modell: Rasmussen 10

ANSLAG PÅ NIVÅ – Naiv metode: metode Yt Lt Prognose-modell: Tid t Bruker kun siste observasjon som anslag på nivået. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 11

ANSLAG PÅ NIVÅ – Glidende gjennomsnitt: gjennomsnitt Det finnes ingen generell metode for å bestemme n. Vi må forsøke med forskjellige verdier for n for å se hvilken som virker best. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 12

ANSLAG PÅ NIVÅ – Veid glidende gj. sn Glidende gjennomsnitt veier alle tidligere observasjoner likt : Veid glidende gjennomsnitt tillater at tidligere observasjoner vektlegges forskjellig. Vi må bestemme verdier for n og alle wi BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 13

ANSLAG PÅ NIVÅ – eksponensiell glatting Observert verdi: Nivå/Level: Forecast: Konstantmodellen: Vi antar et konstant nivå, og bruker det anslåtte nivået som prognose for kommende perioder. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 14

(A 1) Ingen trend – Ingen sesong Modell 140 Modell 120 100 80 60 40 20 0 0 4 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 8 12 16 20 24 28 Rasmussen 15

(A 1) Data fordelt rundt nivået 140 Data Modell 120 100 80 60 40 20 0 0 4 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 8 12 16 20 24 28 Rasmussen 16

Lav glattingskonstant ( = 0, 1) 140 Data Modell 120 F (α=0, 1) 100 80 60 40 20 0 0 4 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 8 12 16 20 24 28 Rasmussen 17

Høy glattingskonstant ( = 0, 9) 140 Data F (α=0, 9) 120 100 80 60 40 20 0 0 4 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 8 12 16 20 24 28 Rasmussen 18

Idéen bak eksponensiell glatting Prognose lik nivå (konstantmodellen) Nivåoppdatering Gjennomsnitt av data og prognose Forrige prognose korrigert for prognosefeil BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 19

Gamle data vektlegges minst BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 20

ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting a. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Prognose-modell: Kan betrakte eksponentiell glatting som et veid gjennomsnitt av alle observasjoner, der siste observasjon har størst vekt. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 21

ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting b. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Kan betrakte eksponentiell glatting som en veid sum av siste observasjon og forrige estimat. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 22

ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting c. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Kan betrakte eksponentiell glatting som en forventet verdi, gitt siste observasjon. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 23

ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting d. Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Kan betrakte eksponentiell glatting som en oppdatering basert på korreksjon av prediksjonsfeil. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 24

ANSLAG PÅ NIVÅ - Eksponentiell glatting Eksponentiell glattet gjennomsnitt: Gjennomsnitt av data og prognose Korreksjon for prognosefeil Oppdatering av nivå Ulike måter å tolke eksponentiell glatting, men samme matematiske konklusjon! BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 25

Eksponensiell glatting En lav glattingskonstant vektlegger nye observasjoner lite – glatter ut prognosen. En høy glattingskonstant vektlegger nye observasjoner mye – prognosen følger utviklingen i dataene. Tilpassingen i prognosene vil alltid ligge minst én periode bak utviklingen i dataene. Dilemma: Høy glattingskonstant tilpasser seg raskt endringer – men også tilfeldig støy. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 26

Adaptiv enkel eksponensiell glatting (ARRSES) I enkel eksponensiell glatting er utjevningskonstanten den samme i alle perioder. Adaptive Response Rate Single Exponential Smooting (ARRSES) lar variere over tid. justeres proporsjonalt med estimerte prediksjonsfeil. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 27

ARRSES BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 28

(A-1) Ingen trend – Ingen sesong Level: Forecast: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 29

(A-2) Uten trend - Additiv sesong Level: Sesonal: Forecast: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 30

(A-3) Uten trend - Multiplikativ sesong Level: Sesonal: Forecast: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 31

(B-1) Additiv trend - Ingen sesong Level: Trend: Forecast: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 32

(B-2) Additiv trend - Additiv sesong Level: Trend: Sesonal: Forecast: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 33

(B-3) Additiv trend - Multiplikativ sesong Level: Trend: Sesonal: Forecast: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 34

(C-1) Multiplikativ trend – Ingen sesong Level: Trend: Forecast: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 35

(C-2) Multiplikativ trend - Additiv sesong Level: Trend: Sesonal: Forecast: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 36

(C-3) Multiplikativ trend - Multiplikativ sesong Level: Trend: Sesonal: Forecast: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 37

Normalisering av sesongfaktorene Sesongfaktorene bør normaliseres for å unngå systematiske prediksjonsfeil. Gjennomsnitt sesong: Vi beregner gjennomsnittet av de s siste sesongfaktorene. Dette gjennomsnittet bør være 1 for modeller med multiplikativ sesong, og 0 for additive. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 38

Normalisering av sesongfaktorene Normalisering av additiv sesongmodell Sesonal: Normalisering av multiplikativ sesongmodell Sesonal: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 39

Normalisering av sesongfaktorene Normaliseringen er en rekursiv prosedyre: Vi beregner først ”unormaliserte” sesongeffekter, for hele syklusen s. Så beregnes gjennomsnittet for syklusen. Vi normaliserer så de s siste sesongfaktorene. For neste periode beregnes et nytt gjennomsnitt, og ny normalisering foretas. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 40

Initialisering Oppdatering av nivå (L), trend (b) og sesong (S) refererer til forrige periode. Når tidsserien starter (t=1), har vi ingen tidligere verdier å bygge på. Vi må derfor estimere startverdier i periode 0 for nivå og trend. Sesongparametrene må estimeres for periode 0, -1, . . , -(s-1). BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 41

Initialisering – (B 3) Trendlinje/Nivå V 2 V 1 -3 -2 -1 0 1 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t Rasmussen 42

Startverdier Del datasettet i to: En initialserie for å estimere startverdier En tilpasningsserie for å teste glattingsparametrene Hvis vi har N sykluser (år) med data, bruk de M første til initialserien. Beregn gjennomsnittet i første og siste syklus i initialserien: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 43

Startverdier: Trend & Nivå Startverdi trend Startverdi nivå Trend er endringen i gjennomsnittet, i forhold til antall sesonger mellom gjennomsnittene. Nivå er gjennomsnittet i første syklus, fratrukket trenden fram til tidspunkt 0. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 44

Startverdier (forts. ) Trendlinjen Tilsynelatende sesongfaktorer Initiale sesongfaktorer BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 45

Startverdier (forts. ) Initial gjennomsnitt : Normalisering : Initiale sesongfaktorer angis for syklusen første datasett. En sesongfaktor er gjennomsnittet av hver tilsvarende sesong over alle syklusene i initialserien. Deretter normaliseres de. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 46

Oppdatering i initialserien Etter å ha beregnet startverdier for nivå, trend og sesong; L 0, b 0 og S 0, . . , S-p+1 : Velg verdier på parametrene , , . Oppdater for hver periode i initialserien verdiene for Lt, bt og St, og normaliser de s siste sesongfaktorene. Dette gjøres for alle periodene t = 1, . . , s M. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 47

Prognoser i testserien Lag énperiodiske prediksjoner i tilpassingsserien: Registrer prediksjonsfeilen: Oppdater nivå, trend og sesong; Lt, bt og St, og normaliser de s siste sesongfaktorene. Dette gjøres for alle periodene: t = s M+1, . . , s N BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 48

Test av prognosene 1. Beregn et feilmål for prediksjonsfeilene i tilpassingsserien: 2. Velg et annet sett av , , . Oppdater initialserien med de nye vektene. Lag prediksjoner og oppdater i tilpassingsserien. Beregn feilmålet for de nye vektene. Gjenta prosedyren fra trinn 2 inntil en oppnår akseptable prediksjonsfeil. (Alternativ: bruk Solver. ) 3. 4. 5. 6. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 49

Betydningen av initialisering Eksponensiell glatting legger minst vekt på gamle data. Et stort datasett betyr at gamle verdier/startverdiene har liten betydning. MEN: En lav utjevningskonstant reduserer denne effekten. Når utjevningskonstanten = 0 bygger prognosene KUN på startverdiene! BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 50

Momenter ved feilminimering God tilpassing til historiske data gir ikke nødvendigvis gode prognoser for framtiden. Overtilpassing av historiske data medfører at stokastiske variasjoner er inkludert i modellen. Overtilpassing er en like stor feil som å feilestimere de systematiske mønstrene. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 51

”Optimale” startverdier I steden for å benytte formler og estimere startverdier ut fra data i initialserien, kan startverdiene optimeres på samme måte som glattingskonstantene , og . Hvis optimale glattingskonstanter = 0, så vil startverdiene alene bestemme prognosene. For store , og betyr startverdiene lite. (Idéen bak eksponensiell glatting. ) BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 52

”Optimale” glattingskonstanter Glattingskonstantene , og blir vanligvis optimert for best mulig tilpassing i tilpassingsserien. Hvis optimale glattingskonstanter er små, vil prognosene i liten grad tilpasse seg endringer i dataserien. Det er gunstig hvis det grunnleggende datamønsteret er stabilt, og endringene bare tilfeldige. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 53

”Manuelle” glattingskonstanter Hvis det er grunn for å tro at de seneste endringene i datamønsteret er utslag av reelle endringer, bør glattingskonstantene være store. Store glattingskonstanter vil derved sørge for at prognosene reflekterer de seneste endringene i dataene. ”Optimale” glattingskonstanter fokuserer ensidig på historiske prognosefeil, og er ikke framtidsrettet. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 54

Sammenlignbare tester Forskjellige prediksjonsmetoder bruker forskjellige prosedyrer i tilpassingsfasen. Eksponensiell glatting er avhengig av initialiseringsfasen. Dekomponeringsteknikker inkluderer trend/syklus i tilpassingsfasen som om den er kjent. Regresjon vektlegger alle observasjoner likt. Box-Jenkins metoder minimerer MSE vha. ikke-lineære optimeringsmetoder. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 55

Initialiseringsdata og Testdata For å gjøre de forskjellige metodene sammenlignbare, deles dataene inn i tre: Initialiseringsdataene brukes til å beregne startverdier. Tilpassingsserien brukes til å finne gode glattingskonstanter, dvs. modellparametre. Blindtesten brukes til å estimere prediksjonsfeil for ”genuine” prognoser, dvs. data som ikke har vært brukt til å tilpasse prognosene. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 56

Tilpassing til gamle data Hvis vi bruker initialserien til å estimere startverdier og tilpassingsserien til å finne optimale modellparametre, og testserien kun til å sammenligne alternative modeller, da har vi tilpasset modellen til de eldste dataene, og valgt den modellen som så gir best tilpassing i tilpassingsserien. Vi antar at det estimerte mønsteret i tilpassingsserien er stabilt og gjelder også for blindtesten. Men er det fornuftig å anta at dette mønsteret også er stabilt i framtiden? BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 57

Tilpassning til nye data Burde vi isteden latt modellene optimere glattingskonstantene for blindtesten, dvs. de siste observasjonene? Da velger vi den modellen som best beskriver de seneste dataene, uten å anta at mønsteret i dataene i initieringsfasen er stabilt. Vi får modeller som er bedre tilpasset de siste endringene. Men da mister vi muligheten til å foreta ”blindtester” av modellene. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 58

Overtilpassing Om vi tilpasser modellen bare til de seneste data, kan vi lett gå i fellen og overtilpasse modellen. Dvs. vi får en modell som veldig godt passer dataene i testserien, faktisk så godt at den også forklarer tilfeldige variasjoner. De tilfeldige variasjonene er ikke de samme i framtiden! BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 59