Operasjonsanalytiske emner Del 13 Inventory Models Economic Order

Operasjonsanalytiske emner Del 13 Inventory Models Economic Order Quantity EOQ modeller BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 1

Introduksjon De fleste bedrifter har lager av både råvarer, deler og ferdigvarer. Årsakene til lagerhold er mange: det er ofte både upraktisk og kostbart å motta varer i samme øyeblikk de skal forbrukes; det kan være uventede variasjoner i leveringstider og i eget behov; samt ønske eller krav om sikkerhetslager, etc. Det er imidlertid store verdier bundet opp i lager, og lagringskostnadene er også betydelige. En ønsker derfor å finne lagerrutiner og lagernivå som økonomisk sett er optimale. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 2

Kostnader i lagermodeller - 1 Bestillings- og klargjøringskostnader. Kostnader ved bestilling og mottak av varer som ikke varierer med ordrestørrelsen kalles bestillingskostnader. Ved egenproduserte varer er dette ofte klargjøringskostnader for produksjonen. Enhetspris/kjøpspris. Dette er den variable enhetskostnaden (inkludert transportkostnader) ved å kjøpe en enhet av varen (eller ved egenproduksjon). BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 3

Kostnader i lagermodeller - 2 Lagerholdkostnader. Dette er kostnaden ved å ha en enhet av varen på lager i en periode. Om periodelengden er ett år, er benevnelsen kroner pr. enhet pr. år. Denne kostnaden består av lagerkostnad, forsikring, kostnad for svinn eller ukurans, og ikke minst kapitalkostnad. Lagerholdkostnaden angis enten som et kronebeløp pr. enhet på lager, eller som en %sats av varens kostnad. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 4

Kostnader i lagermodeller - 3 Etterbestillingskostnader. Om vi ikke kan levere til en kunde pga. tomt lager oppstår det stock-out. Om kunden aksepterer etterbestilling kan vi levere senere, ellers er det et tapt salg. Etterbestillingskostnadene inneholder ekstrakostnadene ved å administrere dette, samt tapt goodwill, redusert salg, ekstra leveringskostnader, etc. Etterbestillingskostnadene er ofte meget vanskelig å måle og tallfeste. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 5

Forutsetninger i EOQ modeller Repeterende bestillinger. Ordrebestillingene gjentas jevnlig, det er ikke en engangsforeteelse. Konstant etterspørsel. Etterspørsel eller behov er kjent og er konstant pr. tidsenhet. Et gitt årsbehov vil for eksempel tilsvare et tilsvarende konstant ukebehov, etc. Konstant leveringstid (lead time). Leveringstiden er tiden fra bestilling foretas til levering mottas. Denne tiden er kjent og konstant. Kontinuerlig bestilling. Varer kan bestilles til enhver tid. I motsatt fall har vi periodiske bestillingsmodeller, som bare vurderer nye bestillinger på faste tidspunkt/perioder. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 6

Standard EOQ modell Etterspørselen (D enheter pr år) er kjent og konstant. Når en ordre bestilles, uansett størrelse (q enheter), så påløper en bestillingskostnad (K kroner). Leveringstiden (L) for hver ordre er null. Det tillattes ingen etterbestillinger (ikke tomt lager). Årlig enhetskostnad for en vare på lager er h kroner. Enhetsprisen p er konstant (ikke avhengig av q). BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 7

Egenskaper ved standard EOQ Siden ledetiden L = 0, vil det aldri være lønnsomt å foreta en bestilling hvis lagernivået I 0, fordi det da påløper en unødvendig lagerholdskostnad. Når lagernivået I = 0 må en foreta en ny bestilling, ettersom det ikke tillates tomt lager. Det medfører at en står overfor nøyaktig samme situasjon hver gang en ny bestilling foretas, følgelig bør en bestille samme kvantum hver gang. La q være mengden som bestilles hver gang lagermengden I = 0. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 8

Kostnader for EOQ modeller - 1 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 9

Kostnader for EOQ modeller - 2 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 10

Lagernivå I (Inventory) Gjennomsnittslager BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 11

Lagernivå og syklus BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 12

Lagerholdskostnaden BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 13

Kostnader for EOQ modeller - 3 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 14

Optimalt bestillingskvantum: q* BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 15

Egenskaper optimalt bestillingskvantum BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 16

Poenger ved optimalt bestillingskvantum BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 17

Optimal løsning BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 18

Bestillingskost og lagerholdskostnad BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 19

Eksempel 1 Et firma har et årlig forbruk lik 500 enheter av en artikkel som koster kr. 0, 40 pr. enhet. Bestillingskostnden er kr. 5, - hver gang, og lagerholdskostnaden er lik kr. 0, 08 pr. enhet pr. år. D = 500 enheter pr. år h = kr. 0, 08 pr. enhet pr. år K = kr. 5, 00 pr. ordre Man bør bestille 250 enheter hver gang lageret er 0. Ordrer pr år: Tid mellom bestillinger/lengde av en syklus: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 20

Standard EOQ Solver finner q* (Regnearket inneholder ikke formel for q, det er en beslutningsvariabel. ) BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 21

Sensitivitetsanalyse Ettersom årlig innkjøpskostnad er upåvirket av bestillingskvantumet (totalt kvantum = årlig behov), er det tilstrekkelig å se på lagerhold og bestillingskostnadene. Om kurven for totale bestillings- og lagerholds-kostnader er ganske flat nær optimumspunktet q*, vil små avvik i bestillingskvantumet medføre små kostnadsøkninger. Unøyaktige anslag på h og k vil i slike tilfeller medføre at estimert q* kun vil ha et lite avvik fra korrekt verdi, og bare medføre små kostnadsøkninger. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 22

Prosentvise lagerholdskostnader BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 23

Eksempel 2 Et varehus selger 10 000 kamera hvert år, som koster kr. 100, - pr. stk. Det koster kr. 5, - å foreta en bestilling, og lagerholdskostnadene utgjør 20% av lagerverdien. D = 10. 000 enheter pr. år hd = 20% pr. år K = kr. 5, 00 pr. ordre P = 100, - pr. enhet Man bør bestille 70, 7 kamera hver gang lageret er 0. Bestillingskvantumet må vanligvis være et heltall. Vi vet fra sensitivitetsanalysen at det normalt ikke vil være noen vesentlig forskjell i kostnaden om man bestiller 70 eller 71 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 24

%vis lagerholdskostnad BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 25

Bestillingstidspunkt Bestillingspunktet er det lagernivået som angir når ny bestilling skal foretas. Når leveringstiden L = 0, 0 bestilles q* enheter straks lageret er tomt. Når L > 0 foretas ny bestilling slik at lageret er tomt akkurat når ny levering ankommer lageret. Bestillingskostnader og lagerholdskostnader er upåvirket av L, og EOQ-modellen gir samme q*. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 26

Bestillingspunkt Hvis L D EOQ (dvs. bestillingskvantum q*): Bestillingspunkt = L D Ordren vil ankomme L tidsenheter senere, og lageret vil da være lik L D – L D = 0 (lager – etterspørsel). Hvis L D EOQ : Bestillingspunkt = q* MOD(L D; q*) hvor MOD(L D; q*) angir desimaldelen av divisjonen mellom teller L D og nevner q*. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 27

Eksempel 3 Årlig forbruk er 500 enheter til pris kr. 0, 40 pr. enhet. Bestillingskostnaden er kr. 5, - hver gang, og lagerholdskostnaden er lik kr. 0, 08 pr. enhet pr. år. D = 500 enheter pr. år h = kr. 0, 08 pr. enhet pr. år K = kr. 5, 00 pr. ordre Ledetiden er 1 måned: Bestillingspunkt, når lageret er lik Ledetiden er 15 måneder: Bestillingspunkt: BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 28

Leveringstid og bestillingspunkt BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 29

Kvantumsrabatter Noen ganger er innkjøpsprisen avhengig av mengden. I så fall er årlige innkjøpskostnader ikke lenger upåvirket av innkjøpskvantumet. Hvis lagerholdskostnadene utgjør en andel av lagerverdien, så vil også lagerholdskostnaden pr. enhet avhenge av bestillingsmengden. Hvis enhetsprisen er avhengig av bestillingsmengden må vi ta hensyn til totale innkjøpskostnader, i tillegg til lagerholdskostnadene og bestillingskostnadene. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 30

Rabattgrenser Innkjøpskvantum q Enhetspris p 0 q b 1 p 1 b 1 q b 2 p 2 : : bk-2 q bk-1 pk-1 bk-1 q bk = pk • Hvis innkjøpskvantum q er mindre enn rabattgrensen b 1, så koster hver enhet p 1 kroner. • Hvis innkjøpskvantum q er større eller lik b 1 men mindre enn b 2, så koster hver enhet p 2 kroner. • Hvis innkjøpskvantum q er større eller lik bk-2 men mindre enn bk-1, så koster hver enhet pk-1 kroner. • Hvis innkjøpskvantum q er større eller lik bk-1, så koster hver enhet pk kroner. Ettersom mengdene b 1, b 2, …, bk-1 er punktene der prisen endres, kalles disse for knekkpunkter. Siden større ordrer assosieres med lavere priser, bør forholdet være pk pk-1 … p 2 p 1. Merk at vi har k-1 knekkpunkter for k ulike priser. (bk = ) BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 31

Definisjoner TCi(q) = årlige totale kostnader (lagerholdskostnader, innkjøpskostnader og bestillingskostnader) hvis hver ordre er på q enheter til en pris pi pr. enhet. EOQi = den mengden som minimerer årlige totale kostnader, hvis innkjøpskostnaden for hver enhet er pi. EOQi er en tillatt mulig løsning hvis bi-1 EOQi bi. TC(q) = faktisk årlig totalkostnad hvis q enheter bestilles hver gang. TC(q) beregnes ved å bruke prisen pi hvis bi-1 q bi. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 32

Kostnadsforhold 1 For en vilkårlig gitt verdi av q har vi at: TCk(q) TCk-1(q) … TC 2(q) TC 1(q) Fordi TCk(q) vil ha lavest lagerholds og innkjøpskostnader siden pk er den laveste tilgjengelige prisen, og TC 1(q) vil ha størst lagerholds og innkjøpskostnader siden p 1 er den høyeste prisen. Bestillingskostnadene vil være den samme for en gitt verdi på q. (Samme antall bestillinger til samme kostnad). BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 33

Kostnadsforhold 1 TC TC 1(q) TC 2(q) TC 3(q) b 1 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER b 2 q Rasmussen 34

Kostnadsforhold 2 Hvis EOQi er en tillatt løsning så vil minimum kost for bi-1 q bi skje for q = EOQi. Hvis EOQi bi-1 så vil minimum kost for bi-1 q bi skje for q = bi-1. Dette skyldes at TCi(q) synker for q EOQi og øker for q EOQi. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 35

Optimum i et EOQ -punkt TC TC 1(q) TC 2(q) TC 3(q) b 1 EOQ 1 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER EOQ 2 EOQ 3 b 2 q Rasmussen 36

Optimum i et knekkpunkt TC TC 1(q) TC 2(q) TC 3(q) b 1 EOQ 1 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER EOQ 2 EOQ 3 b 2 q Rasmussen 37

Kostnadsforhold 3 Hvis EOQi er en tillatt løsning så kan ikke TC(q) minimeres ved et bestillingskvantum der enhetsprisen overskrider pi. Derfor, hvis EOQi er en tillatt løsning må optimalt bestillingskvantum skje enten for pris pi, pi+1, …, eller pk, dvs. for prisen pi eller en lavere pris. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 38

Løsningsmetode kvantumsrabatter BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 39

Eksempel 4 En bedrift bruker 1 000 enheter av et produkt hvert år. Bestillingskostnaden er anslått til kr. 100, - pr. ordre, mens lagerholdskostnadene bare tilsvarer kapitalkostnaden på 20% pr. år. Leverandøren tilbyr følgende priser: Innkjøpskvantum q Enhetspris p 0 q 100 50, 00 100 q 300 49, 00 q 300 48, 50 Her er knekkpunktene: b 1 = 100 og b 2 = 300. Enhetsprisene er: p 1 = 50, 00, p 2 = 49, 00 og p 3 = 48, 50 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 40

Løsningsmetode BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 41

Løsning Eksempel 4 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 42

Løsning Eksempel 4, forts. Årlige bestillingskostnader Årlige innkjøpskostnader Årlige lagerholdskostnader Årlige totale kostnader BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER TC 3(300) = 333, 33 699, 99 48. 500, 00 49. 000, 00 1. 455, 00 700, 01 50. 288, 33 TC 2(142, 86) = 50. 400, 00 Rasmussen 43

Kvantumsrabatter BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 44

Kontinuerlig levering I en standard EOQ modell antas det at alle varene i en bestilling leveres samlet og samtidig, ikke som delleveranser. I noen situasjoner vil imidlertid varene mottas kontinuerlig, dvs. fortløpende etter hvert som de produseres. Dette gjelder oftest når bedriften selv produserer produktene. Vi skal fortsatt anta at etterspørselen er kjent og jevn, og at en ikke tillater å gå tom for varen. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 45

Symboler ved kontinuerlig levering r = produksjonskapasitet (antall stk. ) pr. tidsenhet (år) r t = produksjon i løpet av en tidsperiode t. q = antall enheter produsert i en produksjonsserie. K = kostnaden ved å klargjøre for en produksjonsserie. h = kostnaden ved å holde en enhet på lager i ett år. D = årlig etterspørsel etter produktet. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 46

Lagernivå ved kontinuerlig tilførsel BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 47

Produksjon og lager BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 48

Gjennomsnittslager ved kontinuerlig tilførsel Gjennomsnittslager BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 49

Lagerholdskostnader BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 50

Klargjøringskostnadene BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 51

Årlig lagerhold og klargjøringskostnad BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 52

Eksempel 5 En bilprodusent må produsere 10. 000 bilrammer pr. år, til en verdi av kr. 2. 000, pr. stk. Fabrikken har en kapasitet på 25. 000 bilrammer pr. år, og det koster kr. 200, - å klargjøre for en produksjonsserie. Lagerholdskostnaden er 25% av lagerverdien pr. år. Hva er optimal seriestørrelse? Hvor mange produksjonsserier bør kjøres hvert år? BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 53

Løsning Eksempel 5 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 54

Serieproduksjon BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 55

Lagermodell med etterbestilling Vi har så langt antatt at all etterspørsel tilfredsstilles øyeblikkelig. I virkeligheten hender det at lageret går tomt, og ikke all etterspørsel kan dekkes umiddelbart. Vi skal nå tillate etterbestillinger, dvs. at når lageret går tomt så vil kundene få varene levert senere, straks ny levering ankommer. Vi kaller dette også manko. Modellen antar altså at etterspørselen ikke reduseres, men at etterbestillinger medfører ekstra kostnader som tapt goodwill, ekstra administrasjonskostnader, etc. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 56

Symboler ved etterbestilling Etterspørselen (D enheter pr år) er kjent og konstant. Når en ordre bestilles, uansett størrelse (q enheter), så påløper en bestillingskostnad (K kroner). Årlig enhetskostnad for en vare på lager er h kroner. Kostnaden ved etterbestillinger er s kroner pr. stk. /år. Maksimum lager er M enheter. Maksimum etterbestillingskvantum er q – M enheter. Leveringstiden (L) for hver ordre er null. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 57

Lagernivå I (Inventory) BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 58

Lager og etterbestillinger En ny ordre bestilles (og leveres umiddelbart) når etterbestillingene er q – M , dvs. ved et negativt lagernivå lik M – q. Når ordren på q enheter ankommer er altså maksimalt lager lik M – q + q = M. Tiden mellom hver ordre kalles en ordresyklus, og tilsvarer 0 b i figuren (som er lik bd, etc. ). I hver syklus påløper det lagerholdskostnader (intervallet 0 a) og etterbestillingskostnader (intervallet ab). BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 59

Sykluser med lager og manko BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 60

Lagerholdkostnader ved manko BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 61

Etterbestillingskostnader ved manko BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 62

Totale kostnader ved manko BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 63

Eksempel 6 Hvert år selger en optiker 10. 000 brilleinnfatninger. Firmaet bestiller fra en produsent som tar kr. 15, - pr. innfatning. For hver bestilling påløper det bestillingskostnader på kr. 50, -. Årlig lagerholdskostnad er 30% av lagerverdien. Om optikeren for øyeblikket er tom, så tas det opp etterbestilling for kundene. Dette medfører tap av goodwill o. l. på kr. 15, - pr. år pr. innfatning i manko. Hva er optimalt bestillingskvantum og optimal manko? Hvor stort er maksimallageret? BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 64

Løsning Eksempel 6 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 65

Etterbestillinger BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 66

Manko og kontinuerlig levering Etterspørselen (D enheter pr år) er kjent og konstant. Når en serie startes, uansett størrelse (q enheter), så påløper en klargjøringskostnad (K kroner). Produksjonskapasitet (antall stk. ) pr. tidsenhet (år) = r Årlig enhetskostnad for en vare på lager er h kroner. Kostnaden ved etterbestillinger er s kroner pr. stk. /år. Maksimum lager er M enheter. Maksimum manko er S enheter. BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 67

Løsning manko og seriestørrelse BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 68

Slutt på kapittel 13 BØK 710 OPERASJONSANALYTISKE EMNER Rasmussen 69