Metodi di Controllo Avanzati Prof Laura Giarr Laura

Metodi di Controllo Avanzati Prof. Laura Giarré Laura. Giarre@UNIMORE. IT https: //giarre. wordpress. com/ca/

Metodi di controllo avanzati • Compensazione in avanti del riferimento • Prefiltraggio del segnale di riferimento • Controllo in cascata • Compensazione in avanti di un disturbo misurabile Metodo di controllo avanzati CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 2

Compensazione in avanti del riferimento • Uno schema consente di unire i vantaggi del controllo in avanti (feedforward), ovvero prestazioni ottime in condizioni nominali, con quelli del controllo in retroazione (feedback), ovvero robustezza rispetto alle incertezze è il seguente Progettato invertendo la dinamica dell’impianto, al fine di avere inseguimento perfetto (e(t)=0) in condizioni nominali + - + Progettato al fine di garantire le specifiche del sistema retroazionato in maniera robusta rispetto ad incertezze sulla dinamica del sistema e rispetto a disturbi esterni non noti Metodo di controllo avanzati CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 3

Compensazione in avanti del riferimento • La funzione di trasferimento tra set-point e uscita si modifica nel seguente modo: + - Vecchia funzione di sensitività complementare (retroazione) Se Poiché G(s) è strettamente propria, la ideale risulterebbe impropria e quindi non fisicamente realizzabile. Tuttavia è possibile ottenere una funzione che approssima solo in un preciso intervallo frequenziale Metodo di controllo avanzati CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 4

Compensazione in avanti del riferimento • Si considera il dominio della frequenza Trasformata di Fourier • La relazione dovrà essere soddisfatta per quelle pulsazioni dove lo spettro del segnale di riferimento è diverso da zero ( ) aggiunta di poli in per fisica realizzabilità • Altre problematiche realizzative: • Necessità di avere un modello affidabile di G(s) nel campo di pulsazioni in cui agisce il segnale di riferimento • Moderazione della variabile di controllo Metodo di controllo avanzati CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 5

Compensazione in avanti del riferimento • Moderazione della variabile di controllo - Funzione di sensitività del controllo: Nell’ipotesi che si ha che Quindi se e ha grado relativo >0 si ha che la funzione di sensitività del controllo presenta un andamento passa alto Introdurre poli fuori banda in fuori banda Metodo di controllo avanzati e/o evitare di invertire poli di CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 6

Compensazione in avanti del riferimento • Impiego dell’azione in avanti • Presenza di misure “rumorose” (o di ritardi) che limitano la massima pulsazione di attraversamento del guadagno di anello L(j ) ad assumere “bassi” valori Dinamica lenta del sistema in retroazione • Presenza di specifiche sull’uscita controllata che richiedono un tempo di assestamento molto più basso rispetto a quello ottenibile con il solo controllore in retroazione Bode Plot 60 40 20 0 -20 Pulsazione minima a cui agisce il disturbo di misura “n” Metodo di controllo avanzati -40 -60 10 -1 10 0 Incompatibilità delle specifiche CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 10 2 10 Specifica sul tempo di assestamento 3 7

Compensazione in avanti del riferimento • Soluzione nel caso di incompatibilità delle specifiche Bode Plot 60 40 20 0 -20 Pulsazione minima a cui agisce il disturbo di misura “n” -40 -60 10 -1 10 0 Incompatibilità delle specifiche 10 2 10 Specifica sul tempo di assestamento 3 • Progettare il regolatore in retroazione in modo da garantire robustezza asintotica e bassa sensitività ai disturbi • Progettare l’azione in avanti al fine di migliorare il transitorio dell’uscita (in termini di velocità) Metodo di controllo avanzati CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 8

Compensazione in avanti del riferimento • Esempio Specifiche: Polo nell’origine 1) e∞ =0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 0. 02 s, S% ≤ 20% 3) Attenuazione di almeno 20 d. B di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 50 Hz (=314 rad/s) 50 Specifiche contrastanti Bode Diagram Gm = 26. 7 d. B (at 350 rad/sec) , Pm = 59. 7 deg (at 53 rad/sec) Il regolatore è progettato assumendo Magnitude (d. B) 0 -50 -100 -150 Phase (deg) -200 -90 -180 -270 -360 0 10 Metodo di controllo avanzati 1 10 2 10 3 10 Frequency (rad/sec) 4 10 5 10 CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 9

Compensazione in avanti del riferimento • Senza compensazione in avanti - • Ta troppo alto Bode Diagram 50 1. 2 Magnitude (d. B) 0 1 -50 0. 8 -100 -150 y 0. 6 Phase (deg) -200 0 0. 4 -90 0. 2 -180 0 -270 -360 0 10 1 10 2 10 3 10 Frequency (rad/sec) Metodo di controllo avanzati 4 10 5 10 -0. 2 0 CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 0. 02 0. 04 0. 06 0. 08 0. 1 tempo 0. 12 0. 14 0. 16 0. 18 0. 2 10

Compensazione in avanti del riferimento • Si considera ora un’azione in avanti che approssimi invertendo il polo più lento (e quindi dominante) in s = 100 La funzione di trasferimento tra disturbo “n” e uscita rimane -F(s) Bode Diagram Magnitude (d. B) 100 1. 2 0 1 -100 0. 8 -200 0. 6 y -300 0 Phase (deg) • - 0. 4 -90 0. 2 -180 0 -270 -360 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 5 10 6 10 -0. 2 0 0. 02 Frequency (rad/sec) Metodo di controllo avanzati CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 0. 04 0. 06 0. 08 0. 1 tempo 0. 12 0. 14 0. 16 0. 18 0. 2 11

Compensazione in avanti del riferimento • Implementazione dell’azione in avanti (uff(t)): • Data una fdt a fase minima (poli-zeri “stabili”), e con grado relativo =n-m, si può scrivere con strettamente propria • L’azione in avanti riscritta nel domino temporale come con può essere con Metodo di controllo avanzati CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 12

Compensazione in avanti del riferimento Combinazione lineare del riferimento e Riferimento filtrato dalla delle sue derivate fino all’ordine fdt G 0(s) • Affinchè l’azione di controllo in avanti uff(t) risulti limitata occorre che il riferimento ysp(t) e tutte le sue derivate fino all’ordine siano limitate (continuità fino all’ordine -1) Importanza di una scelta opportuna del segnale di set-point • Particolarmente semplice risulta il caso in cui la fdt G(s) non presenti zeri Metodo di controllo avanzati CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 13

Compensazione in avanti del riferimento • Esempio Specifiche: 1) e∞ =0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 0. 02 s, S% ≤ 20% 3) Attenuazione di almeno 20 d. B di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 50 Hz (=314 rad/s) Magnitude (d. B) 50 Polo nell’origine Specifiche contrastanti Bode Diagram Gm = 20 d. B (at 224 rad/sec) , Pm = 56. 2 deg (at 52. 8 rad/sec) Il regolatore è progettato assumendo 0 -50 -100 Phase (deg) -150 -90 -135 -180 -225 -270 0 10 Metodo di controllo avanzati 1 10 2 10 3 10 4 10 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 14

Compensazione in avanti del riferimento • Si considera una traiettoria polinomiale di grado 3 (continuità di posizione e velocità) (posizione) 0. 5 y sp di durata 1 0 0 0. 01 0. 02 0. 03 0. 04 0. 05 tempo (velocità) 30 20 y sp 10 0 -10 0 0. 01 0. 02 4000 2000 0 -2000 y sp (accelerazione) tempo -4000 0 0. 01 0. 02 tempo CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 15

Compensazione in avanti del riferimento - • Senza compensazione in avanti 1. 4 1. 2 1 0. 8 y u 1 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 0. 02 CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 0. 04 0. 06 0. 08 0. 12 tempo 0. 14 0. 16 0. 18 0. 2 Metodo di controllo avanzati 0 0 0. 02 0. 04 0. 06 0. 08 0. 12 tempo 0. 14 0. 16 0. 18 0. 2 16

Compensazione in avanti del riferimento • Calcolo dell’azione in avanti ottenuta invertendo - Antitrasformando e interpretando l’operatore “s” come operatore di derivazione CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 17

Compensazione in avanti del riferimento • Sfruttando l’azione in avanti 1. 4 1. 2 1 1 0. 8 y u 1. 4 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 0. 02 0. 04 CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 0. 06 0. 08 0. 1 tempo 0. 12 0. 14 0. 16 0. 18 0. 2 Metodo di controllo avanzati 0 0 0. 02 0. 04 0. 06 0. 08 0. 1 tempo 0. 12 0. 14 0. 16 0. 18 0. 2 18

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Filtraggio del segnale di riferimento al fine di modificarne le componenti frequenziali che sono iniettate nel sistema in retroazione + • Obiettivi: a) Progettare Rpf(s) al fine di moderare la variabile di controllo senza alterare le prestazioni dinamiche (tempo di assestamento) del sistema chiuso in retroazione b) Progettare Rpf(s) al fine di ampliare la banda (“open loop”) del sistema controllato c) Cancellare dinamiche parassite del sistema “closed loop” CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 19

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Caso a) Impiego del prefiltraggio per moderare la variabile di controllo • Presenza di limiti di attuazione e di specifiche su Ta “blande” che spingerebbero ad assumere una pulsazione di attraversamento bassa • Presenza di disturbi sull’uscita “d” collocati a pulsazioni che obbliga a imporre pulsazioni di attraversamento con Bode Plot 60 40 20 0 -20 -40 -60 10 Valore desiderato per c al fine di rispettare le specifiche dinamiche e moderare lo sforzo di controllo CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré -1 10 0 Incompatibilità delle specifiche 10 2 10 3 Massima pulsazione a cui agisce il disturbo “d” Metodo di controllo avanzati 20

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Caso a) Soluzione al problema 1) Progettare R(s) in modo da attenuare il disturbo di tipo “d” nel campo di frequenze in cui agisce (imponendo necessariamente delle dinamiche “veloci” al sistema in retroazione rispetto ai tempi di assestamento richiesti e alla necessità di moderare lo sforzo di controllo) 2) “Smussare” il segnale di riferimento in modo da non “eccitare” il sistema in retroazione con componenti spettrali superiori a Rpf(s) progettato sulla base del vincolo sul tempo di assestamento (filtrando tutte le componenti > c*) + R(s) progettato sulla base del vincolo di attenuazione del disturbo (imponendo una pulsazione di attraversamento c > H> c* ) - Legame complessivo tra ysp(t) e y(t) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 21

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Dalla funzione di sensitività complementare complessiva si evince che il prefiltraggio del riferimento modifica (peggiora) il comportamento dinamico del sistema in retroazione • D’altronde, considerando un filtraggio di tipo passa basso, la funzione di sensitività del controllo complessiva risulta attenuata in maniera considerevole alte frequenze Il filtro Rfp(s) dovrebbe: • avere guadagno statico unitario (Rfp(0) =1) al fine di non alterare il valore a regime di y(t) • essere un filtro passa basso con pulsazione di rottura intorno a c* CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 22

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Esempi di filtri • Filtro del primo ordine: • Filtro del secondo ordine reale: Ordine Magnitude (d. B) • Filtri “complessi”: es. filtri di Butterworth Bode Diagram 0 2 -50 3 -100 4 Phase (deg) -150 0 -90 2 -180 3 4 -270 -360 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Metodo di controllo Prof. avanzati Laura Giarré 23

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Caso a) Esempio Specifiche: 1) e∞ =0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 1 s, S% ≤ 20% 3) Attenuazione di almeno 10 d. B di un disturbo “d” che agisce nello spettro d ≤ 3 rad/s Magnitude (d. B) 50 Polo nell’origine Specifiche contrastanti Bode Diagram Gm = 18. 7 d. B (at 40. 8 rad/sec) , Pm = 55 deg (at 10. 5 rad/sec) Il regolatore è progettato assumendo 0 -50 -100 Phase (deg) -150 -90 -135 -180 -225 -270 -1 10 CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 0 10 1 2 10 10 Frequency (rad/sec) 3 10 4 10 Metodo di controllo avanzati 24

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Senza pre-filtro • 1. 4 1. 2 1 y 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 Bode Diagram 20 0 5 10 15 tempo 6 15 5 10 4 0 3 u Magnitude (d. B) 5 -5 2 -10 1 -15 -20 -25 -2 10 0 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 4 10 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré -1 0 5 tempo Metodo di controllo avanzati 25

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Si considera ora un prefiltro del primo ordine 1. 4 1. 2 1 y 0. 8 0. 6 0. 4 con pulsazione di taglio 0. 2 0 Bode Diagram 20 0 5 10 15 tempo 5 -20 4 -40 3 u Magnitude (d. B) 0 6 2 -60 1 -80 0 -100 -2 10 -1 10 0 10 1 2 10 10 3 10 4 10 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati -1 0 5 tempo 26

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Caso b) Impiego del prefiltraggio per ampliare la banda del sistema controllato • Presenza di specifiche “severe” sull’attenuazione di disturbi di tipo “n” e/o presenza di ritardi nel sistema controllato che limitano la massima pulsazione di attraversamento (e quindi la velocità di risposta del sistema) ad essere • Presenza di specifiche sul tempo di assestamento che richiederebbero una pulsazione di attraversamento superiore a quella imposta dai vincoli sopra ( ) Bode Plot 60 40 20 0 -20 Pulsazione minima a cui agisce il disturbo di misura “n” CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré -40 -60 10 -1 10 0 Incompatibilità delle specifiche Metodo di controllo avanzati 10 2 10 Specifica sul tempo di assestamento 3 27

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Caso b) Soluzione al problema 1) Progettare R(s) in modo da attenuare il disturbo di tipo “n” nel campo di frequenze in cui agisce (imponendo necessariamente delle dinamiche “lente” al sistema in retroazione rispetto ai tempi di assestamento richiesti e alla necessità di moderare lo sforzo di controllo) 2) Progettare il pre-filtro come passa alto al fine di ampliare la banda tra il riferimento ysp(t) e l’uscita y(t) Rpf(s) progettato sulla base del vincolo sul tempo di assestamento (amplificando tutte le componenti nel range L < < c*) R(s) progettato sulla base del vincolo di attenuazione del disturbo (imponendo una pulsazione di attraversamento L< c < c* ) + - Legame complessivo tra ysp(t) e y(t) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 28

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Caso b) Esempio Specifiche: 1) e∞ =0 (ingresso a gradino) 2) Ta ≤ 1 s, S% ≤ 20% 3) Attenuazione di almeno 20 d. B di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 5 rad/s Polo nell’origine Specifiche contrastanti Bode Diagram Gm = 30. 9 d. B (at 4. 47 rad/sec) , Pm = 60. 6 deg (at 0. 53 rad/sec) Magnitude (d. B) 50 Il regolatore è progettato assumendo 0 -50 -100 -150 Phase (deg) -200 -90 -135 -180 -225 -270 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 29

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Senza pre-filtro • Poli dominanti Bode Diagram 1. 4 Magnitude (d. B) 50 0 1. 2 -50 1 -100 -150 0. 8 Phase (deg) y -200 0 0. 6 -90 0. 4 -180 0. 2 -270 -2 10 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 0 0 1 2 3 4 5 tempo 6 7 8 9 10 30

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Si considera ora un pre-filtro (passa alto) del secondo ordine, che cancella (quasi perfettamente) i poli dominanti di F(s) e aggiunge altri due poli complessi coniugati con (vedi specifica 2)) • La funzione di trasferimento tra disturbo “n” e uscita rimane -F(s) Bode Diagram 50 1. 4 Magnitude (d. B) 0 1. 2 -50 1 -100 -150 y 0. 8 -200 180 0. 6 Phase (deg) 90 0. 4 0 -90 0. 2 -180 -270 -2 10 CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 0 0 1 Frequency (rad/sec) Metodo di controllo avanzati 2 3 4 5 tempo 6 7 8 9 10 31

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Caso c) Impiego del prefiltraggio per cancellare dinamiche parassite del sistema “closed loop” • Presenza di dinamiche parassite nel sistema in retroazione, es. coppie polizeri quasi in cancellazione entro la banda del sistema con Pole-Zero Map 8 0. 91 0. 83 0. 72 0. 58 7. 5 5 0. 72 0. 58 0. 4 Dinamiche parassite 0. 2 6 0. 96 Dinamiche fuori banda 4 Imaginary Axis 0. 99 2 20 0 17. 5 15 12. 5 10 Dinamiche dominanti 2. 5 -2 0. 99 -4 -6 0. 96 -8 -20 0. 91 -18 0. 83 -16 -14 -12 -10 -8 -6 0. 4 -4 0. 2 -2 0 Real Axis CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 32

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Caso c) Soluzione al problema • Progettare Rpf(s) in modo da cancellare le dinamiche parassite del sistema in retroazione F(s) + - CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 33

Prefiltraggio del segnale di riferimento • Caso c) Esempio Dinamica parassita: Cancellazione imperfetta polo/zero 1. 4 1. 2 1 1 risposta al gradino Attenzione a non alterare il guadagno statico di F(s): Rpf(0)=1 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 0 0 0. 5 1 1. 5 tempo 2 2. 5 3 Risposta al gradino di CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 0 0 0. 5 1 1. 5 tempo 2 2. 5 3 Risposta al gradino di 34

Controllo in cascata • Sistema controllato caratterizzato da due dinamiche in cascata, con la variabile intermedia misurabile • Sistema a monte stabilizzabile imponendo dinamiche molto più veloci rispetto a quelle che caratterizzano la massima banda imponibile al sistema a valle Bode Plot 60 40 20 0 -20 -40 -60 10 -1 10 0 Massima pulsazione di attraversamento compatibile con G 2(s) (dinamiche proprie di G 2(s) “lente”, presenza di ritardi e disturbi di misura “n” ) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 10 2 10 3 Minima pulsazione di attraversamento compatibile con G 1(s) (dinamiche proprie di G 1(s) “veloci”, presenza di disturbi di tipo “d” in alta frequenza) 35

Controllo in cascata • In queste condizioni il progetto può essere scomposto in due fasi: • Fase 1: progetto dell’anello interno - Il regolatore R 1(s) è progettato sulla base della dinamica di G 1(s) e del disturbo “d” disinteressandosi della dinamica a valle e dei vincoli su questa Imposizione di dinamiche “veloci” Bode Plot 60 Il regolatore R 1(s) sarà progettato in modo che la L 1(s)=R 1(s)G 1(s) attraversi a c > c*(G 1) e inoltre sia |L 1(j )|>>1 per < H(d) 40 20 0 -20 -40 -60 10 -1 CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré 10 0 10 2 Metodo di controllo avanzati 10 3 36

Controllo in cascata • Fase 1: progetto dell’anello interno - Bode Plot 60 Progettare il regolatore in modo che per 40 20 0 -20 per -40 -60 -1 10 0 10 10 2 10 3 Disturbi “d” praticamente assenti e v praticamente coincidente con v* nel campo di pulsazioni CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 37

Controllo in cascata • Fase 2: progetto dell’anello esterno - - • Il regolatore è progettato sulla base della dinamica di e del disturbo “n” senza considerare la dinamica dall’anello interno (che viene approssimata con un corto circuito, ovvero ) imponendo pulsazioni di attraversamento compatibili con la dinamica di e con la presenza di un eventuale disturbo di tipo “n” ( ) 60 40 20 0 -20 -40 -60 -1 10 CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Bode Plot Dinamiche imposte “lente” 10 0 10 2 Metodo di controllo avanzati 10 3 38

Controllo in cascata • Osservazioni: • Il progetto del regolatore in cascata si basa su un disaccoppiamento frequenziale dei due anelli di retroazione progettati che induce una doppia scala dei tempi nelle dinamiche controllate: l’anello interno risulta essere molto più veloce di quello esterno (le cui dinamiche risultano poi essere quelle dell’uscita del sistema complessivo) • In molti casi di interesse ingegneristico il controllo in cascata è l’unica soluzione al fine di soddisfare le specifiche (in apparenza contrastanti) sull’attenuazione dei disturbi in alta (“n”) e in bassa (“d”) frequenza • Questo approccio al controllo riduce un problema di controllo “complicato” (controllo di due dinamiche) in due sottoproblemi “semplici” (controllo delle due dinamiche considerate singolarmente) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 39

Controllo in cascata • Esempio Specifiche: 1) Ingresso di set point: e∞ =0 (ingresso a gradino), 2) Attenuazione di almeno 20 d. B di un disturbo “n” che agisce nello spettro n ≥ 10 rad/s Specifiche contrastanti 3) Attenuazione di almeno 20 d. B di un disturbo “d” che agisce nello spettro d ≤ 0. 5 rad/s. e∞ =0 per ingresso di disturbo a gradino CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 40

Controllo in cascata • Progettazione dell’anello interno - Polo nell’origine per il disturbo costante 40 1. 5 Bode Diagram Gm = Inf , Pm = 80 deg (at 5 rad/sec) 1 Phase (deg) • Regolatore PI: Magnitude (d. B) 0. 5 0 20 -0. 5 0 -1 -20 -1. 5 0 -40 -90 1. 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 1 -95 0. 5 -100 -105 -1 10 0 0 1 10 10 2 10 -0. 5 0 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 41

Controllo in cascata • progettazione dell’anello esterno - - • Regolatore PI: Considerando il loop interno come un corto circuito Bode Diagram 1. 2 40 Magnitude (d. B) 20 1 0 -20 0. 8 -40 0. 6 y -60 Phase (deg) -80 0 0. 4 -45 0. 2 -90 0 -135 -180 10 -2 10 -1 0 10 1 10 2 10 -0. 2 0 5 10 15 20 25 tempo 30 35 40 45 50 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 42

Controllo in cascata • progettazione dell’anello esterno - - • Regolatore PI: Si considerano entrambi i loop di controllo Bode Diagram 1. 2 40 Magnitude (d. B) 20 1 0 -20 0. 8 -40 0. 6 y -60 Phase (deg) -80 0 0. 4 -45 0. 2 -90 0 -135 -180 10 -2 10 -1 0 10 1 10 2 10 -0. 2 0 5 10 15 20 25 tempo 30 35 40 45 50 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 43

Compensazione in avanti di un disturbo misurabile + + • Sistema descritto da e caratterizzato quindi da un disturbo d sull’uscita misurabile (o stimabile in qualche modo) • Sfruttando il fatto che d è conosciuto è possibile compensare in anello aperto il disturbo sull’uscita agendo su u CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 44

Compensazione in avanti di un disturbo misurabile + + - + + • Considerazioni analoghe a quelle relativa alla compensazione in avanti del riferimento: • R(s) progettato al fine di garantire le specifiche del sistema retroazionato in maniera robusta • M(s) per migliorare le performance in termini di riduzione del disturbo CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 45

Compensazione in avanti di un disturbo misurabile + + - + + Vecchia funzione di sensitività (solo retroazione) Se CA 2017 -2018 Metodo di controllo Prof. avanzati Laura Giarré 46

Compensazione in avanti di un disturbo misurabile • Problemi di realizzabilità di • zeri a parte reale positiva e ritardi in G(s) • grado relativo • Si può approssimare la fdt nell’intervallo di pulsazioni a cui agisce il disturbo d in modo tale che per • Per disturbi d costanti, si può ricorrere a un compensatore statico CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 47

Compensazione in avanti di un disturbo misurabile • Esempio + + - misurabile • Senza il compensatore M(s) Risposta al gradino Funzione di sensitività Bode Diagram 1 5 0. 9 0 0. 8 0. 7 0. 6 uscita Magnitude (d. B) -5 -10 0. 5 0. 4 -15 0. 3 0. 2 -20 0. 1 -25 -2 10 10 -1 10 0 1 10 2 10 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 0 0 5 10 15 tempo 20 25 30 48

Compensazione in avanti di un disturbo misurabile • Nel caso ideale Bode Diagram 100 Magnitude (d. B) 80 Poiché M(s) non è fisicamente realizzabile la si approssima considerando solo il polo G(s) più lento 20 -20 270 M ideale Phase (deg) 225 M reale 180 135 90 45 0 -2 -1 10 0 10 1 10 2 10 3 10 10 Frequency (rad/sec) Funzione di sensitività Bode Diagram Risposta al gradino 1 0. 9 0 0. 8 -10 0. 7 -20 0. 6 -30 uscita Magnitude (d. B) 40 0 Con il compensatore M(s) 10 60 -40 0. 5 0. 4 -50 0. 3 -60 0. 2 -70 -80 -2 10 0. 1 0. 3 rad/s 10 -1 10 0 1 10 2 10 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 0 0 5 10 15 tempo 20 25 30 49

Compensazione in avanti di un disturbo misurabile • Nel caso ideale Bode Diagram 100 Magnitude (d. B) 80 Poiché M(s) non è fisicamente realizzabile la si approssima considerando solo il polo G(s) più lento 60 40 20 0 -20 270 M ideale Phase (deg) 225 M reale 180 135 90 45 • Con il compensatore M(s) 0 Funzione di sensitività 0 1 10 2 10 3 10 10 Risposta al gradino 1 0. 9 0 0. 8 -10 0. 7 -20 0. 6 -30 uscita Magnitude (d. B) -1 10 Frequency (rad/sec) Bode Diagram 10 -2 10 -40 0. 5 0. 4 -50 0. 3 -60 0. 2 -70 -80 -2 10 0. 1 0. 3 rad/s 10 -1 10 0 1 10 2 10 Frequency (rad/sec) CA 2017 -2018 Prof. Laura Giarré Metodo di controllo avanzati 0 0 5 10 15 tempo 20 25 30 50