Hidraulika podzemnih voda Strujanje vode u tlu se

Hidraulika podzemnih voda Strujanje vode u tlu se ovisno o sredini kroz koju voda protječe može podijeliti na: - strujanje u poroznim sredinama (stijene međuzrnske poroznosti - pijesak, šljunak) - strujanje u stijenama sa pukotinskom poroznošću (krš) PRIMJENA: 1) Zahvatanje podzemne vode za potrebe vodoopskrbe (zdenci), umjetna infiltracija Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 1

2) Snižavanje razine podzemne vode za potrebe izgradnje građevinskih objekata - brane, stambeni objekti, crpne stanice Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 2

3) Procjeđivanje kroz nasipe, ispod brana odnosno iz kanala Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 3

4) Modeliranje pronosa zagađivala tokom podzemne vode. Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 4

MJERILO MODELA Makroskopsko mjerilo (shema kontinuuma) Mikroskopsko mjerilo Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 5

Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 6

Osnovne jednadžbe strujanja vode u poroznoj sredini Podzemne vode struje pri vrlo malim brzinama koje su reda veličine 10 -4 m/s a često puta i znatno manje. Obzirom na vrlo male brzine koje se javljaju u strujanju kroz poroznu sredinu, strujanje je u pravilu laminarno. Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 7

Za potrebe proračuna brzina tokova podzemnih voda se u shemi kontinuuma uvodi pojam Darcy-eva brzina pri čemu je : Q protok (L 3/T) A proticajna površina (L 2) Stvarna brzina strujanja vode kroz porozni medij se dobiva dijeljenjem Darcyeve brzine za poroznošću Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 8

Brzina strujanja vode u poroznom mediju je određena Darcy-evim zakonom koji glasi: ppri čemu je: v Darcy-eva brzina I pad piezometarske linije h razina podzemne vode k koeficijent filtracije Gjetvaj - Hidraulika (m/s)(L/T) (1) (m) (L) (m/s) (L/T) Podzemne vode 2012/13 9

Orijentacione vrijednosti fizikalnih parametara za šljunak, pijesak i glinu * Prikazani podaci se odnose na geomehaničku poroznost Koeficijent uskladištenja je reda veličine 10 -4 do 10 -5 Koeficijent efektivne poroznosti za računanje brzina kretanja čestice nošene podzemnom vodom nef= 0. 05 -0. 10 Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 10

Srednji porozitet nekih tipova stijena Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 11

Granica važenja Darcy-evog zakona filtracije Forchheimer-ova jednadžba Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 Reynoldsov broj se definira preko Darcyeve (fiktivne brzine) i reprezentativnog promjera zrna 12

• KOEFICIJENT FILTRACIJE (vodopropusnosti) p ρ μ - propusnost porozne sredine koji ovisi o obliku, rasporedu i promjeru zrna - gustoća fluida koji protječe - dinamički koeficijent viskoznosti fluida koji protječe kroz poroznu sredinu Metode određivanja koeficijenta filtracije: - granulometrijske krivulje - laboratorijski (edometar) - probno crpljenje Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 13

Saturiranost tla Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 14

Saturiranost tla Viseći prsten Dvodimenzionalni prikaz trodimenzionalnog područja - obje faze mogu biti kontinuirane Kontinuirana tekuća faza Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 15

RELATIVNI KOEFICIJENT FILTRACIJE kr Relativni koeficijent filtracije Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 SIMBOLIČNI DIAGRAM 16

Anizotropija Mogu se razlikovati dvije vrste anizotropije: - anizotropija jednog sloja → posljedica taloženja čestica (taloženje krute faze) - anizotropija čitavog vodonosnika uslijed uslojene strukture, gdje se izmjenjuju slojevi vrlo različite vodopropusnosti Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 17

IZOTROPNO TLO ANIZOTROPNO TLO Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 18

Homogenost i izotropnost Homogena i izotropna sredina Gjetvaj - Hidraulika Homogena i anizotropna sredina Nehomogena i izotropna sredina Podzemne vode 2012/13 Nehomogena i anizotropna sredina 19

Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 20

Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 21

Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 22

Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 23

Primjer zavjese na koju djeluju tlakovi tekućina različitih gustoća Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 24

n primjer gdje je zagađivalo topivo u vodi (dolazi samo do neznatnog povećanja gustoće otopine koju sada tvori voda i zagađivalo). n primjer smjera napredovanja zagađivala u slučaju kada je zagađivalo netopivo u vodi i znatno veće gustoće od vode Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 25

Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 26

Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 27

Nestacionarna filtracija kroz anizotropni nehomogeni nasip Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 28

Jednadžba trodimenzionalnog nestacionarnog toka Kontrolni volumen pri čemu je: qx(x, y, z), qy(x, y, z), qz(x, y, z) specifični protoci u x, y, z smjeru koji označavaju prolaz mase vode po jedinici širine i jedinici vremena; P(x, y, z) Δx, Δy, Δz Gjetvaj - Hidraulika je točka koja se nalazi u središtu kontrolnog volumena ΔV; bridovi kontrolnog volumena Podzemne vode 2012/13 29

Razlika mase vode (mx) koja ulazi i izlazi iz kontrolnog volumena u smjeru osi x za vrijeme Δt, dana je izrazom: pri čemu je: ρ gustoća fluida qx specifični protok u smjeru osi x Razvojem funkcije qx(x, y, z) u Taylorov red u okolini točke P(x, y, z) i zanemarivanjem članova s višom potencijom od x dobiva se izraz: Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 30

Analogno se dobiju izrazi za promjenu mase u y i z smjeru pri čemu su qy i qz specifični protoci u y i z smjeru Ukupna promjena mase u kontrolnom volumenu jednaka je sumi promjena mase u x, y i z smjeru. Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 31

Masa vode sadržana u kontrolnom volumenu Δx*Δy*Δz poroznog medija dana je kao: pri čemu je sa n označena poroznost vodonosnog sloja, pa se promjena mase unutar kontrolnog volumena može izraziti kao Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 32

Desna strana gornje jednadžbe se za saturirani tok može pisati pri čemu je Ss specifični koeficijent uskladištenja ili pisano u drugoj notaciji: (to je zapravo jednadžba kontinuiteta) Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 33

Specifični protok se na osnovu Darcyevog zakona može izraziti kao Za anizotropnu sredinu u skalarnom obliku vrijedi: pri čemu su sa kx, ky, kz označeni koeficijenti filtracije u odgovarajućim smjerovima Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 34

pri čemu je Ss koeficijent specifičnog uskladištenja (na jedinicu debljine). U slučaju da je sloj izotropan (kx=ky=kz=k) jednadžba poprima oblik: ili u drugoj notaciji zapisano: pri čemu je Laplaceov operator u Cartezijevim koordinatama. U slučaju da je strujanje stacionarno jednadžba poprima oblik: Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 35

Bezvrtložno strujanje Gjetvaj - Hidraulika Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2009/2010 Podzemne vode 2012/13 36

Za potencijalno strujanje nestišljive tekućine vrijedi jednadžba kontinuiteta: kako se brzina može izraziti kao gradient potencijala: jednadžba potencijalnog strujanja poprima oblik: odnosno: Gjetvaj - Hidraulika Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2009/2010 Podzemne vode 2012/13 37

Matematički model Pod pojmom matematički model se podrazumijeva jednadžba toka te početni i rubni uvjeti izraženi matematičkim simbolima. Početni uvjeti predstavljaju raspored potencijala, odnosno razina podzemne vode u početno vrijeme. U matematičkoj notaciji ovaj uvjet je izražen kao : h = f(x, y, z) za t= 0 Rubni uvjeti opisuju značajke granice pod čijim utjecajem se odvija tok u horizontu. Poznajemo tri tipa rubnih uvjeta: Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 38

Rubni uvjeti a) poznat raspored potencijala ili razina podzemne vode na granici (Dirichletov uvjet) koji se simbolički može izrazit: h = f(x, y, z, t) pri čemu je sa f označena poznata funkcija u svim točkama granice (npr. vodotok) b) poznata količina protoka na granici (Neumanov uvjet) pri čemu je ∂h/∂n promjena potencijala okomito na granicu (npr. infiltracija iz druge geološke sredine kroz rub modela) c) Cauchyjev uvjet uključuje poznavanje rasporeda potencijala i njegove derivacije (primjer za Cauchyev rubni uvjet je izvor). Rješenja jednadžbe toka mogu biti a) analitička ili egzaktna b) numerička ili približna. Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 39

Regionalni modeli toka podzemnih voda Strujanje u vodonosnicima čije je horizontalna dimenzija znatno veća od vertikalne te se može primjeniti Dupuitova hipoteza. Jednadžba koja opisuje tok podzemne vode se zasniva na dva osnovna zakona - jednadžba kontinuiteta - Darcyev zakon Za nepravilnu geometriju prostora kao i za dane početne i rubne uvijete ovu jednadžbu nije moguće u općem slučaju direktno riješiti već se pristupa (u matematičkom smislu) približnim rješenjima. Od približnih metoda koristi se: a) metoda konačnih diferencija (MKD) b) metoda konačnih elemenata (MKE) c) metoda rubnih elemenata (MRE) Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 40

Diskretizacija prostora Metoda konačnih diferencija (MKD) Metoda konačnih elemenata (MKE) Metoda rubnih elemenata Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 41

Metoda konačnih diferencija Diskretizacija prostora za metodu konačnih diferencija Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 42

Jednadžbe u čvoru se mogu dobiti na osnovu dva pristupa: a) zamjenom (mehaničkom) parcijalnih derivacija konačnim diferencijama b) iznalaženje jednadžbi u čvorovima primjenom jed. kontinuiteta i Darcy-eve. Način označavanja čelija Ćelija i pripadajući protoci Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 43

Korištenjem Darcy-evog zakona mogu se izraziti protoci iz pojedinih smjerova: pri čemu su : Q 1, Q 2, Q 3, Q 4 t srednji (prosječni) protoci u odabranom vremenskom intervalu vrijeme unutar intervala (t, t+∆t) Tt'10, T 20, T 30, T 40 prosječna vrijednost transmisivnosti među čvorovima Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 44

pri čemu je: q 0 vanjski dotok neovisan o piezometarskoj razini u čvoru. On može opisivat crpljenje, evaporaciju, infiltraciju uslijed oborina ili zdenaca. U skladu s usvojenim pristupom mogu se uvrstiti oznake: Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 45

Transmisivnosti oko čvora (i, j) se mogu izraziti kao: Konačno se može zamijeniti i Nakon zamjene članova za sve čvorove (i, j) dobiva se N jednadžbi za N nepoznatih piezometarskih visina hij(t+∆t): Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 46

Rubni uvjeti a) nepropusna granica Postavit će se rubne čvorove tako da se položaj jednog ili više čvorova podudara sa položajem nepropusne granice. Rubni čvorovi Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 47

b) zadana razina podzemne vode Čvorovi u kojima je zadana vrijednost potencijala (razina podzemne vode) su jednostavni za uvrštavanje u sustav jednadžbi. Oni imaju unaprijed riješenu jednadžbu koja je u obliku: Nivogram Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 48

Čvorovi u kojima je konstantan potencijal se za potrebe numeričkog pristupa mogu tretirati kao čvorovi sa vrlo velikom poroznošću npr. S = 1030 i tada se tretiraju kao obični čvorovi. Čvor koji može prihvatiti toliku količinu vode neće bitno mijenjati razinu vode obzirom da dotoci i istjecanje ne mogu bitno promijeniti količinu vode u ćeliji. Primjer strujanja za kojeg ne vrijedi Dupouitova hipoteza Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 49

Dodavanje infiltracije od oborina Stacionarno strujanje Izostavit član Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 50

Eksplicitan pristup (Aproksimiramo integral na osnovu poznatog stanja na početku vremenskog intervala) Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 51

Implicitni pristup (Aproksimiramo integral na osnovu poznatog stanja na kraju vremenskog intervala) pri čemu su i=1, . . . NX i j=1, . . , NY Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 52

Mješovit pristup Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 53

Direktno rješavanje sustava jednadžbi S Sada se sustav jednadžbi može pisati u obliku: P pri čemu je: A matrica u kojoj su članovi uz nepoznate (tražene) vrijednosti X vektor nepoznatih vrijednosti potencijala u vremenu (t+Δt) b vektor slobodnih članova Matrica A je veličine N*N pri čemu je N=NX*NY ukupan broj čvorova. Većina članova u ovoj matrici je jednaka nuli jer u formiranju jednadžbe za jedan čvor sudjeluju samo četiri susjedna čvora, tj. za čvor k je najviše pet koeficijenata različito od nule. Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 54

Čvor za kojeg se pišu jednadžbe i njemu susjedni čvorovi Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 55

Vrpčasta matrica Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 56

Tečenje sa slobodnim vodnim licem – otvoreni vodonosnik Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 57

Prilikom modeliranja tečenja sa slobodnim vodnim licem treba također voditi računa da se vodno lice h ne može spustiti ispod razina podine vodonosnog sloja b. U slučaju da razina u čvoru padne ispod razine podine obično se usvaja da je u čvoru transmisibilnost jednaka nuli. Ovakav pristup može izazvati dva problema; a) u trenucima kad nivo vode počinje ponovo rast i dignut se iznad kote podine to u čvoru nije moguće jer nema transmisibilnosti i b) voda koja dotiče uslijed infitracije se ne može infiltrirati. Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 58

Vodonosnici sa procjeđivanjem ppri čemu je: ql, ij protok među slojevima Bij faktor procjeđivanja Hij tlak u gornjem (susjednom) sloju hij tlak u promatranom vodonosnom sloju Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 59

Sniženje u čvoru u kojem je zdenac Izračunato sniženje u zdencu zbog usvojene linearne raspodjele između čvorova nije adekvatno sniženju koje će se javiti u stvarnosti. Iz tog razloga u regionalnim modelima treba sniženje u zdencima posebno tretirati. Sniženje u čvoru u kojemu je zdenac Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 60

Metoda konačnih elemenata Diskretizacione sheme za metodu konačnih diferencija i za metodu konačnih elemenata Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 61

Konačni element Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 62

Primjena modela toka Nivogram kod iterativnog pristupa rješavanju inverznog problema Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 63

ZDENCI Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 64

Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 65

Zdenci Def: Zdenac je hidrotehnička građevina koja služi za zahvaćanje podzemne vode Zdenci mogu po konstrukciji biti: a) KOPANI - tradicionalan način izgradnje - znatno skuplji (- veća izdašnost (veći radijus)) - trajniji Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 66

b) BUŠENI (profil je obično 400 -1000 mm) - jeftiniji ali manje trajni - pogodni za duboke vodonosne slojeve - mogu primit veliko sniženje Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 67 File: Zdenac. jpg

Sloj pod tlakom (zatvoreni vodonosni sloj) Nepropusni sloj npr. glina Propusni sloj npr. šljunak Nepropusni sloj npr. glina Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 68

Arteški sloj Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 69

Poluzatvoreni vodonosni sloj Slabopropusni sloj npr. glina s prahom Propusni sloj npr. šljunak Nepropusni sloj npr. glina Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 70

Poluotvoreni vodonosni sloj Spabopropusni sloj npr. zaglinjeni pijesci Propusni sloj npr. šljunak Nepropusni sloj npr. glina Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 71

Otvoreni vodonosni sloj (tečenje sa slobodnim vodnim licem) Propusni sloj npr. šljunak Nepropusni sloj npr. glina Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 72

Analitički izrazi za sniženje u zdencu Potpun zdenac u strujanju sa slobodnim vodnim licem Depresioni lijevak za potpuni zdenac u strujanju sa slobodnim vodnim licem Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 73

Napomena: Integracija se može provesti između bilo koja dva radiusa (r 1 i r 2) i pripadajućih razina podzemne vode (h 1 i h 2). Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 74

Potpun zdenac u strujanju pod tlakom Nepotpuni zdenac svojim filtarskim dijelom ne dopire do dna vodonosnog sloja. U okolini zdenca radiusa r≈1. 5 M ne vrijedi Dupuitova hipoteza Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 75

Vrelna ploha Dupuitova teorija daje ipak stvarni dotok u zdenac za određeno h 0 i H 0 dok se razine podzemne vode uz zdenac bitno razlikuju Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 76

Radijus utjecaja zdenca Greške u procjeni vrijednosti radijusa utjecaja nemaju veliki značaj jer u jednadžbi zdenca vrijednost R ulazi u logaritamskoj funkciji koja za velike brojeve nema znatne razlike u vrijednosti logaritma. U praksi se usvaja da je vrijednost radijusa utjecaja za pojedine materijale slijedeći: Vrsta materijala: R [m] Fini pijesak 25 -100 Srednji do grubi pijesak 100 -500 Fini do srednji šljunak 400 -1500 Krupni šljunak 1500 -3000 Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 77

Grupe zdenaca Zdenci pod tlakom Sniženje vodostaja u nekoj točki u okolini zdenca uslijed usporednog crpljenja iz više zdenaca bit će jednako zbroju sniženja uslijed crpljenja svakog pojedinačnog zdenca. Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 78

odnosno općenito: U slučaju da su izdašnosti zdenaca identične tj. da vrijedi Q 1=Q 2=. . Qn Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 79

Zdenci sa slobodnim vodnim licem Sniženje između dviju točaka je definirano izrazom: Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 80

Jednadžba sniženja uz zdenac sa slobodnim vodnim licem glasi: može se pisati kao: odnosno: Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 81

odnosno za slučaj djelovanja n zdenaca vrijedi: Kako je pad potencijala Girinskog definiran izrazom: pri čemu je h nivo vode u čvoru x, slijedi: Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 82

Zdenac uz vodotok Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 83

Zdenac uz nepropusnu granicu Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 84

Nestacionarno strujanje prema zdencu pri čemu je: s sniženje u točci (s=h 0 - h) S koeficijent uskladištenja početni i rubni uvjeti su: Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 85

Rješenje vladajuće jednadžbe uz zadane početne i rubne uvjete glasi pri čemu je : BUNARSKA FUNKCIJA Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 86

Bunarska funkcija Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 87

Određivanje osnovnih hidrogeoloških parametara pomoću rezultata probnog crpljenja 1. Stacionartni tok - Thiem-ova jednadžba Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 88

2. Nestacionarni režim za u < 0. 01 se ovi članovi mogu zanemariti a u drugom piezometru razlika sniženja između dva piezometra ( točke 1 i 2) se može izraziti ili nakon sređivanja: Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 89

kako je : i vrijedi sniženje se može izraziti : Analogno za istu udaljenost a za različita vremena se može pisati: Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 90

Transformacijom prijašnjih jednadžbi te korištenjem dekadskih logaritama proizlazi za jedan logaritamski ciklus: ∆s razlika sniženja za jedan logaritamski ciklus. Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 91

Odnos sniženja i udaljenosti (radijusa) Dijagram za određivanje transmisivnosti Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 92

Koeficijent uskladištenja Dobije se ako se produlji linija sniženja do s = 0 odnosno Gornji izraz vrijedi za r=R ako je: Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 93

Odnos sniženja i vremena za jedan logaritamski ciklus Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 94

Skupina piezometara uz zdenac pod tlakom Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 95

Nestacionarni tok – metoda povratka Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 96

Odnos zaostalog sniženja i ralativnog vremana povratka t vrijeme proteklo od početka crpljenja t΄ vrijeme proteklo od prestanka crpljenja Δs΄ zaostalo sniženje Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 97

Numerički modeli Analitička rješenja su izvedena najčešće pod pretpostavkom da je vodonosni sloj - homogen - izotropan - konstantne debljine - beskonačan - da je početna razina horizontalan - da je razina na rubu područja konstantna - da je crpljenje konstantno - da zdenac u potpunosti zahvaća vodonosni sloj. . Postoje neka približna rješenja za nepotpune zdence, za nestacionarno strujanje prema zdencu, za crpljenje sa promjenjivom količinom, . . Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 98

Numerički model probnog crpljenja na zdencu u Bartolovcu Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 99

Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 100

Gjetvaj - Hidraulika Podzemne vode 2012/13 101