Het verkeerstoedelingsmodel H 01 I 6 A Verkeerskunde

Het verkeerstoedelingsmodel H 01 I 6 A Verkeerskunde basis Ben Immers Traffic and Infrastructure Department of Civil Engineering Faculty of Engineering Katholieke Universiteit Leuven

Het klassieke verkeersprognosemodel Gebiedsgegevens Ritproductie/ ritattractie Transport netwerken Trip-ends Verplaatsingsweerstanden Distributie/ vervoerwijzekeuze H-B tabellen Toedeling Vervoersstromen H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 2

Doel verkeerstoedeling 1. het verkrijgen van inzicht in het vervoersnetwerk 2. het doen van voorspellingen 3. het leveren van ontwerp gegevens 4. het leveren van invoergrootheden H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 3

Typisch resultaat van een verkeerstoedeling (avondspits) H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 4

Typisch resultaat van een verkeerstoedeling H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 5

Toedeling verkeer aan netwerken n n berekening van de route voor elke relatie i-j toedeling van alle verplaatsingen (uit de H-B matrix) aan de berekende routes n sommatie van alle verplaatsingen per wegvak resp. kruispunt n afzonderlijke berekening per vervoerwijze H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 6

Algoritme van Moore 1. alle knooppunten krijgen een label § § § Tijd Backnode Passief/Actief = ∞ = 0 2. 3. 4. 5. 6. I : = 1 punt I krijgt het label T=0, B=0, P/A=1; K=I welke knooppunten zijn met schakels aan actief punt K verbonden zijn deze knooppunten sneller te bereiken? welke? verander van deze knooppunten de labels; snelste tijd; backnode; wordt/blijft actief 7. maak het knooppunt K passief 8. indien er actieve knooppunten zijn wordt een van deze knooppunten actief punt K 9. I : = I+1 10. als I < I ga naar 4 11. stop H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7

Algoritme van Moore 1 12 4 7 3 5 15 7 7 7 2 1 Zone 2 3 4 5 Iteration T B P/A T B P/A 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 7 1 1 12 1 1 0 0 3 0 0 0 7 1 0 12 1 1 0 0 4 0 0 0 7 1 0 12 1 0 19 3 1 27 3 1 5 0 0 0 7 1 0 12 1 0 19 3 0 26 4 1 6 0 0 0 7 1 0 12 1 0 19 3 0 26 4 0 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 8

Keuze uit actieve punten § laagste knooppuntnummer § in volgorde van vinden § met de kleinste gevonden weerstand § once through bijv. Dijkstra § algoritme van Dial H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 9

Inefficiënt keuzeproces Pad 1 i j Pad 2 Stel: Route via pad 2 is korter dan route via pad 1 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 10

Tree-builder algoritme Dijkstra label van knooppunt i bestaat uit 3 componenten [ +/- , S i , j] + - = label is permanent = label is tijdelijk Si = tot nu toe gevonden weerstand van oorsprongsknooppunt tot knooppunt i j = verwijzing naar het knooppunt van waaruit knooppunt i gelabeld werd H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 11

Tree-builder algoritme Dijkstra stap 1: Initialiseren label knooppunt 1 met het permanente label [+ , 0 ] ; alle andere knooppunten i met het tijdelijke label [ - , d(1, i), 1 ] i 0 = 1, vervolg met stap 4 stap 2: Zoekproces zoek knooppunt i 0 dat aan de volgende voorwaarden voldoet: - label is tijdelijk - Si 0 is minimaal (i 0 = index (min [ - , Si, j ] ) stap 3: Vaststelling permanente knooppunten maak label van knooppunt i 0 permanent, als i 0 = N : stop stap 4: Vergelijkingsstap stel P = Si 0 + d(i 0, j) met j tijdelijk gelabeld als p < Sj vervang label van knooppunt j door het label [ -, P, i 0 ] ; ga naar stap 2 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 12

Tree-builder algoritme Dijkstra 2 5 3 11 3 16 6 3 1 5 6 10 9 2 8 4 10 2 7 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 13

2 11 3 16 6 3 1 5 10 6 9 2 8 4 Iter. 1 5 3 10 2 7 7 Iter. 2 Iter. 3 Iter. 4 Iter. 5 Iter. 6 -, 13, 3 +, 13, 3 -, 16, 2 +, 16, 2 I 0=5 1 +, 0, 0 2 -, 16, 1 -, 13, 3 3 -, 10, 1 +, 10, 1 4 -, 2, 1 +, 2, 1 5 -, , 1 -, 17, 6 6 -, , 1 -, 12, 4 -, 11, 7 +, 11, 7 7 -, , 1 -, 9, 4 +, 9, 4 I 0=1 I 0=4 I 0=7 I 0=3 I 0=6 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis Iter. 7 14

Tree-builder algoritme Dijkstra 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 15

Iteratie 1 a 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 16

Iteratie 1 b 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 17

Iteratie 2 a 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 18

Iteratie 2 b 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 19

Iteratie 3 a 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 20

Iteratie 3 b 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 21

Iteratie 4 a 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 22

Iteratie 4 b 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 23

Iteratie 5 a 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 24

Iteratie 5 b 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 25

Iteratie 6 a 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 26

Iteratie 6 b 2 5 3 1 6 4 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 7 27

Kortste route berekening label correcting § label setting § tree shifting § Criteria t. b. v. selectie van knooppunten uit tentatieve tabel Q in volgorde van opname in Q § is knooppunt reeds onderdeel van Q? § is knooppunt reeds geselecteerd ? § afstand van knooppunt tot oorsprong § H 01 I 6 A Verkeerskunde basis (ja/neen) 28

Label correcting n last in - first out (lifo) n first in - first out (fifo) n combinatie van beide (deque) opname knpt in tentatieve tabel Q n knpt nog niet eerder bereikt --> n knpt is onderdeel tentatieve tabel n fifo knpt is reeds onderdeel van routeboom maar wordt nu door nieuwe kortste route bereikt --> lifo H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 29

Label setting sorteren van de tentatieve tabel array § S - ord sorteren forward star ordening beperkt sorteertijd § S - heap binaire boom § S - calc linked list … … … H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 30

Tree shifting § formulering als lineair programmeringsprobleem § Een imaginaire eenheidslading moet getransporteerd worden van herkomst O naar alle bestemmingen D H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 31

Label correcting (lifo) v § 25 20 20 o 15 § u § s § 40 25 § 25 31 § 29 § t p 20 § § o (v, p, s) p (o, q) q (r, p, s) r (w, q) s (w, v, o, q) t (w, u) u (w, t, v) v (u, o, s) w (r, t, u, s) 20 q 10 10 w r H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 32

Label correcting (lifo) v u o s t p q w r H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 33

Label correcting (lifo) v u o s t p q w r H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 34

Label correcting (lifo) v u o s t p q w r H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 35

Label correcting (lifo) v u o s t p q w r H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 36

Label correcting (lifo) v u o s t p q w r H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 37

Label correcting (lifo) v u o s t p q w r H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 38

Label correcting (lifo) v u o s t p q w r H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 39

Label correcting (lifo) v u o s t p q w r H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 40

Label correcting (lifo) node Q o p q r s t u v w 10 0 10 30 10 0 41 10 56 30 10 0 41 61 10 r* w q q* w p s s* w p v o w p v 56 30 10 0 41 61 10 v* w p u 56 30 10 0 41 86 61 10 u* w p t 56 30 10 0 41 111 86 61 10 t w p 56 30 10 0 41 111 86 61 10 p* w o 55 30 10 0 41 111 86 61 10 o w 55 30 10 0 41 111 86 61 10 w* t u s 55 30 10 0 39 30 50 61 10 s* t u v 54 30 10 0 39 30 50 59 10 ovut t u v 54 30 10 0 39 30 50 59 10 o o H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 41

Label correcting (fifo) u s w r node Q q o p q r s t u v w 10 0 10 r* w q w* q t u s 10 0 39 30 50 10 q* t u s p 30 10 0 39 30 50 10 u* s p v 30 10 0 39 30 50 75 10 s* p v o 54 30 10 0 39 30 50 59 10 o H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 42

Label setting (Dijkstra) s q r node p w Q o p q r s t u v w 10 0 10 30 10 0 41 10 30 10 0 39 30 50 10 r* q w q* w p s w* t p s u 30 10 0 39 30 50 10 p* s u o 55 30 10 0 39 30 50 10 s* u o v 54 30 10 0 39 30 50 59 10 u v o 54 30 10 0 39 30 50 59 10 o o 54 30 10 0 39 30 50 59 10 v u H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 43

Voorbeeld van Dijkstra algoritme n Zie ook www voor aardige illustraties, bijv. http: //students. ceid. upatras. gr/~papag el/english/java_docs/min. Dijk. htm H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 44

Voorbeeld foutieve netwerkspecificatie 7 8 1, 1 6 1 1 1, 5 1 4 5 1 3 1 0, 7 0, 5 = afslagverbod 2 n n n 1 1 kortste routeboom loopt via 7 -4 -2 -1 en 5 -4 -2 -1 geen route wordt gevonden tussen 1 -5 via 3 geheel foute route wordt gevonden via 3 -6 -7 -8 (knooppuntweerstand) H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 45

7 8 6 1, 1 1, 5 4 b 1 4 c 5 3 1 4 a 1 4 d 0, 7 0, 5 2 1 1 Autosnelweg wordt beschreven door eenrichtingsschakels § Kortste routes worden nu wel gevonden § H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 46

Beschrijving afslagweerstand 7 6 1 7 5 1 4 3 6 1 1 3 0, 7 2 0, 2 3 n 4 5 1 3 0, 7 2 1 1 0, 2 3 1 1 1 Netwerk met knooppuntweerstanden voor de beschrijving van afslagweerstanden of afslagverboden H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 47

Toedeling verkeer aan netwerken § Bereken de kortste route voor elke relatie i – j § Deel alle verplaatsingen (uit de H-B matrix) toe aan de berekende routes § Sommeer alle verplaatsingen per wegvak resp. per kruispuntarm § Afzonderlijke berekening per vervoerwijze H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 48

Verplaatsing = koppeling van ruimtelijk gescheiden activiteiten beïnvloed door: n nut van een verplaatsing Nnp n offer of weerstand Znp n (Nnp - Znp) = Unp = nutsfunctie (consumer surplus) H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 49

Routekeuze wordt beïnvloed door: § Routekenmerken, zoals: § § § § Ritkenmerken: § § § lengte reistijd reiskosten wegtype, komfort verkeerssituatie betrouwbaarheid veiligheid motief voertuig Kenmerken rittenmaker: § § leeftijd geslacht socio-economische etc. H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 50

Theorie routekeuze Unp = Nnp - Znp § Ump = Nmp - Zmp nutsfunctie route n nutsfunctie route m § Keuze voor route m indien: § Ump > Unp § Ump - Unp > 0 § Nmp - Nnp - Zmp + Znp > 0 Routekeuze: § § Nmp = Nnp Zmp def = Zm + mp Znp def = Zn + mp keuze voor m als Zmp < Znp H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 51

np, mp = storingsterm § verwaarlozingen in model § stochastiek § misschattingen § verschil in beoordeling § onverklaard gedrag § mp, np is Gumbel verdeeld logit model of Dial toedeling § mp, np, is normaal verdeeld probit model § mp, np, = 0 route met kleinste weerstand alles of niets toedeling Monte Carlo toedeling Stochastische toedeling H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 52

Gumbel versus Normale verdeling n Gumbel cumulatieve kansdichtheidsfunctie H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 53

Toedelings methoden § Alles of Niets (Ao. N) toedeling § Alternatieve routes (in niet zwaar belaste netwerken) § deterministische kansmodellen § stochastische kansmodellen § Alternatieve routes (in zwaar belaste netwerken) § capacity restraint § evenwichtstoedeling H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 54

Beperkingen Ao. N toedeling n In de praktijk worden meer routes gebruikt n stochastisch effect: individuele verschillen in: n n n perceptie van de aantrekkelijkheid van elk routealternatief Kennis van beschikbare routes capaciteitseffecten n Weerstand van aanvankelijk kortste route neemt toe als gevolg van verkeersbelasting Stochastische effecten worden meegenomen? nee ja Capaciteits effecten worden meegenomen? nee ja Alles of niets toedeling Stochastische toedeling Evenwichtstoedeling Stochastische evenwichtstoedeling H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 55

Toedelingsmodellen § Statische toedelingsmodellen § Verplaatsingen worden aan de gehele route tussen herkomst en bestemming toegedeeld (steady-state of 2 D) § Dynamische toedelingsmodellen § Variatie in vervoervraag (H-B matrix) en vervoeraanbod (netwerkkarakteristieken) wordt meegenomen § Heeft gevolgen voor: § Linkbelastingen (benedenstrooms van knelpunt) § Fileopbouw § Blocking-back en gridlock § Reistijden en variaties in reistijden H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 56

Alles of Niets toedelingsmodel elke reiziger kiest de kortste route Impliciete veronderstellingen daarbij zijn: § de reiziger kent alle beschikbare routes § de reiziger is perfect geïnformeerd over de weerstanden (lengtes, reistijden) van alle routes § de reiziger kiest uitsluitend op grond van de weerstand (lengte, reistijd) H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 57

Instabiliteit Alles of Niets Toedeling q model Q realiteit t 1 j i t 2 t 1 < t 2 0 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis t 1 > t 2 t 1 - t 2 58

Instabiliteit Alles of Niets Toedeling q model Q t 1 j i t 2 t 1 < t 2 0 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis t 1 > t 2 t 1 - t 2 59

Instabiliteit Alles of Niets Toedeling q model Q t 1 j i t 2 t 1 < t 2 0 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis t 1 > t 2 t 1 - t 2 60

Instabiliteit Alles of Niets Toedeling q Q realiteit t 1 j i t 2 t 1 < t 2 0 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis t 1 > t 2 t 1 - t 2 61

Instabiliteit Alles of Niets Toedeling q model Q realiteit t 1 j i t 2 t 1 < t 2 0 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis t 1 > t 2 t 1 - t 2 62

Voorbeeld Alles of Niets toedeling H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 63

Stochastisch toedelingsmodel § Toedeling op basis van theoretische verdelingsfunctie § Voorbeeld theoretisch kansmodel: Logit model § Problemen: § definitie alternatieve routes (redelijke routes) § definitie netwerk (identieke en onafhankelijke stoortermen) § Toedeling op basis van simulatie § Monte Carlo simulatie H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 64

Stochastisch toedelingsmodel Monte Carlo simulatie Ca § Ca = = ca + ε a ; ca + z √φ * ca ; ca § z § φ § Ca = = objectief meetbare schakelweerstand random getal uit een (pseudo) normale N(0, 1)-verdeling een factor voor de bepaling van de grootte van de variatie met loting bepaalde subjectieve weerstand § § waarbij H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 65

Multiple Route model Stochastisch toedelingsmodel § elke reiziger kiest kortste route, echter: § geen perfecte kennis van reistijden § elke reiziger maakt subjectieve schatting de route-reistijd § kansdichtheidsfuncties route-reistijden f t 1 j i t 2 § q 1 § Q § t ie = = Q Pr (t 1 e < t 2 e) belasting route 1 aantal ritten van H(i) naar B(j) schatting reistijd route i H 01 I 6 A Verkeerskunde basis σ1 σ2 t 1 t 2 t 66

Kansdichtheidsfuncties route reistijden f σ1 σ2 t 1 t 2 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis t 67

Stochastische toedeling § i=0 § qa(i) = 0 § herhaal § i=i+1 § Bepaal Ca door loting § Bepaal stromen Qa met een alles-of-niets toedeling met weerstanden Ca § f=1/i § qa(i) = (1 - f) qa(i-1) + f Qa § tot stopcriterium = waar H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 68

Evenwichts toedelingsmodel Equilibrium assignment model n reiziger kiest route met de kortste reistijd, echter n reistijd is afhankelijk van de belasting op het wegvak (reistijdfunctie) n Verdeling van ritten over netwerk volgens principes van Wardrop Gebruikersoptimum n De reistijden van alle gebruikte routes tussen een bepaalde herkomst en bestemming zijn even groot en/of korter dan die van de niet gebruikte routes Systeemoptimum n Het verkeer wordt zodanig aan het netwerk toegedeeld dat de totale systeemweerstand wordt geminimaliseerd; alle gebruikte routes hebben dezelfde marginale systeemweerstand H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 69

Reistijd functie ta ta free flow qa cap = = = tijd op schakel a = minimum tijd op schakel (onbelast) = verkeersbelasting (intensiteit = capaciteit coëfficiënt exponent (met de waarde 4 of 5) “Steady flow capacity” ta = 2 ta free flow Praktische capaciteit = 1 ta = 1, 15 ta free flow = 0, 15 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 70

Reistijd functie tijd/min. tijd 5 4 3 2 1 0, 5 1 Verkeersbelasting/capaciteit H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 71

Evenwichtstoedeling § Evenwicht in netwerk wordt berekend als een minimalisatievraagstuk (Gebruikersoptimum) (zelfzuchtig, beschrijvend) (Systeemoptimum) (sociaal, normatief) met als randvoorwaarden § behoud van ritten § Niet-negativiteit H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 72

Gebruikersoptimum cˆa = systeemweerstand H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 73

Systeemoptimum Algemeen geldt voor een differentieerbare functie marginale systeemweerstandsfunctie H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 74

Evenwichtstoedeling t 1 i 2 j 3 q 1 q 2 H 01 I 6 A Verkeerskunde basis q 3 75 q

Frank - Wolfe algoritme Startoplossing die iteratief wordt verbeterd 1. Bereken startoplossing (A o N toedeling) § {qa 0 } 2. Herbereken reistijden op grond van belastingen § { tai } 3. Deel H-B matrix toe volgens deze reistijden (2) (Ao. N toedeling) § { wai } 4. Optimale weging van oude belastingen resulterend in nieuwe belastingen § {qai = qai-1 + i ( wai - qai-1 ); 0 i 1} 5. Toets of nieuwe belastingen voldoen § ja ---> stop; nee ---> ga naar 2 § i wordt zodanig bepaald dat Z minimaal is H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 76

Voorbeeld H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 77

Voorbeeld H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 78

Voorbeeld H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 79

Voorbeeld H 01 I 6 A Verkeerskunde basis 80