Het algoritme van Euclides aan het werk op

Het algoritme van Euclides aan het werk op een school in Athene. Presentatie gemaakt door: Johannes Kruisselbrink & Peter Rutgers

Probleem stelling Los op: a * x = 1 (mod y) Hoe bepaal ik a (de inverse) zonder te gokken (x, y bekend)

Voorwaarden voor: a * x = 1 (mod y) • a is een getal tussen de 0 en de y • De gekozen x en y moeten relatief priem zijn. • Relatief priem houdt in dat de ggd 1 moet zijn.

Voorbeeldsom a * 7 = 1 (mod 32) Stap 1: Bepaal de ggd m. b. v Euclides Stap 2: Anders schrijven Stap 3: Terugrekenen Stap 4: Uitkomst a Stap 5: Controle

Stap 1: Bepaal ggd a * 7 = 1 (mod 32) Oude methode Nieuwe methode 32 / 7 = 4 rest 4 32 = 4 * 7 + 4 7 / 4 = 1 rest 3 7=1*4+3 4 / 3 = 1 rest 1 4=1*3+1 Dus de ggd is 1

Stap 2: Anders schrijven Nieuwe methode Anders geschreven 32 = 4 * 7 + 4 4 = 32 - (4 * 7) 7=1*4+3 3 = 7 - (1 * 4) 4=1*3+1 1 = 4 - (1 * 3)

Stap 3: Terugrekenen Uitwerking stap 2 Terugrekennen m. b. v. stap 2 4 = 32 - (4 * 7) 3 = 7 - (1 * 4) 1 = 4 - (1 * 3) 3 invullen 1 = 4 - (7 - (1 * 4)) 1=4 -7+4 1 = (2 * 4) -7 1 = 2 (32 - (4 * 7)) - 7 1 = 2 * 32 - 8 * 7 - 7 Haakjes wegwerken Laat de 4 staan 4 invullen Haakjes wegwerken In 7’s en 32’s schrijven 1 = 2 * 32 - 9 * 7 Leidt het antwoord af

Stap 4: Uitkomst a 1 = 2 * 32 - 9 * 7 -9 * 7 = 1 (mod 32) Aangezien de a tussen de 0 en 32 moet liggen tellen wij 32 bij -9 op. Antwoord: a (inverse) is 23

Stap 5: Controle 23 * 7 = 161 / 32 = 5 rest 1 Is gelijk aan 23 * 7 = 1 (mod 32) De inverse van 7 (mod 32) = 23