Fachwerke Prof Dr Remo Ianniello Inhalt der Vorlesung

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Inhalt der Vorlesung In diesem Abschnitt geht es um: Begriffe rund um Fachwerke 1. Teil Das Knotenpunkt Verfahren Das Verfahren nach Cremona 2. Teil Das Ritter Schnitt Verfahren Cul Das Culmann Verfahren © Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und weiter gegeben werden. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 2

Begriffe Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 3

Linien Tragwerke Linientragwerke, kurz „Träger“, sind Bauteile, deren Durchmesser sehr viel kleiner ist als die Länge. Wird ein Träger nur in Richtung seiner Achse (Zug oder Druck) beansprucht, heißt er Stab. Cul Beansprucht man einen Träger quer zu seiner Achse, so nennt man ihn einen Balken. Ein gekrümmter Balken heißt Bogen. Tragwerke, die aus abgewinkelten, starr miteinander verbundenen Balken zusammengesetzt sind, werden als Rahmen bezeichnet. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 4

Flächen Tragwerke Bei den Flächentragwerken unterscheidet man Scheiben, Platten und Schalen: Eine Scheibe ist ein ebenes Flächentragwerk, das nur Kräfte in seiner Ebene zu übertragen hat. Merkbild: Trennscheibe Eine Verbindung von Stäben kann ebenfalls „Scheibe“ genannt werden. Cul Eine Platte ist auch eben, die Kräfte wirken aber senkrecht zu ihr. Merkbild: Schallplatte Eine Schale ist einfach oder doppelt gekrümmtes Flächentragwerk, das beliebige Kräfte übertragen kann. Merkbild: Eierschale Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 5

Fragen 1) Tragwerke werden in zwei Gruppen eingeteilt. Welche sind das? Linien und Flächentragwerke Fragen 2) Was ist der Unterschied zwischen einem „Träger“ und einem „Balken“ ? „Träger“ ist die allgemeine Bezeichnung für Linientragwerke. Ein Balken ist ein spezieller Träger. Er wird quer zu seiner Achse beansprucht. 3) Was ist der Unterschied zwischen einem „Rahmen“ und einem „Bogen“? Ein Bogen ist ein gebogener Träger, ein Rahmen ist ein zusammengesetzter Träger. Cul 4) Wie kann eine Verbindung aus drei Stäben genannt werden, wenn man sie als Flächentragwerk betrachtet? „Scheibe“ 5) Was ist der Unterschied zwischen einer „Platte“ und einer „Scheibe“ ? Eine Platte überträgt Kräfte nur senkrecht, eine Scheibe nur parallel zu Ihrer Fläche. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 6

Begriffe Quiz Ein Fachwerk • ist eine Konstruktion aus… Trägern, Stäben, Stangen • soll Lasten, Spannungen, Momente aufnehmen. • hat weniger Volumen, Stabilität, Material als ein entsprechender Massivträger. Dimensionierung der Stäbe Die Stabkräfte ermittelt man aus den … • äußeren Kräften (Lager + Lasten), • Abmessungen (Längen + Durchmesser) • Gleichgewichtsbedingungen Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Cul Folie 7

Kräfte Innere Kräfte Zug oder Druckkraft, die vom Stab übertragen wird. Äußere Kräfte Lasten, die von außen einwirken, z. B. eine Lagerkraft (wie FA) oder eine aufgeprägte Kraft (wie F 1). Cul Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 8

Beschriftung Stablinien = gezeichneter Stab arabische Ziffern: 1, 2, 3 … Knoten(punkte) = Schnittpunkte der Stablinien römische Ziffern: I, III … Cul Merke: Alle äußeren Kräfte werden auf die Knoten verteilt Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 9

Nullstab Quiz „Nullstäbe“ Es ist ratsam, vor der eigentlichen Berechnung das Fachwerk auf Nullstäbe hin zu untersuchen, denn sie können bei der Berechnung weg gelassen werden. Nullstäbe sind Stäbe, die weder Zug noch Druckkräfte enthalten. Sie sind jedoch in der Praxis notwendig: § zur örtlichen Fixierung tragender Stäbe oder § zur Verhinderung von Durchbiegungen. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Cul Folie 10

Nullstab Regel 1: An einem unbelasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen, die nicht in die gleiche Richtung zeigen. Beide Stäbe sind Nullstäbe. Quiz Auf welche beiden Stäbe (rechts) trifft das zu? Regel 2: An einem belasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen und die äußere Kraft F greift in Richtung des einen Stabes an, so ist der andere Stab ein Nullstab. F F F Cul Regel 3: An einem unbelasteten Knoten sind drei Stäbe angeschlossen, von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte Stab ein Nullstab. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 11

Nullstäbe Quiz Nach welcher Regel liegt jeweils ein Nullstab vor? Cul [Quelle: www. ingenieurkurse. de/technische-mechanik-statik/fachwerke] Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 12

Begriffe Was meinen Sie? Quiz Welche Nullstäbe gibt es in diesem Fachwerk? Cul [s. a. Tutorial auf https: //www. youtube. com/watch? v=Eijv. Fpv. BEZY] Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello 13

Begriffe Boden-Wand-FW Aufgabe Wo sind Nullstäbe an dem Fachwerk in der Skizze? Cul Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 14

Fragen 1) Was ist ein Fachwerk? Eine Konstruktion aus geraden starren Stäben. 2) Was ist der Vorteil eines Fachwerks? Ein Fachwerksträger erfordert weniger Material als ein Massivträger. 3) Wonach richtet sich der Durchmesser eines Fachwerkstabes? Nach der Größe seiner Stabkraft. 4) Was ist der Unterschied zwischen “Knoten” und “Knotenpunkt” ? Knoten sind die Verbindungsstellen der realen Stäbe, Knotenpunkte die Schnittstellen der gedachten Stablinien. 5) Römische Ziffern an einer Fachwerk Skizze bezeichnen …? die Knotenpunkte 6) Die Gewichtskraft eines Stabes zählt als innere oder als äußere Kraft ? als äußere Kraft. 7) Wie behandelt man äußere Kräfte, die quer an der Mitte eines Stabes angreifen? Man zerlegt sie in Kräfte, die an den Knoten angreifen. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Cul Folie 15

Statische Bestimmtheit Quiz Ein Fachwerk kann instabil sein (zu wenig Stäbe), oder statisch bestimmt sein (alle Kräfte sind bestimmbar) oder statisch unbestimmt sein (mehr Stäbe als notwendig da). Cul instabil Fachwerke statisch bestimmt © Prof. Dr. Remo Ianniello statisch unbestimmt Folie 16

Statische Bestimmtheit ermitteln: Anzahl an vorhandenen Gleichungen Vergleich Anzahl an unbekannten Kräften Erstellbare Gleichungen: Jeder Knoten liefert 2 Gleichungen: ΣFx=0, ΣFy=0 k Knoten liefern 2 k Gleichungen. Unbekannte Kräfte: Ein Loslager entspricht einer unbekannten Kraft → 1 Ein Festlager entspricht zwei unbek. Kräften → 2 Jeder Stab beinhaltet eine unbekannte Kraft → s Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Cul Das Abzählkriterium für statische Bestimmtheit lautet: 2 k = 3+s Folie 17

Statische Bestimmtheit Ermitteln Sie die statische Stabilität bzw. statische Bestimmtheit der abgebildeten drei Fachwerke mit Begründung. Quiz Drei Fachwerke Cul 2 k=3+s 2· 4 > 3+ 4 8>7 instabil Fachwerke 2 k=3+s 2· 4 = 3+ 5 8=8 statisch bestimmt © Prof. Dr. Remo Ianniello 2 k=3+s 2· 4 < 3+ 6 8<9 statisch unbestimmt Folie 18

Statische Bestimmtheit zur Erinnerung: Cul Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 19

Statische Bestimmtheit Ein statisch bestimmter Stab, der mit zwei anderen Stäben ein Dreieck bildet, ist das einfachste ebene, statisch bestimmte Fachwerk. Denn: Dreieckige Fachwerke erfüllen immer s = 2 k - 3 Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Cul Folie 20

Verfahren zeichnerisch analytisch ganzes FW Cremona Plan lokal Fachwerke Culmann Verfahren Knotenpunkt Verfahren Ritterscher Schnitt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 21

Knotenpunkt. Verfahren Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 22

Knotenpunkt Verfahren „Rezept: Knotenpunkt-Verfahren“: 1) Knoten (I, II, . . ) und Stäbe (1, 2, . . . ) nummerieren 2) Statische Bestimmtheit kontrollieren 3) Nullstäbe kennzeichnen 4) Freimachen, Lagerkräfte ermitteln. 5) Freischnitt um ersten Knoten; dabei alle unbekannten Stabkräfte zunächst als Zugkräfte annehmen. 6) Zerlegung der Stabkräfte in ihre Komponenten 7) Kräfte Bilanzen erstellen. 8) Ergebnis Tabelle erstellen: Kräfte in Zug Stäben positiv, Kräfte in Druck Stäbe negativ kennzeichnen Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Wird bei allen Verfahren durchgeführt. Cul Folie 23

Knotenpunkt Verfahren Kran Aufgabe Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Knotenpunkt Verfahren zu berechnen. Gegeben: F = 7, 071 k. N, a = 2, 828 m FAx = 5 k. N FAy = 15 k. N FB = 20 k. N Fachwerke Cul © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 24

Knotenpunkt Verfahren Boden-Wand-FW Aufgabe Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Knotenpunkt Verfahren zu berechnen. Gegeben: F 1 = F 2 = F 3 = 10 k. N Fachwerke Cul © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 25

Cremona-Plan Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 26

Cremona Plan „Rezept: Cremona-Plan“: 1) Knoten (I, II, . . ) und Stäbe (1, 2, . . . ) nummerieren 2) Statische Bestimmtheit kontrollieren 3) Nullstäbe kennzeichnen 4) Freimachen, Lagerkräfte ermitteln. 5) Umlaufsinn (Kraftfolge) festlegen 6) Freischnitt des ersten Knotens = Lageplan; nur zwei unbekannte Kräfte dürfen vorliegen. 7) Kräfteplan aufbauen. Stabkräfte nummerieren. 8) Vergleich von Umlaufrichtung und Lageplan gibt an, ob ein Zug oder Druckstab vorliegt. 9) Stabkraft Tabelle mit Kennzeichnung von Zug (+) bzw. Druck ( ) Stäben erstellen. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Wird bei allen Verfahren durchgeführt. Cul Folie 27

Cremona Plan Brücke Aufgabe Ein Fachwerk wird mit den Kräften F 1 , F 2 und F 3 , sowie FA und FB nach Skizze belastet. Alle Stabkräfte sollen mit Hilfe des Cremona Plans ermittelt werden. Cul Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 28

Cremona Plan 1) 2) 3) 4) Stäbe und Knoten sind nummeriert. Das Fachwerk ist statisch bestimmt. Knoten mit max. 2 unbekannten Stab. Es gibt keine Nullstäbe. kräften aussuchen Lagerkräfte: FA = 5, 75 k. N, FB = 6, 25 k. N Hier fortfahren Lageplan 2, Zugstab FA Drehsinn festlegen 1, Druckstab Wirklinie der - nach dem Drehsinn - nächsten Kraft zeichnen Hier enden Kräfteplan Fachwerke Wirklinie der nächsten Kraft (nach dem Drehsinn) in den Kräfteplan ziehen (mit bekannter Kraft beginnen) © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 29

Cremona Plan Den ersten Kräfteplan behalten. Dann den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten II 4 hier enden FA 2+ im Drehsinn mit bekannten Kräften starten 3 F 1 1 Kräfteplan Fachwerke hier weiter machen Lageplan © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 30

Cremona Plan Kräfteplan beibehalten. Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten III hier weiter machen 6+ 4 FA 2+ 5 hier enden im Drehsinn mit bekannten Kräften starten 3 1 Kräfteplan Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 31

Cremona Plan Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten IV 8 - hier enden hier weiter machen 7 - 6+ F 2 5 4 FA 2+ 3 im Drehsinn mit bekannten Kräften starten 1 zur Lösung Kräfteplan Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 32

Cremona Plan Cul Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 33

Cremona Plan Kran Aufgabe Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Cremona Plan zu berechnen. Gegeben: Cul F = 7, 071 k. N, a = 2, 828 m zur Lösung Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 34

Cremona Plan Cul Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 35

Aufgabe Cremona Plan Fachwerkträger Für den skizzierten Fachwerkträger sind die Stabkräfte zeichnerisch nach dem Cremona Verfahren zu bestimmen. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 36

Ritter-Schnitt. Verfahren Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 37

Ritterscher Schnitt Was ist das Verfahren nach Ritter? nicht ein Knoten, sondern mehrere Stellen Ansatz: Nicht nur Kräftebilanz, sondern auch Momentenbilanz. ΣM = 0 Cul mehrere Stellen Georg Dietrich August Ritter (*1826, † 1908 in Lüneburg) war ein deutscher Professor für Mechanik und für Astrophysik. Er entwickelte das Rittersche Schnittverfahren zur Berechnung von Stabkräften in Fachwerken. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 38

Ritterscher Schnitt Wie berechnet man nach Ritter? Ein Ritterscher Schnitt muss entweder durch drei Stäbe, die nicht alle demselben Knoten angehören, gehen oder durch einen Knoten und einen Stab Cul Das Tragwerk zerfällt dabei in zwei Teile. Für jeden Teilkörper gelten die drei GGW Bedingungen → Σ Fx, Σ Fy und Σ M = 0. drei unbekannte Stabkräfte sind ermittelbar. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 39

Ritterscher Schnitt Brücke Aufgabe Bestimmen Sie die Stabkräfte S 4 = 5, 75 k. N, S 5 = 2, 47 k. N und S 6 = +7, 5 k. N nach dem Ritterschen Schnitt Verfahren. Cul Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 40

Ritterscher Schnitt Ausleger Aufgabe Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Ritterschen Schnittverfahren die Stabkräfte S 10 = 30 k. N, S 11 = 27, 4 k. N, S 12 = 51, 88 k. N zu ermitteln. F = 8 k. N Cul Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 41

Ritterscher Schnitt Aufgabe Kleine Ritter-Brücke Bestimmen Sie die Kraft in den Stäben GE, GC und BC des Fachwerks und geben Sie an, ob die Stäbe unter Zug oder unter Druck stehen. F 1 = 400 N, F 2 = 1. 200 N, h = 3 m, l = 4 m. Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 42

Culmann. Verfahren Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 43

Culmann Verfahren Ausleger Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Culmann Verfahren die Stabkräfte S 10 = 30 k. N, S 11 = 27, 4 k. N, S 12 = 51, 88 k. N zu ermitteln. F = 8 k. N Wirklinien Man benötigt der Kräftepaare zwei Kräftepaare einzeichnen – daher werden die drei einzelnen F zu einer Schnittpunkte markieren und. Kräfte verbinden Resultierenden 3 F zusammen gefasst. Cul Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 44

Culmann Verfahren Ausleger Für den abgebildeten Ausleger sind nach Ein Parallelogramm der dem Culmann Verfahren die Stabkräfte unbekannten Kräfte mit R 2 S 10 = 30 k. N, liefert die fehlenden Beträge S 11= 27, 4 k. N, S 12 = 51, 88 k. N zu ermitteln. R 1 hat eine gleich große, entgegen gesetzte F = 8 k. N Resultierende R 2 S 11 Ein Parallelogramm mit der bekannten Kraft. . . Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Cul R 1 S 10 . . . liefert S 10 und damit auch R 1 Folie 45

Fachwerke © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 46

Knotenpunkt Verfahren Brücken-FW Aufgabe Ein Fachwerk wird mit den äußeren Kräften F 1 , F 2 , F 3 , sowie FA und FB belastet. Die Stabkräfte ("innere Kräfte") S 1 bis S 8 sollen mit Hilfe des Knotenpunkt Verfah rens ermittelt werden. Lösung: S 1 = -5, 75 k. N S 2 = 8, 13 k. N S 3 = -4 k. N Fachwerke Cul S 7 = -1, 77 k. N S 8 S 4 = - 5, 75 k. N Lösung = -6, 25 k. N S 5 = -2, 475 k. N S 6 = 7, 5 k. N © Prof. Dr. Remo Ianniello S 9 = -5 k. N S 10 = 8, 84 k. N S 11 = -6, 25 k. N Folie 47