Biegung von Freitrger Prof Dr Remo Ianniello Inhalt

Biegung von Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello

Inhalt In diesem Foliensatz geht es um: Biegemoment Schnittgrößen Mehrere Einzelkräfte Streckenlasten Mischlasten © Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und weiter gegeben werden. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 2

Einleitung Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 3

Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 4

Ein Freiträger soll so stabil ausgelegt werden, dass er der Belastung stand hält. Dicke, Höhe und Länge des Trägers sollen ausreichend dimensioniert sein, abhängig von INTR O Worum geht es? a) dem verwendeten Material (hier: Stahl) b) der zu erwartenden Belastungsart (hier: Biegung) c) dem zu erwartenden Lastfall (hier: statisch) Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 5

Herausforderung Wie die maximale Belastung ermitteln ? Zu groß dimesionert Zu klein dimensioniert → instabil → zu viel Material → gefährlich → zu teuer Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello INTR O Wie daraus die Abmessungen berechnen ? Folie 6

Lösungs-Strategie W ist je nach Trägergröße und Werkstoff in Tabellen zu finden. INTR O σb zul ist je nach Werkstoff und Lastfall in Tabellen zu finden. Zug/ Der Träger wird auf Zug/Biegung belastet. Die Kraft erzeugt ein Biegemoment Mb. Mb erzeugt eine Biegespannung σb. σb ist abhängig vom Widerstandsmoment W. Die Gleichung dazu ist: W muss so groß sein, dass σb ≤ σb zul. W ist abhängig von den Abmessungen des Träger-Querschnitts. Die Abmessungen sind passend zu wählen. Mb max bestimmen σb zul aus Tabelle suchen Mb max und σb zul in Werf = Mb/ σb zul setzen Formel von Werf Maße Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 7

Biegemoment Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 8

Biegemoment Moment Quiz Ein Junge versucht, eine Sechskant-Mutter mit Hilfe eines Schraubenschlüssels anzuziehen. Er greift den Schlüssel in der Mitte (r = 20 cm) und zieht unter einem Winkel von 30° zum Lot. Ein “Freiträger” ist einseitig eingespannter Träger. a)Wie groß ist das Moment, das der Junge mit seiner Kraft von 120 N auf die Mutter ausübt? M = r x F = r F sin(φ) = 20, 78 Nm b)Wirkt ein Moment nur auf die Mutter oder auch im Schaft zwischen Hand und Mutter? An jeder Stelle x im Schaft wirkt ein Mb = rxx. F c)An welcher Stelle ist das Drehmoment maximal? An der Stelle mit dem größten Hebelarm: in der Mutter. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello F 60° rx Folie 9

Quiz Biegemoment Moment d). Die Mutter sitzt sehr fest; sie kann vom Jungen nicht gelöst werden. Wie lässt sich das Moment an der Schraube vergrößern? üArnold S. holen, Kraft vergrößern, üVerlängerung des Hebelarms r üWinkel zwischen Wirklinie F und r auf 90° bringen. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 10

Aufgabe Biegemoment Sprungbrett Ein stämmiger Herr steht im Schwimmbad auf dem Einer. Durch seine Gewichtskraft von 0, 8 k. N übt er ein Moment auf die Querschnitte des Sprungbretts aus. a) Formulieren Sie eine allgemeine Gleichung, mit der sich das Moment berechnen lässt, das im Abstand L vom sportlichen Herrn im Querschnitt wirkt. b) An welcher Stelle wirkt das größte Moment? c) Durch das Moment wird das Sprungbrett verformt. Welcher Art ist die Verformung? Um was für eine Art von Moment handelt es sich? Freiträger a) Schnittgrößen: Mb = -(L-x) FG b) In der Wand am linken Ende c) Verformung = Biegung → Biegemoment © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 11

Aufgabe Biegemoment Sprungbrett d) In den Randfasern des Sprungbretts wirkt die Biegespannung. Die obere Randfaser wird gestreckt, die untere gestaucht. Wie ist der formelmäßige Zusammenhang zwischen dem Moment Mb und der Spannung b ? e) Würde sich die Spannung in der Randfaser ändern, wenn das Brett dicker oder dünner wäre? f) Ändert sich das Widerstandsmoment im Brettquerschnitt mit wachsender Entfernung vom sportlichen Herrn? Freiträger e) Ja. Dicker → kleinere Spannung f) Nein. W ist von der Querschnitts. Geometrie abhängig. © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 12

Abmessungen Der Gabelstapler- Kranarm hat eine L 1 = 2 m lange Verlängerung mit dem Querschnitt 20 x 50. An ihm hängt eine beladene Palette mit 203, 874 kg. L 2 = 2, 3 m. a) Wie groß ist das Biegemoment Mb an der Stelle A? Aufgabe F b) Wie groß ist die Biegespannung σb bei A? c) Wie groß ist für S 235 JR die zulässige Biegespannung σb zul? d) Wie groß muss demnach Werf sein? e) Wie groß sollte die Höhe h gewählt werden? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 13

Biegemoment Tabelle erstellen Wie groß sind die Biegea) -momente in den Abschnitten 1 bis 5 ? b) -spannungen in den Abschnitten ? c) erstellen Sie eine Momentengleichung, damit man das Moment an einer beliebigen Stelle x auf Anhieb bestimmen kann. Beim Freiträger tritt Mb max an der Einspannstelle auf. Freiträger Biegemoment und Biegespannung steigen über die Trägerlänge linear an. © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 14

Abmessungen Aufgabe Quadratstahl Ein Freiträger soll bei l = 350 mm und quadratischem Querschnitt eine Einzellast von 4, 2 k. N aufnehmen. Die zulässige Biegespannung soll 120 N/mm² betragen. Gesucht: a) das maximale Biegemoment, Mb max = 1. 470 Nm b) das erforderliche Widerstandsmoment, W = 12. 250 mm³ c) die Seitenlänge a des flachliegenden Quadratstahles, a = 41, 89 mm d) die Seitenlänge a 1 eines über Eck gestellten Quadratstahles. a 1 = 47 mm e) welche Ausführung ist wirtschaftlicher? Die Ausführung mit a erfordert weniger Material. Wirtschaftlicher ist ein flach liegender Quadratstahl. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 15

Schnittgrößen Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 16

Schnittmethode Normalkraft, Längskraft Biege. Moment Querkraft Freiträger Querkraft © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 17

Schnittmethode Lageplan. Träger Schnittgrößen Quiz Wenden Sie die Schnittmethode an folgendem Träger an, indem Sie den linken Teil des Trägers frei schneiden: Momenten-Verlauf Querkraft-Verlauf Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 18

Aufgabe Schnittmethode Freiträger mit Einzellast a) Machen Sie den Freiträger frei. b) Bestimmen Sie die Auflagergrößen. F = 130 N, l = 2 m c) Schneiden Sie den Freiträger an einer beliebigen Stelle x und tragen Sie die Schnittgrößen Mb(x) und FQ(x) an das linke Schnittufer an. d) Gesucht ist eine allgemeine Gleichung für den Verlauf des Momentes Mb; erstellen Sie dazu eine Momenten-Bilanz. e) Erstellen Sie eine Gleichung für den Verlauf der Querkraft FQ(x). f) Stellen Sie den Verlauf von Mb(x) und FQ(x) graphisch dar. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 19

Aufgabe Schnittmethode Eingeprägtes Moment Schneiden Sie den Freiträger einmal vor und einmal hinter der Mitte, wo ein Moment eingebracht wird. Für beide Schnitte ist die Querkraft- und die Momenten. Gleichung gesucht. P = 100 N, M = 800 Nm, l = 2 m a) Bestimmen Sie dazu zunächst die Randbedingungen; hier also das Halte. Moment MW der Wand. b) Skizzieren Sie die beiden Schnitte, indem Sie den linken Teil freimachen. c) Stellen Sie die Gleichung für die beiden Querkraft-Verläufe auf. d) Wie sehen die Gleichungen für die Momenten-Veräufe aus? e) Skizzieren Sie die Verläufe von Mb(x) und FQ(x). [Quelle: Hibbeler, Techn. Mech. Bd. 1] Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 20

Mehrere Einzelkräfte Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 21

Aufgabe Mehrere Einzelkräfte 1 m - Brett An ein 1 m-Brett hängen sich nacheinander mehrere Personen. Jede Person übt ein Moment Mi = Fi li aus. a) Welche Stelle des Brettes ist durch die Gewichtsmomente am meisten belastet? b) Wie lässt sich das maximale Gesamtmoment berechnen? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 22

Schnittmethode Aufgabe Eingeprägte Kraft Für den Träger ist die Querkraft- und die Momenten-Gleichung gesucht. P = 400 N, F = 100 N, l = 1 m a) Bestimmen Sie dazu zunächst das Moment MW und die Kraft FW der Wand. b) Schneiden Sie den Freiträger links von der Stelle, an der die Kraft F eingebracht wird. Machen Sie den linken Teil frei. Stellen Sie die Gleichung für den Querkraft-Verlauf auf. c) Wie sieht der Momentenverlauf Mb(x 1) aus? d) Schneiden Sie den Freiträger rechts von der Kraft F. Machen Sie den linken Teil frei. Stellen Sie die Gleichung für den Querkraft-Verlaufe auf. e) Wie sieht die Gleichung für den Momenten-Verauf Mb(x 2) aus? f) Skizzieren Sie die kombinierten Verläufe von Mb(x) und FQ(x). Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 23

Aufgabe Geradengleichungen Drei Kräfte Ein Freiträger mit einem axialen Widerstandsmoment von Wx = 64. 700 mm 3 wird durch drei Einzelkräfte belastet. a) Wie lautet die Geradengleichung für diese Momente? b) Stellen Sie eine Tabelle auf, in der für die drei Fälle die verschiedenen Steigungen m und der y-Achsendurchgang b eingetragen ist. m = M/ x b = Mmax 3 - 2, 5 103 Nm/m 500 Nm 2 - 4 103 Nm/m 3. 600 Nm 1 - 3 103 Nm/m 3. 150 Nm Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 24

Geradengleichungen Drei Kräfte c) Verwenden Sie probeweise die Werte für Mb 1(x) für einen Abstand von x = 10 mm. Wie groß ist das Biegemoment an dieser Stelle des Trägers? Aufgabe Mb 1(10) = 3. 120 Nm d) Die Einzelmomente, die an einer Stelle x wirken, werden addiert und ergeben das Gesamtmoment an dieser Stelle. Wie groß ist das Gesamtmoment an der Angriffsstelle von F 3 , also bei x = 200 mm? Mb(20) = 5. 350 Nm e) Wie groß ist die maximale Biegespannung ? b, max = 112. 06 N/mm² Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 25

Geradengleichungen Aufgabe Freiträger IPB 180 Ein Freiträger IPB 180 DIN 1025 -S 235 JR wird durch drei Einzelkräfte belastet. x-Ache = Biegeachse Gesucht: a) die maximalen Mi und damit den Verlauf des Biegemoments. b) die Gleichungen für die Biegemomente c) die max. Biegespannung max Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 26

Querkraft-Diagramm für Einzelkräfte Beim Freimachen des Trägers wird die Wand durch die Kraft FWand ersetzt, und der Träger wird durch einen waagerechten Strich symbolisiert. Im Achsenkreuz des Diagramms werden die Kraftvektoren an ihrem Ort x belassen. Man verfolgt von links nach rechts die Höhe der linksseitig wirkenden Kraftsumme. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 27

Querkraft-Diagramm Bedeutung des Querkraft-Diagramms Gegeben ist ein Freiträger nach DIN 1025 -S 235 JR-I 80, der durch drei Einzelkräfte belastet wird. Es soll ein Querkraft-Diagramm erstellt werden. Man erstellt dann aus den Flächen des Querkraft-Diagramms auf folgende Weise den Momenten-Verlauf. 1. 900 Nm Mb X 7. 250 Nm X 5. 350 Nm 450 Nm X Freiträger X 4. 900 Nm x © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 28

Aufgabe Einzelkräfte Freiträger IPE 140 - Geradengleichungen Ein Freiträger IPE 140 DIN 1025 -S 235 JR wird durch zwei Einzelkräfte belastet. Gesucht: a) die Kraft FW in der Wand b) das Querkraft-Diagramm. Es sind zwei Alternativen dazu möglich. c) die Momente an den Stellen x = 0; 400 und 900 mm. Zeichnen Sie die Werte in ein Momenten-Diagramm ein. Legen Sie dazu den Ursprung des Koordinatensystems ans linke Trägerende. d) die Gleichungen für den jeweiligen Momentenverlauf Mb(x). Schreiben Sie die Gleichungen an die jeweilige Momentengerade. e) Wenn die Querkraft die Ableitung des Momentes ist – was ergibt sich daraus für die Steigung m der Momenten-Geraden? f) Und was ergibt sich daraus für die Flächen im Querkraft-Diagramm? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 29

Überblick Schnittmethode Gesucht: Maximale Biegespannung des Trägers Ursache für die Spannung ist das Biegemoment Mb. Das maximale Moment kann aus der Schnittmethode bestimmt werden. Träger frei machen Schnittmethode Aus Tabelle für den jew. Werkstoff Lastfall Mb max Momenten. Gleichung Momenten. Diagramm Querkraft. Gleichung Querkraft. Diagramm Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 30

Aufgabe Einzelkräfte Freiträger IPE 140 - Schnittmethode Ein Freiträger IPE 140 DIN 1025 -S 235 JR wird durch zwei Einzelkräfte belastet. Gesucht: g) Schnittmethode: Schneiden Sie den Träger zwischen F 1 und F 2 und betrachten den linken Trägerteil. Bestimmen Sie • Die Querkraft-Gleichung Q(x 1) • Die Gleichung für den Momentenverlauf Mb(x 1) h) Schneiden Sie den Träger zwischen F 2 und der Wand. Wie sehen die Gleichungen Q(x 2) und Mb(x 2) in diesem Abschnitt aus? i) Wie groß ist die maximale Biegespannung? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 31

Streckenlast Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 32

Streckenlast Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 33

Streckenlast Aufgabe Lagerzapfen Ein Lagerzapfen wird durch eine Kraft von F = 10 k. N belastet, die gleichmäßig über die Zapfenlänge verteilt ist. a) Wie groß ist die Streckenlast q ? b) Wie groß ist das größte Biegemoment, wenn der Zapfen als Freiträger betrachtet wird, und man die Kraft F vereinfacht als Einzelkraft in Zapfenmitte angreifend betrachtet? c) Wie groß ist das größte Biegemoment, wenn man die Kräfte auf 5 gleichmäßig verteilte Einzelkräfte aufteilt? d) Vergleichen Sie den Momenten-Verlauf in beiden Fällen b) und c). e) Die Momenten-Bilanz ist: Wie groß wäre demnach Mbmax ? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 34

Querkraft-Diagramm Querkraftdiagramm für Streckenlasten Der Querkraftverlauf erfolgt stufenweise an jeder Einzellast. Eine Streckenlast entspricht unzähligen kleinen Einzellasten, die man zu einer Geraden zusammenfassen kann. Aus der abfallenden Gerade lässt sich eine Gleichung für 0 x L erstellen: Die Steigung m ist die Streckenlast q, denn: Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 35

Quiz Diagramme zeichnen Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 36

Streckenlast Aufgabe n-Träger Ein einseitig eingespannter Träger ist durch eine Streckenlast q beansprucht. a = 3 cm; d = 1 cm; q = 10³ N/m; l = 100 cm. Gesucht ist die maximale Biegespannung. b max = 136 N/mm² Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 37

Geradengleichungen Köln Aufgabe Ein freitragender, 3, 7 m langer Stahlträger wird durch seine Gewichtskraft belastet. Es handelt sich um einen schmalen I-Träger nach DIN 1025 – S 235 JR – I 240, an dem eine Nebelwarnanzeige befestigt ist. a) Zeichnen Sie ein gemeinsames Querkraftdiagramm für: den Träger ohne Schild / nur für das Schild / für beide zusammen. Bei welcher Querkraft liegen die y-Achsen-Schnitte? b) Wie sehen die Gleichungen für die drei Geraden aus ? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 38

Mischlasten Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 39

Mischlast Der Verlauf der Querkraft lässt sich darstellen: analytisch → Gleichung Q(x) = … zeichnerisch → Querkraftdiagramm. Streckenlast: schräge Geraden. Einzelkräfte: Stufen. Der Verlauf des Moments lässt sich darstellen: analytisch → Gleichung Mb(x) = … zeichnerisch → Parabel-Abschnitte überlagern sich mit Geraden. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 40

Mischlast Kastenträger Ein symmetrischer Kastenträger wird durch eine gleichmäßig verteilte Streckenlast und eine Einzellast am freien Ende beansprucht. Aufgabe l = 5 m; q = 0, 9 k. N/m; F= 2 k. N. Machen Sie den Träger frei, und ermitteln Sie a) die Reaktionskräfte in der Wand b) die Querkraftgleichung und den Querkraftverlauf c) die Momentengleichung und den Momentenverlauf. d) Position x 0 und Betrag des max. Biegemoments (Mb max). Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 41

Mischlast Aufgabe Holzbalken Ein freitragender Holzbalken (σbzul = 12 N/mm 2 ) wird belastet durch die Einzellasten F 1 = 4 k. N, L 1 = 0, 8 m, F 2 = 3 k. N , L 2 = 0, 4 m und durch eine gleichmäßig über die Balkenlänge verteilte Streckenlast von insgesamt q = 12, 5 k. N/m. Ermitteln Sie a) b) c) d) e) f) Querkraftgleichung und Querkraftverlauf Momentengleichung und Momentenverlauf. die Position x 0 von Mb max. den Betrag des max. Biegemoments das erforderliche Widerstandsmoment, die Querschnittsmaße b und h für ein Bauverhältnis b/h = ¾. M d)b max = 8, 4 k. Nm e)erf = 7 105 mm³ W f) h = 177, 6 mm, b = 133, 2 mm Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 42

Verläufe FQ und Mb Quiz Wie würden der Querkraft- und der Momenten-Verlauf des folgenden Trägers mit gemischten Lasten aussehen? Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 43

Fragen 1) Wie verläuft die Querkraft eines Freiträgers, der durch eine Streckenlast beansprucht wird? Sie ist eine nicht waagerechte Gerade. Fragen 2) Welche Form hat das Moment eines solchen Freiträgers? Es hat die Form einer Parabel. 3) Woran lässt sich die Position des maximalen Biegemoments erkennen? Sie liegt an einem Nulldurchgang des Querkraft-Verlaufs. 4) Was für eine Größe gibt eine Fläche im Querkraft-Diagramm an? Sie gibt ein Biegemoment an. 5) Wie ergibt sich dadurch das maximale Biegemoment? Man berechnet die Fläche zwischen Querkraft und x-Achse von der Nullstelle (x. E) aus bis zum Trägerende. 6) Wie erhält man die Position des maximalen Biegemoments analytisch? Durch Ableiten der Momentengleichung und anschießendem Null setzen. Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 44

Übungs-Aufgaben Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 45

Maße Gurtplatten Ein vorhandener Biegeträger aus 2 U-Profilen ist durch Aufschweißen von Gurtplatten so zu verstärken, dass er ein maximales Biegemoment von 1, 68 · 105 Nm bei einer zulässigen Spannung von 140 N/mm² und einer Gurtplattendicke von s = 20 mm aufnehmen kann. Gesucht: Plattenbreite b. {Lösung: b = 177 mm} Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 46

Lösung Maße Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 47

Tabelle schmaler I-Träger Freiträger © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 48