Schwerpunkt Inhalt der Vorlesung Schwerpunkt Eigenschaften A FlchenSchwerpunkt

Schwerpunkt

Inhalt der Vorlesung Schwerpunkt Eigenschaften A Flächen-Schwerpunkt V Volumen-Schwerpunkt L Linien-Schwerpunkt © Copyright: Der Inhalt dieser Folien darf - mit Quellenangabe - kopiert und weiter gegeben werden. Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 2

Eigenschaften Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 3

Begriffe Bei der Auslegung von Trägern benötigt man die Position der Biegeachse. Die Biegeachse verläuft immer durch den Schwerpunkt des Querschnitts. Oft ist der Querschnitt aus mehreren Teilflächen zusammengesetzt: Biegeachse ? Aus deren Teilschwerpunkten berechnet man einen gemeinsamen Schwerpunkt. S Die Anzahl der Bewegungsmöglichkeiten nennt man „Freiheitsgrade“. Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 4

Schwerpunkt Was ist ein Schwerpunkt ? Der Punkt, in dem ein Körper abgestützt oder aufgehängt werden muss, damit er nicht rotiert, heißt Schwerpunkt. A V Besonderheit: Der Schwerpunkt kann sich außerhalb des Körpers befinden – je nach Verteilung der Masse. Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello L Folie 5

Schwerpunkt A V L Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 6

Schwerpunkt Die aktuelle Sprungtechnik wurde von dem Amerikaner Dick Fosbury entwickelt: 1968 Gold bei den Olympischen Spielen in Mexiko-City. Der Springer läuft beim Anlauf eine Kurve, dreht auf den letzten Schritten den Rumpf und überquert die Latte rücklings. Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 7

Schwerpunkt Die Flugbahn eines Schwerpunktes ist immer eine Parabel – egal, ob sich der Körper dabei seine Gestalt ändert. Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 8

Standsicherheit Quiz Man unterscheidet drei Gleichgewichtslagen: Stabiles, labiles und indifferentes Gleichgewicht. A Stabilität Ordnen Sie den verschiedenen Situationen das entsprechende Gleichgewicht zu. V L stabil indifferent labil Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 9

Schwerpunkt Quiz Fazit: Liegt der Schwerpunkt eines Körpers unter dem Aufhängepunkt: stabile Lage über dem Aufhängepunkt: labile Lage A V L Warum hat der Herr links größere Schwierigkeiten, sich auf dem Seil zu halten, als der Motorradfahrer? Wie könnte er seine Situation optimieren? Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 10

Schwerpunkt A V L Seilartisten Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 11

Schwerpunkt A Wie könnte der Einfluss der Hebelarme auf das Gleichgewicht zweier Massen mathematisch formuliert werden? V Aufgabe L Schwerpunkt-Formel a) Machen Sie die Wippe frei. b) Erstellen Sie eine Momenten-Bilanz in Bezug auf den Koordinaten-Ursprung am linken Bildrand mit dem Abstand x 1 zur Wippe. c) Lösen Sie die Gleichung nach x. S auf. d) Entwickeln Sie daraus eine allgemeine Formel zur Bestimmung der Schwerpunkt-Position x. S , wenn also n Kräfte an n verschiedenen Angriffspunkten wirken. Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 12

Fragen 1) Nennen Sie fünf verschiedene Kräfte. Federkraft, Fliehkraft, Gewichtskraft, Reibkraft, Trägheitskraft. 2) Welche dieser Kräfte greifen im Schwerpunkt eines Körpers an ? Trägheits- (Ft = m·a), Schwer- (FG = m·g), Flieh-Kraft (FZ = m·v²/r) 3) Richtig oder falsch? Ein Schwerpunkt a. kann sich außerhalb eines Körpers befinden, Fragen b. seine Position im Körper nicht verändern, c. die Position der Biegeachse eines Trägers angeben d. hat eine Position, die durch eine Kräfte-Bilanz ermittelbar ist. Nein, sondern durch eine Momenten-Bilanz. 4) Wie verändert sich der Schwerpunkt einer stehenden Flasche Wein, die immer leerer wird? Der Schwerpunkt wandert von der Mitte nach unten und wieder zur Mitte. Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 13

Flächen. Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 14

Flächen-Schwerpunkt A Geometrischer Mittelpunkt Quiz Besteht ein Körper aus einem Material mit konstanter Dicke b und Dichte ρ, entspricht sein Schwerpunkt dem geometrischen Mittelpunkt. a) Wie ermittelt man zeichnerisch den geometrischen Mittelpunkt (und damit den Schwerpunkt) eines Rechtecks? b) Wie ermittelt man den Schwerpunkt eines Dreiecks? 2/3 c) Wie ermittelt man den Schwerpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks? V L 1/3 2/3 Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 15

Flächen-Schwerpunkt Allgemein gilt: Flächen mit einer Symmetrieachse: SP liegt auf Symmetrieachse. Flächen mit mehreren Symmetrieachsen: SP liegt im Schnittpunkt der Symmetrieachsen A V L Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 16

Flächen-Schwerpunkt Quiz Flächen-Schwerpunkte A Wie lauten die Schwerpunktskoordinaten für folgende geometrische Figuren? Dreieck Parallelogramm Trapez Kreisauschnitt Schwerpunkt V L © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 17

Flächen-Schwerpunkt Eine Fläche, die sich in mehrere geometrische Flächen unterteilen lässt, hat ihren Schwerpunkt nach der Formel: A V L Ausgehend von einer konstanter Dicke b und Dichte ρ ergibt sich mit: für die jeweilige Koordinaten-Achse „Flächenmoment 1. Grades“ bzw. Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 18

Flächen-Schwerpunkt A Zwei-Kreisloch-Blech Bestimmen Sie die Schwerpunktsabstände x 0 und y 0 der Querschnittsfläche V Aufgabe L Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 19

Flächen-Schwerpunkt A Ein-Kreisloch-Blech Bestimmen Sie die Schwerpunktsabstände x 0 und y 0 der Querschnittsfläche V Aufgabe L 3 2 Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello 4 1 Folie 20

Volumen. Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 21

Volumen-Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 22

Volumen-Schwerpunkt Aufgabe Besteht ein Körper aus einem Material mit konstanter Dichte, entspricht sein Schwerpunkt dem geometrischen Mittelpunkt. Symmetrielinien gehen durch den Schwerpunkt. Volumen Wie lauten die Schwerpunkts. Koordinaten für die folgenden geometrischen Figuren? a) Basis eines dreiseitigen Prismas b) quadratische Pyramide c) Kegel Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 23

Volumen-Schwerpunkt Ein zusammen gesetzter Körper hat seinen Schwerpunkt nach der Formel: A V L Ausgehend von einer konstanter Dichte ρ ergibt sich mit: für die jeweilige Koordinaten-Achse bzw. Volumen-Moment 1. Grades Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 24

Volumen-Schwerpunkt A Aufgabe Stahlwerkstück Die Abbildung zeigt eine Draufsicht und die Schnittdarstellung eines Werkstücks aus Stahl. Wie groß sind die Schwerpunktabstände x 0, y 0 und z 0? 2 1 3 V 4 L 1 4 2 3 Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 25

Linien. Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 26

Aufgabe Linien-Schwerpunkt Deckel Der abgebildete Deckel soll mit einem Stanzwerkzeug aus einem Blechstreifen geschnitten werden: Im Blechstreifen werden gleichzeitig links die vier Löcher des einen und rechts daneben das große Loch des anderen Deckels herausgestanzt. Die Wirklinie der Stempelkraft zum Trennen aller fünf Konturen muss in deren Linien-Schwerpunkt liegen, sonst verkippt das Werkzeug und erzeugt unsaubere Schnittflächen. 1 2 4 5 3 Schwerpunkt © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 27 A V L

Linien-Schwerpunkt A Aufgabe Knethaken Der abgebildete Knethaken soll um die vertikale Achse rotieren. Deshalb ist die Länge l des unteren Segments so zu bestimmen, dass der Gesamtschwerpunkt in der Drehachse liegt. Schwerpunkt V L © Prof. Dr. Remo Ianniello Folie 28