AA209 Aerodinmica da Asa e Fuselagem em Regime

AA-209 Aerodinâmica da Asa e Fuselagem em Regime Subsônico Prof. GIL

Conceituação • Métodos de elementos discretos forma mais geral de classificar os conhecidos métodos de painéis e de malha de vórtices. • Todavia, baseiam-se no mesmo princípio, empregar singularidades aerodinâmicas cujas funções de potencial são soluções da equação de Laplace: • Elementos discretos: – São lugares geométricos elementares aos quais de associa a posição de uma singularidade ou distribuição de singularidades; – Os pontos e/ou superfícies elementares, por exemplo, são definidos de forma a discretizar um corpo em regiões elementares, transformando uma superfície continua em um conjunto de superfícies que “aproximam” a forma do corpo. 2

Corpo Aerodinâmico Discretizado • Exemplo de uma aeronave: • Por exemplo, representando uma superfícies curva por placas elementares, se perde um pouco em fidelidade de representação geométrica. 3

Métodos de Elementos Discretos • Métodos de elementos discretos são baseados na solução integral da equação do potencial aerodinâmico linear (EPAL), particularizada para condições de contorno que descrevem a configuração aerodinâmica de interesse. • A transformação da forma diferencial da EPAL para a forma integral é realizada aplicando-se o teorema de Green, chegando a: 4

Solução Elementar • Esta equação integral assume que sobre a superfície S, são distribuídas fontes js e dipolos jd (soluções elementares da equação do potencial aerodinâmico linear), bem como nas superfícies que definem a esteira aerodinâmica (W - Wake). • O potencial devido uma fonte e um dipolo de intensidade s e m (ou Dj ) são, por exemplo, dados por: onde, Posição da fonte Ponto que recebe Distância entre a fonte e o ponto que recebe 5

Método de Painéis de Hess-Smith • Dentre as várias formas para se formular um método de painéis, o método mais simples e prático é conhecido como Hess-Smith, desenvolvido na Douglas Aircraft Co. , em 1966. • Este método é baseado na distribuição de fontes e vórtices na superfície da geometria a ser modelada tal que: φ = φ∞ + φS + φV onde, φ é a função potencial de velocidade tal e as três parcelas correspondem ao escoamento não perturbado, distribuição de fontes e de vórtices, respectivamente. • A duas últimas componentes tem intensidades variantes de acordo com a sua posição q(s) e γ(s), onde s é uma coordenada curvilínea que envolve toda a superfícies de um aerofólio, por exemplo, da forma que for geometricamente mais conveniente. 6

Método de Painéis de Hess-Smith • Os potenciais criados pela distribuição de fontes / sumidouros e vórtices são dados por: onde as variáveis das equações acima são definidas na figura abaixo: 7

Método de Painéis de Hess-Smith • Observe que, nas relações integrais dadas, a integração deve ser realizada ao longo da superfície total do aerofólio. • Admitindo o princípio da superposição, qualquer distribuição de fontes / sumidouros e vórtices deve satisfazer a equação de Laplace, • Todavia, deve-se encontrar condições para q (s) e γ (s) de tal forma que sejam satisfeitas simultaneamente as condições de tangência do escoamento e de Kutta • Note que temos várias opções. Em teoria, poderíamos: – Assumir uma distribuição de intensidade de fontes que satisfaça a condição de tangência e uma de intensidade de vórtices que atenda a condição de Kutta; – Admitir uma combinação arbitrária de singularidades (fontes, vórtices) de forma a atender as condições de contorno de tangência e de Kutta simultaneamente. 8

Método de Painéis de Hess-Smith • Hess e Smith assumiram a seguinte simplificação que é válida: – Estabelecer que a intensidade de vórtice é constante ao longo de todo o aerofólio, empregando a condição de Kutta para fixar este valor. – Admite-se, no entanto que a distribuição de intensidade de fontes é variável de painel para painel de forma a atender a condição de tangência do escoamento sobre o corpo, ou seja em todo os painéis simultaneamente 9

Método de Painéis de Hess-Smith • Baseado na aproximação sugerida por Hess e Smith, podemos representar φ = φ∞ + φS + φV como: lembrado que: • onde a é o ângulo de ataque o escoamento não perturbado faz com o corpo. Note que integração no corpo passa a ser representada por uma somatória, e que a vorticidade γ independe da geometria, isto é deve ser 10 constante para todos os painéis

Método de Painéis de Hess-Smith • Portanto, temos N + 1 incógnitas para resolver no nosso problema: os N painéis fonte qi mais a intensidade de vórtice γ a se determinar. ( o que implica em N + 1 incógnitas) • Conseqüentemente, serão necessárias N + 1 equações independentes, a partir da condição de tangência do fluxo em cada (N) painel, bem como a condição de Kutta (N+1) que garante a existência da vorticidade (circulação). • A solução do problema portanto exigirá a inversão de uma matriz de dimensão (N +1) × (N +1). • Condição de contorno: onde devemos impor a condição de escoamento tangente? As opções disponíveis são: – Os nós resultantes do processo de “panelização”; – Ou ponto sobre a superfície real ao invés do painel; – Ponto no meio do painel. 11

Condição de Kutta • Condição de tangência ou: para i=1, N. • Condição de Kutta: onde os sinais opostos deve-se ao fato que os vetores tangenciais no primeiro (1) e último (N) painel tem sinais opostos. • As velocidades nos pontos médios de cada painel pode ser obtida através da superposição das contribuições (interferências) de todas as fontes e vórtices arranjados sobre cada painel incluindo a influência do painel nele mesmo. • Uma vez que a velocidade induzida é proporcional a intensidade das singularidades dispostas sobre este painéis qi e γ, pode-se tirar da relação integral a seguir: 12

Condições de Tangência e de Kutta • Na realidade chegou-se a um sistema matricial, que relaciona as intensidade de vórtices e fontes às condições de contorno • As equações algébricas são desta forma relacionadas ao vetor: que na realidade representa apenas as condição de tangência do escoamento. Com temos na realidade um sistema de N+1 equações, deve-se empregara a condição de Kutta como condição complementar e assim termo um sistema determinado. resultando em: onde a condição de Kutta é dada por. 13

Solução do problema linear • Matriz de coeficientes de influência: • Note que g é único, pois assumimos a circulação constante (intensidade de vórtice) no entorno do corpo modelado. 14

Resultados desejados • Com o vetor de velocidade tangencias obtidos de: • Pode-se obter os coeficientes de pressão e por sua vez os esforços distribuídos sobre o corpo: • Assumindo que a coeficiente de pressão é constante sobre cada painel. 15

XFOIL Similar ao Hess-Schmidt, mas cuidado escrito como função de linha de corrente! Convencional: 16

O Método Vortex Lattice

Princípio da Teoria da Superfície Sustentadora ASA ESTEIRA (vorticidade) Linha sustentadora: A asa é representada por um filamento de vórtices, apenas ao longo da envergadura. (válida para altos alongamentos) Superfície sustentadora A asa é representada por uma folha de vórtices com vorticidade distribuída ao longo da corda envergadura simultaneamente

Princípio da Teoria da Superfície Sustentadora - Implementação • Métodos de painéis do tipo vórtices, 3 D: • A asa é representada por painéis com vorticidade distribuída • O Vortex Lattice Method (VLM) em especial: – A vorticidade é concentrada em uma malha de vórtices em ferradura – Permite identificar a influência não só ao longo da envergadura, mas também ao longo da corda Elemento de vórtice em ferradura O sistema de malha de vórtices em uma asa tridimensional

Teoria da Superfície Sustentadora • A teoria da linha sustentadora é inapropriada para asas da baixo alongamento, asas enflechadas e asas em delta; • Proposta: estender o modelo baseado na linha sustentadora colocando uma série de linhas sustentadoras ao longo da corda sobre o plano da asas Linhas superfícies

Teoria da Superfície Sustentadora • • • Após o bordo de fuga não existem linhas de vórtices ao longo da envergadura, apenas linhas de vórtices arrastados A intensidade desta linha de vórtice que permanece na esteira é dada por dw, e depende amenas de y; Considere um ponto (x, y) na asa. A superfícies sustentadora e esteira de vórtices induzem uma velocidade normal w(x, y) em um ponto P; Escoamento deve ser tangente a Objetivo: Achar g(x, y) e d(x, y) tal que superfície, ou seja a soma entre w(x, y) e a componente normal do a condição de tangência do escoamento sobre a superfície seja satisfeita em escoamento deve ser nula todos os seus pontos.

Teoria da Superfície Sustentadora • • • Expressão para a velocidade norma induzida w(x, y)em termos de g, d e dw Considere um ponto do pelas coordenadas (x, h); Intensidade do vórtice ligado g(x, h) A intensidade do filamento de vórtice arrastado de comprimento dx será gdx Da lei de Biot-Savart a velocidade incremental induzida em P devido a um seguimento vorticidade de comprimento dh dh alinhado com a envergadura, com intensidade gdx é dado por: (5. 78)

Teoria da Superfície Sustentadora • De maneira similar, a contribuição de uma intensidade de vórtices associado ao filamento de comprimento dh é ddh, para a velocidade normal induzida em P é: • E de forma análoga, a intensidade de vorticidade que emana da esteira contribui como um incremento na velocidade normal induzida em P por: onde

Teoria da Superfície Sustentadora • Para se obter a influência da distribuição de vorticidade devido a cada parte dos vórtices em ferradura, sendo elas as arrastadas e a ligada, deve-se integrar (somar) tais contribuições desta vorticidade distribuída ao longo de toda a superfícies para se obter uma velocidade normal induzida no ponto P tomando o cuidado de integrar separadamente a contribuição devido a esteira (região W), dada pela relação: Resultando em:

Teoria da Superfície Sustentadora • • A dificuldade está na solução da equação da teoria da superfícies sustentadora para g(x, y) e d(x, y), Solução numérica : Dividir a asa (superfície sustentadora) em um numero finito de painéis; A cada painel associa-se um ponto de controle onde se mede a velocidade normal induzida; Relaciona-se as velocidade normais induzidas a uma condição de contorno: w(x, y) e componente normal da velocidade de escoamento não perturbado que ser iguais. Ou seja, para atender a condição de escoamento tangente, w(x, y)=Usena, por exemplo, onde U é a velocidade e a um ângulo de ataque; Resultado: em um sistema se equações algébricas relacionando as condições de contorno em cada ponto de controle para se obter as intensidade de vorticidade g(x, y) e d(x, y) Exemplo – Método da Malha de Vórtices – (Vortex Lattice Method)

Vortex Lattice Method -VLM (Método da Malha de Vórtices) • Superpõem-se um número finito de vórtices de ferradura de diferentes intensidades Gn sobre a superfície sustentadora • Em qualquer ponto de controle P, aplica-se a lei de Biot-Savart mais a condição de tangência do escoamento , obtêm-se um sistema de equações algébricas que é resolvido para Gn

Método da Malha de Vórtices • • • Intensidade dos vórtices ligados é determinada pela satisfazendo de as condições de contorno em cada ponte de controle associado a um determinado painel; Intensidade dos vórtices arrastados (livres) é determinada pelas diferenças de intensidade entre estes vórtices que compõem a esteira da superfícies sustentadora. Não há a necessidade de discretizar a esteira – os filamentos de vórtices arrastados para o infinito a representa.

Ponto de Controle • Seleção da localização do ponto de controle a partir de uma placa plana com um vórtice colocado a ¼ da corda; • Velocidade normal no ponto x: • Velocidade normal nula no ponto x

Ponto de Controle • Escoamento bidimensional em fluido perfeito: • A pequenos ângulos de ataque; como • Ponto de controle a ¾ da corda (Teorema de Pistolesi):

Desenvolvimento da formulação • • Ref. Bertin & Smith – Aerodynamics for Engineers Velocidade induzida em um ponto P por um vórtice de ferradura, antes apresentou-se o módulo da velocidade: que na realidade é vetorial.

Vórtice em ferradura • • Vamos construir as componentes da velocidade normal induzida por um vórtice em ferradura integrando as contribuições dos três filamentos 1º - filamento ligado entre os pontos A e B

Vórtice em ferradura • E se o filamentos ligado estende-se ao infinito, recupera-se a solução bidimensional para o vórtice ligado ( teoria do aerofólio fino): • pois q 1 = 0 e q 2 = p. AB, AC e BC serão designados por r 0, r 1 e r 2 respectivamente, tal que: • Substituindo : em

Vórtice em ferradura • Expressão básica para o cálculo da velocidade induzida por um vórtice de ferradura VLM: • Para um ponto qauluqer no espaço: • Velocidade induzida em um ponto C

Vórtice em ferradura • C é na realidade C(x, y, z)

Velocidade em um ponto • Para calcular a velocidade do filamento que se estende de A para o infinito, adota-se um ponto D tal que:

Filamento infinito • E situando D na, realidade no infinito, do filamento que sai de A tem-se: e do filamento que sai de B:

Velocidade total induzida • Somando as três contribuições: • Chega-se a velocidade total induzida em (x, y, z): • • Vórtice ferradura no painel “n” Ponto de controle em (xm, ym, zm) Cmn é a matriz de coeficientes de influência; Depende de geometria apenas.

Matriz de coeficiente de influência • Supondo 2 N vórtices de ferradura situados em cada painel: • • Ou seja, temos 2 N equações para cada ponto de controle em (x, y, z) Simplificação para uma asa plana:

Caso plano (Planar) • Como a velocidade induzida é apenas a componente alinhada com a direção “z”: • Downwash induzido nos 2 N pontos de controle:

Condição de Contorno • O que não deixa de representar a tangência do escoamento com relação a superfícies sustentadora: • Ou para pequenos ângulos de ataque: • Permitindo desta forma particularizar a solução do problema, isto é, a e a velocidade do escoamento não perturbado U são conhecidos. O caso apresentado é uma simplificação do caso geral, onde se pressupões que a asa pode ser aproximada por uma placa plana. Pode-se implementar a generalização onde se pode considerar diedro e arqueamento caso não plano (non-planar) Condição de Kutta implicitamente satisfeita quando se assume o vórtice de ferradura com um filamento ligado Esteira: assumida plana, alinhada com o escoamento, e representada pelo potencial da circulação aglutinada nos vórtices arrastados até o infinito. • •

Exemplo: • • Asa enflechada: Assume-se que o escoamento é simétrico com relação ao plano x-z; • Resolve-se para metade dos painéis “N”, neste caso igual a 4; Cada elemento da matriz de coeficientes de influência, na realidade será uma matriz de coeficientes de influência de velocidade (VIC – velocity influence coefficients), calculam-se as velocidade normais induzidas wmn •

Exemplo: • Aplicando a relação:

Exemplo: • Tem-se para a influência do painel nele mesmo (1, 1) :

Exemplo: • Tem-se para a influencia do painel 2 no 4 (2, 4) :

Exemplo: • Para cada ponto de controle da asa:

Exemplo: • Aplica-se a condição de contorno, observando que em todos os pontos de controle a velocidade deve ser tangente, ou seja: E assim encerramos o sistema de equações a ser resolvido, de onde se obtém as intensidade de circulação associadas a cada intensidade de vórtice de ferradura: