VARYANS ANALZ ANALYSS OF VARENCE ANOVA 1 VARYANS

VARYANS ANALİZİ ANALYSİS OF VARİENCE ANOVA 1

VARYANS ANALİZİ (ANOVA) Bağımsız Gruplarda; Sağlık alanlarında değişkenlerin çeşitli hastalıklarda değişimini incelemek ve değişik faktörlerden etkilenme biçimlerini araştırmak için 3 ve daha fazla bağımsız grupta (k≥ 3) çalışmak gerekebilir. Bağımlı Gruplarda; Ayrıca rasgele seçilen bir grupta Y değişkeninin değişik zamanlarda (t≥ 3) faktörlerden etkilenme biçimlerini değerlendirmek ya da 3 ve daha fazla denemeye(d≥ 3) yani tekrarlı ölçümlere tabi olmaları sonucu Y’nin değişimini incelemek gerekebilir. 2

VARYANS ANALİZİ (ANOVA) Bağımsız gruplarda (k≥ 3) Y değişkeninin (bağımlı değişken) değişimini incelemek amacıyla kullanılan analizdir. Bağımlı gruplarda farklı zamanlarda (t≥ 3) yada denemelerde (d≥ 3) Y değişkeninin (bağımlı değişken) değişimini incelemek amacıyla kullanılan analizdir 3

VARYANS ANALİZİ (ANOVA) Varyans analizi yapabilmek için; Y değişkeni normal dağılım göstermeli, 3 yada daha fazla toplumdan alındığı varsayılan k adet örnek ortalaması olmalı, Grup ortalamaları ve standart sapmaları arasında bir doğrusallık olmamalıdır. 4

Örnek Birimler Toplum 1 2 3. X 11 X 12. . X 1 n Toplam T 1 2 … X 21 … X 22 … i Xi 1 Xi 2 X 2 n … Xin T 2 Ti … … … k Xk 1 Xk 2 … Xkn Tk Ortalama Test Hipotezleri Kurulabilecek sıfır hipotezi ve alternatif hipotez aşağıdaki gibi olur. Ho : µ 1 =µ 2 = ……. = µk 5 H 1 : En az iki ortalama birbirine eşit değildir.

Hipotezler • H 0: 1 = 2 = 3 =. . . = c f(X) – Tüm populasyon ortalamaları eşittir. (Tedavi etkisi yoktur. ) X 1 = 2 = 3 • H 1: Tüm j ler eşit değildir. – Populasyonlardan en az birinin ortalaması diğerlerininkinden farklıdır. (Tedavi etkisi vardır. ) f(X) 1 = 2 3 X 6

VARYANS ANALİZİ (ANOVA) En yaygın kullanılan varyans analizi uygulamaları: 1 - Tek yönlü varyans analizi - TYANOVA (Oneway Analysis Of Varience) Bağımsız k tane gruptan elde edilen Y verilerinin analizidir. H 0: k toplumunun ortalamaları birbirine eşittir /benzerdir. H 0: µ 1=µ 2=µ 3=µ 4……. =µk H 1: k toplumunun ortalamaları birbirine eşit değildir/farklıdır. H 1: k toplumunun ortalamalarından en az biri diğerlerinden farklıdır. H 1: µ 1≠µ 2≠µ 3≠µ 4≠ ……. ≠µk Eğer Y ile birlikte değişen ve analize alınacak ortak değişken varsa (covariate) değişkenler (X 1, X 2 …) varsa Ortak Değişkenli Tekyönlü Varyans Analizi yada Tek Yönlü Kovaryans Analizi adı verilir. 7

VARYANS ANALİZİ (ANOVA) 2 - İki yönlü varyans analizi - İYANOVA (Two-way Analysis Of Varience) Bağımlı k tane gruptan (ölçüm zamanı, deneme işlem, tedavi vb tekrarlı veri) elde edilen Y verilerinin analizidir. H 0: t ölçüm zamanı ortalamaları birbirine eşittir/ benzerdir. H 0: µ 1=µ 2=µ 3=µ 4…. =µt H 0: d deneme ortalamaları birbirine eşittir /benzerdir. H 0: µ 1=µ 2=µ 3=µ 4…. =µd H 1: t ölçüm zamanı ortalamaları birbirinden farklıdır. H 1: t ölçüm zamanı ortalamalarından en az biri diğerlerinden farklıdır. H 1: µ 1≠µ 2≠µ 3≠µ 4≠ ……. ≠µt H 1: d deneme ortalamaları birbirinden faklıdır. H 1: d deneme ortalamalarından en az biri diğerlerinden farklıdır. H 1: µ 1≠µ 2≠µ 3≠µ 4≠ ……. ≠µd 8

VARYANS ANALİZİ (ANOVA) 3 - Çok faktörlü varyans analizi (Faktoriyel ANOVA) N birimlik k grupta en az iki faktöre (F 1, F 2, …) göre Y değişkenin değişimini incelemek amacıyla yapılan deneme sonuçlarını analizi yöntemidir. Eğer X 1, X 2 …. Ortak değişkenleri analize katılıyor ise yönteme Ortak Değişkenli Çok Faktörlü Varyans Analizi yada Çok Faktörlü Kovaryans Analizi denir. 9

Bağımlı ve bağımsız değişkenin durumuna göre varyans analizinin türü değişmektedir. Bağımsız Değişken Sayısı Bir Bağımlı Bir Değişken Sayısı Birden Fazla İki Tek Yönlü ANOVA İki Yönlü ANOVA Tek Yönlü MANOVA İki Yönlü MANOVA 10

TEK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ (ONE-WAY ANOVA) Tek yönlü varyans analizi, ikiden fazla ortalamanın eşitliğini, varyansları kullanarak test etmeye yarayan bir yöntemdir. Tamamen rassal deney tasarımı modellerini analiz etmekte kullanılır. Varsayımları: • Örneklerin elde edildiği populasyonlar normal ya da yaklaşık olarak normal dağılış gösterir. • Örnekler bağımsızdır. • Populasyon varyansları eşittir. 11

TEK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ (ONE-WAY ANOVA) Örnek; Rastgele seçilen H, L, T hastaları ve sağlıklı-normal bireylerde Serum Total Protein (STP) değerlerinin gözlenme düzeyleri verilmektedir. Her hastalık grubundan (H, L, T) ve sağlıklı-normal bireylerden (N) rastgele 6’şar birey seçiliyor. Bu bireylerin STP değerleri gruplara göre önemli düzeyde farklılık göstermekte midir? 12

Örn; H, L, T hastaları ve Normal bireylerde STP (gr/dl) değerleri Gruplar Birimler H hastası L hastası T hastası Normal 1 8. 50 11. 70 14. 80 6. 40 2 9. 70 12. 80 17. 90 6. 50 3 12. 10 14. 90 21. 60 6. 70 4 10. 60 16. 30 18. 00 5. 90 5 9. 40 15. 40 16. 00 6 10. 00 13. 05 16. 80 6. 50 13

NORMAL DAĞILIM (NORMAL DISTRUBITION) Öncelikle gruplara ait STP değerlerinin normal dağılıma uygunluğunu analiz edelim. Analyze> Descriptive Statistics> Explore> Dependent List’e STP’yi at> Statistics’ten Desriptive işaretle> Plots’tan Normality plots with testi işaretle> Continue> OK 14

15

16

17

Analyze> Descriptive Statistics> Explore> Dependent List’e STP’yi at> Statistics’ten Desriptive işaretle> Plots’tan Normality plots with testi işaretle> Continue> OK Gruplarda veriler normal dağılım göstermektedir. p=0. 192 yani; p>0. 05 18

TEK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ (ONE-WAY ANOVA) Analyze> Compare Means> One-way ANOVA> STP’yi Dependent list alnına at> grubu ise Factor alanına taşı> Descriptive ve Homogenity of varience testi işaretl> Continue> Post Hoc’a tıkla> Bonferroni, Tukey’s-b, Tamhane’s T 2 yi tıkla> Continue> OK 19

20

21

22

23

(1)Varyanslar homojen dağılmışsa Equal Variances Assumed başlığı altındaki testlerden herhangi biri, (2)Varyanslar homojen dağılmamışsa Equal Variances Not Assumed başlığı altındaki testlerden herhangi birinin yapılması yeterli olacaktır. 24

Tanımlayıcı istatistik p>0. 05 Varyanslar homojen/ türdeştir, bu nedenle Post Hoc testlerinden üst bölümdeki gruptan test seçilir. F(3, 23)=55. 377, p<0. 001 Tüm grup ortalamaları birbirinden önemli düzeyde farklıdır. 25

26

Dunnett (2 -sided)- Sağlıklı gruba (4. grup) göre hastalık gruplarının STP değerleri önemli düzeyde farklıdır (p≤ 0. 002) 27

TEK YÖNLÜ ORTAK DEĞİŞKENLİ VARYANS ANALİZİ (TEK YÖNLÜ KOVARYANS ANALİZİ / ONE-WAY ANCOVA) İncelenen sonuç değişken (Y bağımlı değişken) sadece faktörlerden etkilenmeyebilir. Kovaryans iki yada daha fazla değişkenin birlikte değişimidir. 28

TEK YÖNLÜ ORTAK DEĞİŞKENLİ VARYANS ANALİZİ (TEK YÖNLÜ KOVARYANS ANALİZİ / ONE-WAY ANCOVA) Kovaryans analizi iki yada daha fazla değişkenin birlikte değişimlerini ele alarak bağımlı değişkenin değişimini ortak değişkenlere göre düzelterek bağımsız değişkenlerin (faktör) net etkilerini incelemeyi amaçlayan bir yöntemdir. Y ile birlikte değişim gösteren başka değişkenlerin (ortak değişken, Covariate, X) Y üzerindeki etkilerinin arındırılması (düzeltme, adjusted) ve sadece faktörlerin Y’yi etkileme biçiminin incelenmesi gerekir. 29

KOVARYANS ANALİZİNİN UYGULANDIĞI DURUMLAR Deneysel hatayı azaltmak, kontrol edilemeyen etkileri, hataları elimine etmek, Birlikte değişimi (kovaryans) kaynaklarına ayırarak bu ögelerin deneysel hata üzerindeki etkilerinin önemliliğini belirlemek, Ortak değişkenlere göre düzeltilmiş bağımlı değişken ortalamalarının karşılaştırılmasına olanak sağlamak amacıyla uygulanır. Modele katılacak bir ortak değişken, karıştırıcı faktör (confounding factor) söz konusu ise analizin ortak değişkenli varyans analizi/ kovaryans analizi ile analizin yapılması gerekir. 30

ÖRN; H, L ve N gruplarında 25 -44 yaş grubu erişkin bireylerde Sistolik Kan Basıncı (SKB) değişimi inceleniyor. SKB incelenen hastalık grupları yanında bireylerin Vücut Kitle İndeksinden (VKI) de etkilenmektedir. SKB değerlerinin gruplara göre farklılığını VKI ortak değişkenine göre düzelterek analiz etmek gerekir. Bu nedenle VKI’ne göre düzeltilmiş Y değerleri ortalamalarının analizinin yapılması bilimsel olarak daha doğru olacaktır. 31

H-Hast Birimler L-Hast Normal Hast SKB VKI 1 130 27. 4 140 33. 6 123 23. 9 2 143 32. 2 145 34. 2 122 23. 7 3 135 30. 0 150 35. 0 118 22. 4 4 145 33. 0 142 33. 0 120 23. 1 5 127 25. 8 150 34. 8 125 24. 0 32

VKI değerlerine göre düzeltilmiş SKB değerlerinin gruplara göre farklılığını analiz etmek için Ortak Değişkenli Tekyönlü Varyans Analizi/ Tek Yönlü Kovaryans Analizi (One-Way ANCOVA) uygulamak gerekir. Analyze> General Linear Modes> Univarate> Dependent List alanına SKB’nı taşı> Fixed Factor(s) alanına GRUBU> Covariate(s) alanına VKI’ni taşı> Custom seçeneğini tıkla> Type alanında Main Effectsi seç> GRUP ve VKI değişkenleri seçeneğini seç> Options Effects alanında Benferroniyi seç> Descriptive Statistics ve Homogenety Yests seçeneklerini işaretle> Continue> OK 33

34

35

36

37

Analyze> Compare Means> One-Way ANOVA> Dependent liste SKB’nı taşı> OK SKB değerleri gruplara göre önemli düzeyde farklılık göstermektedir. F(2, 12)=23. 922, p<0. 001 Kovaryans analizi yapmamış olsaydık. Bu şekilde söyleyecektik. 38

Gruplara göre SKB ortalamaları farklı değildir. p=0. 251 VKI değerleri önemi düzeyde farklıdır (p=0. 001) 39

Tablo: VKI değerlerine göre düzetilmiş Varyans analizi/ Kovaryans analizi VKI değerlerini analize katmadığımızda gruplara göre SKB ortalamaları önemli düzeyde farklı iken, - VKI değerlerine göre düzeltme yapılarak yapılan analizde asıl önemliliğin VKI değerinden kaynaklandığı (p=0. 001), - SKB değerlerinin gruplara göre farklı olmadığı belirlenmiştir 40 (p=0. 251).

İKİ YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ (İYANOVA- TWO-WAY ANOVA) n sayıda birimden oluşan bir grubun t sayıda farklı denemeye tabi tutularak elde edilen bağımlı k verisinin analizi için kullanılır. Tekrarlı ölçümlerin analizidir. Normal dağılım göstermesi gerekir. (aksi taktirde Friedeman testi kullanılır). Birim farklılıklarına göre düzeltilmiş (birim farklılıklarından arındırılmış) işlem (treatment) ortalmalarını birbirleriyle karşılaştırmayı amaçlar. 41

ÖRN; Ameliyatta anestezik olarak kullanılan Pentotal’ın ameliyat süresince ve canlandırma anında hastaların nabız atımları üzerine etkileri olduğu ileri sürülmektedir. Hastaların yaş, psikolojik durum, ameliyat süresi gibi etkenlerden etkilenen nabız sayısının Pentotalden etkilenmesini ortaya koymak amacıyla …… hastası 7 bireyin nabızları 6 farklı zamanda ölçülüyor. Nabız ölçüm zaman ortalamaları arasında fark var mıdır? 42

Tablo: Ameliyata alınan 7 … hastasının 6 farklı zamandaki nabız sayıları Ölçüm zamanı (dk) Hastalar 1 2 3 4 5 6 7 15 dk önce 60 62 56 67 63 63 59 0 dk 62 65 62 79 70 70 69 15 dk 78 72 79 78 73 89 79 30 dk 80 88 90 85 80 99 90 60 dk 90 92 100 98 82 110 120 Canlandırma 86 77 86 80 76 79 90 43

NORMAL DAĞILIM (NORMAL DISTRUBITION) Analyze> Descriptive Statistics> Explore> Dependent List’e nabız. sayısı değişkenini taşı> Factors alanına ölçüm. zamanı değişkenini taşı> Statistics’ten Desriptive işaretle> Plots’tan Normality plots with testi işaretle> Continue> OK 44

45

Ölçüm zamanlarına göre veriler normal dağılım göstermektedir p<0. 05 46

Analyze> General Linear model> Univarite seçeneğini tıkla> Dependent variable alanına nabız. sayısı değişkenini taşı> Fixed factor(s) alanına ölçüm. zamanı ve hasta. no değişkenini taşı> Model seçeneğini tıkla> Custom seçeneğini işaretle> hasta. no ve ölçüm. zamanı değişkenlerini model alana taşı> Continue> Post Hoc tıkla> Post Hoc Test for alanına ölçüm. zamanı değişkenini taşı>Tukey’s b seçeneğini işaretle> Continue> OK 47

48

49

Hastaların nabız. sayısı ortalamaları birbirlerinden farklıdır ve hastaların Pentotale verdikleri cevaplar heterojendir (F(6, 30)=2. 813, p=0. 027 Ölçüm. zaman ortalamaları birbirlerinden önemli düzeyde farklıdır. (F(5, 30)=31. 366, p<0. 001 50

- 15 dk önce ile 0 dk arasında fark yoktur, diğer ölçüm zamanları ortalamalarından farklıdır. - Canlandırma anı nabız ortalamaları 15. dk. ve 30. dk nabız ortalamaları ile benzer diğerleri ile önemli düzeyde farklıdır. - 60. dk nabız sayı ortalaması tüm ölçüm zamanları ortalamalarından farkıdır. 51

İKİ YÖNLÜ ORTAK DEĞİŞKENLİ VARYANS ANALİZİ (İKİ YÖNLÜ KOVARYANS ANALİZİ / TWO-WAY ANCOVA) İki yönlü varyans analizinde bağımlı değişken ile ortak değişime sahip başka bir değişken varsa analiz, ortak değişken iki yönlü varyans analizi/ iki yönlü kovaryans analizi ile yapılır. 52

ÖRN; Ameliyata alınan hastaların yaşları nabız sayıları üzerinde önemli etkide bulunabilir. Hastaların 6 farklı zamanda nabız sayıları ölçülmüştür. Tablo: Ameliyata alınan 7 tane …. . hastasının yaşları HASTA. NO 1 2 3 4 5 6 7 YAŞ. YIL 40 32 56 47 53 28 35 53

Tablo: Ameliyata alınan 7 …… hastasının 6 farklı zamandaki nabız sayıları Verileri SPSS’e aktaralım 54

Analyze> General Linear Model> Univariate> Dependent alanına nabız. sayısını taşı> Fixed factor alanına hasta. no ve ölçüm. zamanını taşı> Covariate(s) alanına yaş. yıl değişkenini taşı> Model seçeneğini tıkla> Model alanına hasta. no, ölçüm. zamanı ve yaş. yıl değişkenlerini taşı> Continue> Options seçeneğini tıkla> Display Means for alanına ölçüm. zamanını taşı> Compare Main Effectsi işaretle> Confidence interval adjustment alanında Bonferroni seçeneğini tıkla> Descriptives ve Homogeneity Test seçeneklerini işaretle> Continue> OK 55

56

57

58

59

Hastalar heterojen nabız sayılarına sahiptir p=0. 044 60

61

62

63

ELDE HESAPLAMA 64

TEK YÖNLÜ VARYANS ANALİZİ k adet evrenden n tane bağımsız tesadüfi örneklem seçildiğinde, bu örneklerin ortalamalarından hareketle ortalamaların birbirinden farklı olup olmadığı test edilebilir. Öncelikle k adet evreni belirli kriterlere göre farklı işlem gruplarına ayırmak gerekir. Bu sınıflama şeklinde, veriler farklı işlem gruplarına ayrılırken işlem grubu içerisindeki veriler birbirinden bağımsız olur. Tek yönlü sınıflama durumunda veriler aşağıdaki gibi gösterilir. 65

Test İstatistiği: Varyans analizinde temel amaç, ikiden fazla örnek için ‘lerin genel ortalama ’dan sapmalarının kareler toplamını, bu sapmalara sebep olan unsurlar itibariyle kısımlara ayırmak ve analiz etmektir. Bu analiz sonunda, örnekler arasında uygunluk olup olmadığı yani söz konusu örneklerin aynı evrene ait birer şans örneği olup olmadıkları da ortaya konulmuş olur. değerinin, yani örneklerdeki bütün değerlerinin genel 66 ortalamadan gösterdikleri sapmaların kareler toplamının iki kaynağı vardır:

Toplam Değişkenliğin Sebepleri Toplam Değişkenlik Gruplar arası değişkenlik Gruplar içi değişkenlik 67

GKT GAKT GİKT Eşitliğin sol tarafındaki ifadeye genel kareler toplamı (GKT) denir. Eşitliğin sağ kısmındaki ifadelerin birincisi örnek ortalamalarının genel ortalamadan gösterdiği sapmalar, diğeri ise her bir örnekteki değerlerin kendi örnek ortalamalarından gösterdiği sapmalardır. Birincisine, gruplar arası kareler toplamı ( GAKT ), ikincisine grup içi kareler toplamı ( GİKT ) denir. Eşit örnekler durumunda 68

Gruplar arası kareler ortalaması s 12 , gruplar içi kareler ortalaması s 22 bölünerek varyans analizinin test istatistiği olan F değeri elde edilir. Eşit örnek hacimleri durumunda varyans analizi tablosu; Değişim Kaynağı Kareler Toplamı Serbestlik Kareler Test Derecesi Ortalaması İstatistiği İşlem GAKT v 1=k-1 Hata GİKT v 2= k(n-1) Toplam GKT n(k)-1 k: örnek sayısı N: örnek büyüklüğü 69

Eşit olmayan örnekler durumunda, toplam gözlem sayısı N ile gösterilirse; Bu eşitliklerdeki üç varyasyon kaynağının her biri uygun bir serbestlik derecesi ile bölünerek birer varyans elde edilir. Değişim Kaynağı Kareler Toplamı Serbestlik Kareler Test Derecesi Ortalaması İstatistiği işlem GAKT v 1=k-1 Hata GİKT v 2= N-k Toplam GKT N-1 70

KRİTİK DEĞER Çeşitli önem seviyeleri ve örnek büyüklükleri için s 12 / s 22 nin hangi noktaya kadar şansa verilebileceği, hangi noktadan sonra önemli kabul edilerek örneklerin farklı örneklemlere ait olduklarına hükmedilebileceği F cetvelleriyle tespit edilmiştir. Hesaplanan F değeri, F tablosundan elde edilen kritik değerden küçükse örnek ortalamaları arasındaki farklılık tesadüfi; yani şanstan ileri gelmiştir ve örnekler aynı evrene aittir. 71

Hesaplanan test istatistiği , kritik değerden büyükse örnek ortalamaları hükmedilir arasındaki ve bu farklılığın örneklerin farklı önemli olduğuna anakütlelere ait olduklarına karar verilir. F değeri, iki varyansın birbirine bölümü olduğu için negatif değer almaz. Bu yüzden F dağılımı sağa çarpıktır. H 0 hipotezinin red bölgesi eğrinin sağ ucunda yer alır. 72

ÖRNEK 1: Bir üretimden n=5 büyüklüğündeki k = 4 örnekten aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. % 5 önem seviyesine göre örnek ortalamaları arasındaki farkın önemli olup olmadığını ; bir başka deyişle, üretimin kontrol altında olup olmadığını varyans analizi ile kontrol ediniz. k=4 I II IV 1 10 11 16 12 2 10 10 13 10 3 11 10 15 14 4 12 9 16 13 5 12 10 15 11 Ti 55 50 75 60 T=240 (toplam) Ti 2 3025 2500 5625 3600 T 2=57600 (kareler toplamı) n=5 73

H 0 : µ 1 = µII = µ IV H 1 : En az iki örnek ortalaması birbirine eşit değildir 74

Değişim Kaynağı Kareler Toplamı Serbestlik Kareler Derecesi Ortalaması işlem (GAKT) 70 v 1=4 -1 Hata (GİKT) 22 v 2= 4(5 -1) Toplam (GKT) 92 5(4)-1 Test İstatistiği önem seviyesi , v 1 =3 ve v 2 = 16 sd. göre Ftab= 3. 24 Test istatistiği 3. 24) büyük olduğu için % 5 önem seviyesinde H 0 hipotezini reddederek en az iki örnek ortalamasının birbirinden farklı olduğuna karar verilir. Bu durum üretimin kontrol altında olmadığı kanaatini uyandırır. 75

ÖRNEK 2: Üç pil fabrikasında üretilen pillerin ortalama ömrünü mukayese etmek isteyen bir araştırmacı aşağıdaki verileri elde etmiştir. Bu verilere göre pillerin ortalama ömürleri arasında önemli bir farklılığın olup olmadığını % 1 önem seviyesinde test ediniz. I fabrika III fabrika 1 pil 222 226 220 2 pil 224 228 221 3 pil 226 228 222 4 pil 227 224 5 pil 226 220 6 pil Ti k=3 N=15 222 1125 909 1329 76 T=3363 T 2 =11309769

Değişim Kaynağı Kareler Toplamı Serbestlik Kareler Ortalaması Test İstatistiği Derecesi işlem (GAKT) 84. 15 v 1=3 -1 Hata 30. 25 v 2= 15 -3 Toplam 114. 40 15 -1 önem seviyesi , v 1 =2 ve v 2 = 12 sd. göre Ftab= 6. 93 Test istatistiği , kritik değerden ( Ftab= 6. 93) büyük olduğu için % 1 önem seviyesinde H 0 hipotezini red ederek en az iki örnek ortalamasının birbirinden farklı olduğuna karar verilir. En az iki fabrikada üretilen pillerin ortalama dayanma süreleri birbirine eşit değildir. 78

n n n n Kaynaklar Dr. Bilgin Kıray Vural ders notları. Sümbüloğlu K. (2000) Sağlık Alanına Özel İstatistiksel Yöntemler, Songür Yayıncılık, Ankara. Özdamar K. (2004) Paket Programlar ile istatistiksel Veri Analizi I, Kaan Kitapevi, Eskişehir. Özdamar K. (2004) Paket Programlar ile istatistiksel Veri Analizi II, Kaan Kitapevi, Eskişehir. Akgül A. (1997) Tıbbi Araştırmalarda İstatistiksel Analiz Teknikleri, Yükseköğretim Kurulu Matbaası, Ankara. Sümbüloğlu K, Sümbüloğlu V. (2002) Biyoistatistik, Hatipoğlu Yayınları, Ankara. Özdemir O. (2006) Medikal İstatistik, İstanbul Medikal Yayıncılık, İstanbul. Alpar R. (2010) Uygulamalı İstatistik, Detay Yayıncılık, Ankara. Çokluk O, Şekercioğlı G, Büyüköztürk Ş. (2010) Sosyal Bilimler için Çok Değişkenli İstatistik, PEGEM AKADEMİ, Ankara. Erefe İ (Ed). (2002) Hemşirelikte Araştırma, Odak Ofset, Ankara. Köklü N, Büyüköztürk Ş, Çokluk-Bökeoğlu Ö. (2006) Sosyal Bilimler için Biyoistatistik, PEGEM AKADEMİ, Ankara. Plichta SB, Kelvin E. (2015) Sağlık Araştırmalarında İstatistiksel Yöntemler-MUNRO, Çev. Ed; Ruhi Selçuk Tabak, Palme Yayıncılık, Ankara. Özdamar K. (2015) SPSS ile Biyoistatistik, Nisan Kitabevi Yayınları, Eskişehir. VARYANS ANALİZİ kisi. deu. edu. tr 79

bbbbiiiitttttttiiii. 80