Hatalarda Normal Dalm EKK tahmincilerinin ihtimal dalmlar uinin

Hatalarda Normal Dağılım • EKK tahmincilerinin ihtimal dağılımları ui’nin ihtimal dağılımı hakkında yapılan varsayıma bağlıdır. • b tahminleri için uygulanan testlerin geçerliliği ui’nin normal dağılmasına bağlıdır. • Çünkü ui normal dağılıyorsa, EKK b 1 ve b 2’nin tahmincileri de normal dağılır. • Normal dağılmış değişkenleri olan bir doğrusal fonksiyonun kendisi de NORMAL DAĞILIR.

- E(ui)=0 + ui değerleri

Jarque-Bera Normallik Testi 1. Aşama H 0: ui’ler normal dağılımlıdır H 1: ui’ler normal dağılımlı değildir 2. Aşama a=? Sd=? c 2 a, sd =? 3. Aşama 4. Aşama JB > c 2 a, sd H 0 hipotezi reddedilebilir

Jarque-Bera Normallik Testi

Jarque-Bera Normallik Testi e 7. 0545 4. 7091 -3. 6364 11. 018214. 32717. 6727 4. 9818 -3. 3636 -7. 7091 18. 9455 Se = 0 e 2 49. 77 22. 18 13. 22 121. 40 205. 27 312. 32 24. 82 11. 31 59. 43 358. 93 Se 2 = 1178. 66 e 3 351. 0 104. 43 -48. 09 1337. 62 -2940. 99 -5519. 61 123. 6 -38. 06 -458. 15 6800. 15 Se 3 = -287. 99 e 4 2476. 65 491. 76 174. 86 14738. 14 42136. 40 97546. 48 615. 95 128. 00 3531. 95 128832. 16 Se 4 = 290672. 35

Jarque-Bera Normallik Testi = s 2 =117. 866 =-28. 799 =29067. 235 =-0. 023 = 2. 09

Jarque-Bera Normallik Testi 1. Aşama H 0: ui’ler normal dağılımlıdır H 1: ui’ler normal dağılımlı değildir 2. Aşama a = 0. 05 Sd=2 3. Aşama c 2 a, sd =5. 991 0. 3459 4. Aşama JB < c 2 a, sd H 0 hipotezi reddedilemez.

NORMAL DAĞILIM UYGULAMASI On ülkede günlük gazete satış adedi (Y), nüfus (X 2) ve gayrisafi milli hasıla (X 3) verilerden elde edilen doğrusal modelin hata terimlerinin normal dağılıp dağılmadığını test etmek için: i) H 0: Hatalar normal dağılıma sahiptir H 1: Hatalar normal dağılıma sahip değildir. ii) JB test istatistiği hesaplanır:

iv) JB =19 > 5. 99 H 0 red değildir. Hatalar normal dağılıma sahip

Eviews ile normal dağılımı test edilirse iv) JB =19. 06 > 5. 99 ya da prob= 0. 000< 0. 05 H 0 red sahip değildir. Hatalar normal dağılıma

ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI 11

ÇOKLU DOĞRUSALLIĞIN ANLAMI Çoklu doğrusal bağlantı; bağımsız değişkenler arasında doğrusal (yada doğrusala yakın) ilişki olmasıdır. 1. Parametreler belirlenemez hale gelir. Her bir parametre için ayrı sayısal değerler bulmak zorlaşır. 2. Bu değişkenlere ortogonal değişkenler denir ve katsayıların tahmininde çoklu doğrusal bağlantı açısından hiçbir sorun yoktur. 3. Tam çoklu doğrusal bağlantı yoktur. 12

TAM ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI X 3 X 2 r X 2 X 3= 1 Tam Çoklu Doğrusal Bağlantı

ÇOKLU DOĞRUSALLIĞIN NEDENLERİ q İktisadi değişkenlerin zaman içerisinde birlikte değişme eğiliminde olmaları q. Bazı açıklayıcı değişkenlerin gecikmeli değerlerinin ilişkide ayrı birer etmen olarak kullanılmasıdır. q. Zaman ve kesit serilerinde de görülür. 14

ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTININ ORTAYA ÇIKARDIĞI SONUÇLAR • Regresyon katsayılarının değerleri belirsiz olur, • Regresyon katsayılarının varyansları büyür, • t-istatistikleri azalır, • Güven aralıkları büyür, • r 2 olduğundan büyük çıkar, • Katsayı tahmincileri ve standart hataları verilerdeki küçük değişmelerden önemli ölçüde etkilenirler,

ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTININ ORTAYA ÇIKARDIĞI SONUÇLAR a) Katsayıları tahminleri belirlenemez b)Tahminlerin standart hataları sonsuz büyük olur. 16

İspat a) 17

İspat b) X 2 yerine k. X 1 konursa 18

ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTININ VARLIĞININ BELİRLENMESİ 1. Varyans Büyütme Modeli 2. Yardımcı Regresyon Modelleri için F testi 3. Klein – Kriteri 4. Şartlı Sayı Kriteri 5. Theil-m Ölçüsü 19

ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTININ VARLIĞININ BELİRLENMESİ 1. Varyans Büyütme Modeli: q. Varyans büyütme faktörü; parametre tahminlerinin ve varyanslarının çoklu doğrusal bağlantı nedeni ile gerçek değerlerinden ne derece uzaklaştığını gösterir. VIF kriteri 20

Çoklu doğrusal bağlantı etkisini araştırabilmek için k tane VIF değeri bulunur. Bağımsız değişkenleri sırası ile bağımlı değişken yaparak diğer bağımsız değişkenlerle regresyon modeli tahmin edilir. . . 5 Çoklu doğrusal bağlantı önemlidir. 21

Çoklu doğrusal bağlantı etkisini araştırabilmek için k tane VIF değeri bulunur. Bağımsız değişkenleri sırası ile bağımlı değişken yaparak diğer bağımsız değişkenlerle regresyon modeli tahmin edilir. . . 5 Çoklu doğrusal bağlantı önemlisizdir. 22

ÖRNEK: 1990 -2002 dönemi için Türkiye’nin GSMH(milyar TL), Para Arzı(PA, milyar TL), Dış Ticaret Açığı (DT, milyar TL) ve Toptan Eşya Fiyat Endeksi (TEFE, 1987=100) değerleri verilmiştir. Yıllar GSMH PA DT TEFE 1990 0. 397178 0. 072425 -0. 0244 425. 6 1991 0. 634393 0. 117118 -0. 03118 661. 6 1992 1. 103605 0. 190736 -0. 05618 1072. 5 1993 1. 997323 0. 282442 -0. 15573 1701. 6 1994 3. 887903 0. 630348 -0. 15414 3757. 4 1995 7. 854887 1. 256632 -0. 64664 7065. 2 1996 14. 97807 2. 924893 -1. 66881 12335. 4 1997 29. 39326 5. 6588 -3. 40719 22366. 1 1998 53. 51833 11. 4232 -4. 96864 38067. 2 1999 78. 28297 22. 40182 -5. 94562 58599. 1 2000 125. 5961 31. 9121 -16. 7507 89239. 7 2001 179. 4801 47. 24108 -12. 3931 144862. 2 2002 265. 4756 61. 87976 -23. 4451 216711. 5 Varyans büyütme faktörü ile çoklu doğrusal bağlantı sorununu araştırınız. 23

Bu verilerden elde edilen model; Bağımsız değişkenleri sırası ile bağımlı değişken yaparak diğer bağımsız değişkenlerle regresyon modeli tahmin edilir. 5 çoklu doğrusal bağlılık önemlidir 24 5 çoklu doğrusal bağlılık önemlidir

2. Yardımcı Regresyon Modelleri için F testi q Bu yöntemde varyans büyütme faktöründe hesaplanan belirlilik katsayılarından hesaplama yapılır. q. Sırası ile incelenen modelde yer alan her bir bağımsız değişken ayrı bağımlı değişken olmak üzere kalan diğer bağımsız değişkenlerle regresyona tabi tutulur. q. Oluşturulan söz konusu yeni regresyon modellerine yardımcı regresyon modelleri denir. q. Oluşturulan yardımcı regresyon modellerinin belirlilik katsayıları hesaplanarak F test istatistiği hesaplanır. 25 q. Bu yöntem için temel hipotez bağımsız değişkenler arasında ilişki yoktur şeklindedir.

. . Test istatistiği yukarıdaki her denklem için hesaplanır. k: ana modelin tahmin edilen katsayısı 26

UYGULAMA: Aynı örnek için yardımcı regresyon modeli ile çoklu doğrusal bağlantı sorununu inceleyiniz. 1. Aşama: H 0: Çoklu doğrusal bağlantı yoktur. H 1: Çoklu doğrusal bağlantı vardır. 2. Aşama: F 0. 05, (k-2), (n-k+1) =4. 10 3. Aşama: 4. Aşama: Fhes > Ftab H 0 reddedilir. 27

Fhes > Ftab H 0 reddedilir. 28

3. Klein – Kriteri: q Klein, bağımsız değişkenler arasındaki basit korelasyon katsayılarının kareleri modelin genel belirlilik katsayısından büyük olmadığı sürece çoklu doğrusallığın zararlı olmadığını savunmaktadır. Çoklu doğrusal bağlılık zararlıdır. Klein’in yukarıdaki kriterine göre küçük bir çoklu doğrusal bağlantı bile parametre tahminlerinde anlamsızlığa yol açabilir. 29 q

q. Bu durumda yardımcı regresyon modelleri için F testinde açıklandığı gibi, yardımcı regresyon modelleri tahmin edilir ve bunlardan elde edilecek çoklu belirlilik katsayısı ile karşılaştırılarak karar verilebilir.

UYGULAMA: Aynı örnek için Klein kriteri ile çoklu doğrusal bağlantı sorununu inceleyiniz. Elde edilen yardımcı regresyon modelleri 1. Çoklu doğrusal bağlantı zararlı değildir. 2. Çoklu doğrusal bağlantı zararlı değildir. 3. 31 Çoklu doğrusal bağlantı zararlı değildir.

4. Şartlı Sayı Kriteri: q Bu kriterin hesaplanması için bu (X’X) matrisinin birim köklerinden (özdeğerlerinden) yararlanılır. q(X’X) matrisinin en büyük birim kökü ( 1) ve en küçük birim kökü ( 2) ise şartlı sayı KARAR: 1. 2. Çoklu doğrusal bağlantı orta derecedir. Çoklu doğrusal bağlantı yüksek derecedir. 32

Örnek: 12 ailenin aylık gıda harcamaları (Y), toplam harcamaları (X 2) ve fert sayısı (X 3) verileri aşağıdaki gibidir: Aile 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Y 2. 2 3, 0 4. 1 4. 7 4. 2 6. 3 4. 6 8. 8 7. 3 4. 4 6. 9 3. 5 X 2 2. 8 3. 5 12. 5 6. 4 5. 9 8, 0 9. 7 20. 6 15. 9 6. 7 11. 3 4. 7 X 3 3 6 4 2 5 8 3 7 4 1 2 3 33

q Ortalamadan farklar ile bağımsız değişkenler katsayı matrisi; 34

KARAR: Çoklu doğrusal bağlantı düşük derecededir. 35

5. Theil-m Ölçüsü q Bağımlı değişkenle bağımsız değişkenler arasındaki ilişkiye dayanan bir ölçüdür. q. Bu ölçü için, modelin genel belirlilik katsayısı ile modelden sırası ile bir tane bağımsız değişkenin çıkarılması ile elde edilecek modellerin çoklu belirlilik katsayıları kullanılır. q Modelde yer alan tüm bağımsız değişkenler sırası ile modelden çıkarılarak Regresyon modelleri tahmin edilir ve her model için çoklu belirlilik katsayıları elde edilir. 36

Theil-m Ölçüsü qhesaplanır. Burada bağımsız değişkenlerden biri çıkartıldıktan sonra bağımlı değişken ile diğer bağımsız değişkenlerin regresyonu sonucunda tahmin edilen çoklu belirlilik katsayısını ifade eder. q. Theil-m ölçüsü çoklu doğrusal bağlılığın önemli olup olmadığı hakkında bilgi vermediğinden, varyans büyütme faktörü ile şartlı sayı daha çok kullanılan ve daha yarar 37 sağlayan kriterlerdir.

Theil-m Ölçüsü q“m” ölçüsü her regresyon için ayrı hesaplanmayan genel bir ölçüdür. qm ölçüsü negatif çıkabileceği gibi çok yüksek pozitif değer de olabilmektedir. q. Hesaplanan m ölçüsü sıfıra eşitse bağımsız değişkenler ilişkisizdir. m=0 bağımsız ilişkisizdir değişkenler 38

Örnek: q Slayt 11 de incelediğimiz model için Theil-m ölçüsünü uygulayalım. q Yardımcı regresyon modellerini oluşturalım: 39 q m sıfıra yakın bir değer değildir, çoklu doğrusal bağlılık söz konusudur.

ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI PROBLEMİNİ ORTADAN KALDIRMA YOLLARI 1. Ön bilgi yöntemi ile; 2. Kesit ve zaman serisi verilerinin birleştirme yöntemi ile; 3. Bazı değişkenlerin modelden çıkarılması yöntemi ile; 4. Değişkenleri dönüştürme yöntemi ile; 5. Ek veya yeni örnek verisi temini yöntemi ile 40

ÇOKLU DOĞRUSAL BAĞLANTI PROBLEMİNİ ORTADAN KALDIRMA YOLLARI 1. Ön Bilgi Yöntemi Y = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 +b 4 X 4+ u b 3 = 0. 2 b 2 Y = b 1 + b 2 X 2 + 0. 2 b 2 X 3 +b 4 X 4+ u Y = b 1 + b 2 (X 2 + 0. 2 X 3 )+b 4 X 4+ u Y = b 1 + b 2 X*+ b 4 X 4+ u Yukarıdaki hesaplama bağımsız değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantıdan etkilenmemektedir. Katsayılara sınır koyarak iki değişken arasında çoklu doğrusal bağlantı problemi ortadan kaldırılmış oluyor.

2. Kesit ve Zaman Serilerinin Birleştirilmesi Y: Talep P: Malın fiyatı I: Tüketici geliri t: Yıl ln. Y = b 1 + b 2 ln. Pt+ b 3 ln. It + u b 2 ve b 3 fiyat ve gelir elastikiyetidir. Zaman serisi P ve I (fiyat ve gelir) değişkenleri arasında genellikle yüksek dereceli ilişki vardır. Çoklu doğrusal bağlantı var. b 3 gelir elastikiyeti (eğer varsa) anket verilerinden ayrıca tahmin edilir.

Yukarıdaki regresyon modelinden aşağıdaki gibi yararlanırız: ln. Y - b 3 ln. It = b 1 + b 2 ln. Pt+ u ln. Y* = b 1 + b 2 ln. Pt + u Burada Gelir değişkeninin etkisi giderildikten sonraki Y değeridir. Bu yöntemde katsayı tahminlerinin yorumu sorundur. Zaman serisi ve kesit serisi verisindeki gelir elastikiyetinin aynı olduğunu kabul ediyoruz.

3. Bazı Değişkenlerin Modelden Çıkarılması Modelden bir bağımsız değişken çıkarılırsa spesifikasyon hatası yapma olasılığı artar: Katsayı tahminleri gerçek değerinin üstünde veya altında tahmin edilebilir. 4. Değişkenleri Dönüştürme Yöntemi, Fark denklemi yaratılır:

Dönüşümlü modelde çoklu doğrusal bağlantı önemli ölçüde azalmış olur. 5. Ek veya Yeni Örnek Verisi Temin Etme, 6. Diğer Yöntemler

Örnek Konut Talebi Model Tahminleri Değişkenler Model A Model B Model C Sabit -3812. 93 (-2. 40) -1315. 75 (-0. 27) Faiz -198. 40 (-3. 87) 33. 82 (3. 61) 687. 90 (1. 80) -169. 66 (-3. 87) Nüfus GSMH 0. 91 (3. 64) s. d. 20 Düzeltilmiş-R 2 0. 371 20 0. 375 r(GSMH, Nüfus)=0. 99 r(GSMH, faiz)=0. 88 -184. 75 (-3. 18) 14. 90 (0. 41) 0. 52 (0. 54) 19 0. 348 r(Nüfus, faiz)= 0. 91

Örnek Otomobil Bakım Harcamaları Model Tahminleri Değişkenler Sabit Yas Model A -626. 24 (-5. 98) 7. 35 (22. 16) Km s. d. Düzeltilmiş-R 2 55 0. 897 Model B -796. 07 (-5. 91) 53. 45 (18. 27) 55 0. 856 Model C 7. 29 (0. 06) 27. 58 (9. 58) -151. 15 (-7. 06) 54 0. 946

ÖRNEK 11 ülkenin 1995 yılı ekonomik büyüme oranlarını , para arzındaki büyüme oranlarını sermaye stokundaki büyüme oranları ile nüfüs büyüme oranları verilmektedir. Söz konusu ülkelerin ekonomik performanslarındaki farklılığın nedenini araştırmak için aşağıdaki regresyon modeli oluşturulmuştur. Tahin edilen denklemde çoklu doğrusal bağlantı olup olmadığını araştırınız.

Dependent Variable: BUYOR Method: Least Squares Date: 04/08/07 Time: 22: 47 Sample: 1 11 Included observations: 11 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C NUFUSBUYOR PARARZOR SERMSTOKORAN 2. 882311 -1. 255668 1. 408794 2. 542222 0. 858583 0. 450382 0. 571991 1. 231597 3. 357054 -2. 788005 2. 462964 2. 064167 0. 0121 0. 0270 0. 0433 0. 0779 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0. 850682 0. 786689 0. 794338 4. 416812 -10. 58970 1. 824943 Mean dependent var S. D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 4. 300000 1. 719884 2. 652673 2. 797362 13. 29332 0. 002815 1. Varyans Büyütme Modeli: Bağımsız değişkenleri sırası ile bağımlı değişken yaparak diğer bağımsız değişkenlerle regresyon modeli tahmin edilir.

1. nolu yardımcı regresyon modeli Depent Variable: NUFUSBUYOR Method: Least Squares Date: 04/08/07 Time: 22: 53 Sample: 1 11 Included observations: 11 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PARARZOR SERMSTOKORAN 1. 345055 0. 950993 0. 291956 0. 477621 0. 297604 0. 961287 2. 816157 3. 195500 0. 303714 0. 0226 0. 0127 0. 7691 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0. 901176 0. 876470 0. 623561 3. 110629 -8. 661437 0. 974770 Mean dependent var S. D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 5. 081818 1. 774158 2. 120261 2. 228778 36. 47588 0. 000095

2. nolu yardımcı regresyon modeli =13. 73 Dependent Variable: PARARZOR Method: Least Squares Date: 04/08/07 Time: 22: 54 Sample: 1 11 Included observations: 11 Variable Coefficien t Std. Error t-Statistic Prob. C NUFUSBUYOR SERMSTOKORAN -0. 602064 0. 589605 1. 124048 0. 486139 0. 184511 0. 649296 -1. 238461 3. 195500 1. 731180 0. 2507 0. 0127 0. 1217 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0. 927279 0. 909099 0. 490988 1. 928557 -6. 032146 1. 800717 Mean dependent var S. D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 3. 600000 1. 628496 1. 642208 1. 750725 51. 00486 0. 000028

3. nolu yardımcı regresyon denklemi =6. 1087 Dependent Variable: SERMSTOKORAN Method: Least Squares Date: 04/08/07 Time: 22: 55 Sample: 1 11 Included observations: 11 VIF kriterleri 5 ten buyuk çoklu doğrusal bağlantı var diyebiliriz. Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C NUFUSBUYOR PARARZOR 0. 001490 0. 039043 0. 242452 0. 246472 0. 128552 0. 140050 0. 006046 0. 303714 1. 731180 0. 9953 0. 7691 0. 1217 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0. 836345 0. 795431 0. 228030 0. 415981 2. 404235 1. 203465 Mean dependent var S. D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 1. 072727 0. 504164 0. 108321 0. 216838 20. 44167 0. 000717

2. Yardımcı Regresyon Modelleri için F testi 1. nolu yardımcı regresyon modeli R 2=0. 901176 2. nolu yardımcı regresyon modeli R 2=0. 927279 3. nolu yardımcı regresyon modeli k: 4 n: 11 R 2=0. 836345

Klein – Kriteri: Yardımcı regresyon modelleri tahmin edilir ve bunlardan elde edilecek çoklu belirlilik katsayısı ile karşılaştırılarak karar verilebilir. Yardımcı modelin R karesi < ana modelin R karesi nden küçükse çoklu doğrusal bağlantı önemli değildir.

Ana modelin R-squared 0. 850682 3 nolu modelde önemli değildir. (sermstokor)

Theil-m Ölçüsü Modelde yer alan tüm bağımsız değişkenler sırası ile modelden çıkarılarak regresyon modelleri tahmin edilir ve her model için çoklu belirlilik katsayıları elde edilir. Ana modelin R-squared 0. 850682

1. nolu model Dependent Variable: BUYOR Method: Least Squares Date: 04/08/07 Time: 23: 34 Sample: 1 11 Included observations: 11 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C NUFUSBUYOR PARARZOR 2. 886099 -1. 156412 2. 025161 1. 018640 0. 531289 0. 578811 2. 833286 -2. 176614 3. 498829 0. 0220 0. 0612 0. 0081 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0. 759795 0. 699744 0. 942421 7. 105252 -13. 20449 1. 901147 Mean dependent var S. D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 4. 300000 1. 719884 2. 946271 3. 054788 12. 65247 0. 003329

2. nolu model Dependent Variable: BUYOR Method: Least Squares Date: 04/08/07 Time: 23: 37 Sample: 1 11 Included observations: 11 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C PARARZOR SERMSTOKORAN 1. 193368 0. 214662 2. 175622 0. 826796 0. 515174 1. 664057 1. 443364 0. 416679 1. 307420 0. 1869 0. 6879 0. 2274 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0. 684877 0. 606096 1. 079430 9. 321350 -14. 69759 1. 238019 Mean dependent var S. D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) 4. 300000 1. 719884 3. 217744 3. 326261 8. 693441 0. 009861

3. nolu model Dependent Variable: BUYOR Method: Least Squares Date: 04/08/07 Time: 23: 39 Sample: 1 11 Included observations: 11 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic C NUFUSBUYOR SERMSTOKORAN 2. 034126 -0. 425036 4. 125774 1. 005135 0. 381493 1. 342475 2. 023735 -1. 114139 3. 073258 R-squared Adjusted R-squared S. E. of regression Sum squared resid Log likelihood Durbin-Watson stat 0. 721284 0. 651605 1. 015161 8. 244417 -14. 02235 1. 560635 Mean dependent var S. D. dependent var Akaike info criterion Schwarz criterion F-statistic Prob(F-statistic) Prob. 0. 0776 0. 2976 0. 0153 4. 300000 1. 719884 3. 094973 3. 203489 10. 35153 0. 006035