Varianzanalyse III Zweifaktorielle Varianzanalyse 1 2 3 4

Varianzanalyse III: Zweifaktorielle Varianzanalyse 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. Haupteffekte Interaktionseffekte Strukturgleichung Quadratsummen F-Test Interaktionsformen SPSS Mehrfaktorielle ANOVA Zufallseffekte 07_anova 3 1

Zweifaktorielle Varianzanalyse • Wenn mehrere unabhängige Variablen (UVs) vorliegen, muss eine mehrfaktorielle Varianzanalyse berechnet werden. • Es wird dann untersucht, ob die AV von den unterschiedlichen UVs abhängt. • Beispiel: „Hängt die Gedächtnisleistung (AV) von der Lernbedingung (UV 1) und dem Geschlecht (UV 2) ab? “ 07_anova 3 2

Zweifaktorielle Varianzanalyse Effekt der Lernbedingung 07_anova 3 strukturell 5 7 3 bildhaft 12 7 8 emotional 12 11 12 4 6 10 13 12 13 3

Zweifaktorielle Varianzanalyse Effekt des Geschlechts männlich 5 7 3 4 6 weiblich 6 8 4 5 7 07_anova 3 4

Zweifaktorielle Varianzanalyse Zweifaktorielles Design männlich weiblich 07_anova 3 5 strukturell bildhaft emotional 5 12 12 7 7 11 3 8 12 4 10 12 6 13 13 8 8 12 4 9 13 5 11 13 7 14 14

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Zellen und Randmittelwerte Faktor B Faktor A B 1: strukturell A 1: männlich A 2: weiblich 07_anova 3 6 B 2: bildhaft B 3: emotional

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Haupteffekt A • Der Haupteffekt der Stufe j des Faktors A berechnet sich als: Die Summe der Effekte ist Null 07_anova 3 7

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Haupteffekt B • Der Haupteffekt der Stufe k des Faktors B berechnet sich als: Die Summe der Effekte ist Null 07_anova 3 8

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA „Zelleneffekte“ • Der Effekt eine Kombination bestimmter Stufen der Faktoren A und B berechnet sich als: Die Summe der Effekte ist Null Der „Zelleneffekt“ ist wenig aussagekräftig, da er auch von den Haupteffekten beeinflusst wird. 07_anova 3 9

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Interaktionseffekte (A x B) • Ein Interaktionseffekt wird als Differenz der Zelleneffekt und der beteiligten Haupteffekte berechnet: Die Summe der Effekte ist Null Der Interaktionseffekt gibt die Wirkung der Kombination bestimmter Faktorstufen über die Haupteffekte hinaus an. 07_anova 3 10

Effekte der zweifaktoriellen ANOVA Interaktionseffekte (A x B) Es liegen im Beispiel keine Interaktionseffekte vor! 07_anova 3 11

Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 1: Einfluss bildhafter Verarbeitung auf die Gedächtnisleistung bei Männern und Frauen strukturell bildhaft Frauen 5 13 9 Männer 5 10 7. 5 5 11. 5 8. 25 Interaktion: Frauen profitieren von bildhafter Verarbeitung stärker als Männer 07_anova 3 12

Beispiele für Interaktionseffekte strukturell bildhaft gesamt F 5 (-0. 75) 13 (0. 75) 9 M 5 (0. 75) 10 (-0. 75) 7. 5 G 5 11. 5 8. 25 07_anova 3 13

Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 2: Einfluss bildhafter Verarbeitung auf die Gedächtnisleistung bei Männern und Frauen strukturell bildhaft Frauen 5 11. 5 8. 25 Männer 5 11. 5 8. 25 Interaktion: Frauen profitieren von bildhafter Verarbeitung stärker als Männer 07_anova 3 14

Beispiele für Interaktionseffekte strukturell bildhaft gesamt F 5 (0) 11. 5 (0) 8. 25 M 5 (0) 11. 5 (0) 8. 25 G 5 11. 5 8. 25 07_anova 3 15

Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 3: Einfluss von Alkohol auf die Reaktionszeit bei Männer und Frauen ohne Alk. mit Alk. Frauen 230 500 365 Männer 230 350 290 230 425 327. 5 Interaktion: Frauen werden durch Alkohol stärker beeinträchtigt als Männer 07_anova 3 16

Beispiele für Interaktionseffekte Beispiel 4: Wirksamkeit der Medikamente M 1 und M 2 bei Männer und Frauen. • zwei Medikamente M 1 und M 2 (Faktor A) • an Männern und Frauen getestet (Faktor B) • keinen Unterschied zwischen den Geschlechtern und den Medikamenten • aber eine Wechselwirkung (Interaktion): - bei Frauen wirkt M 1 gut, M 2 kaum - bei Männern entgegengesetzt M 1 für Frauen, M 2 für Männer besser geeignet 07_anova 3 17

Strukturgleichung (2 -fakt. ANOVA) Gesamtmittelwert Effekt Faktor A Effekt Faktor B Interaktion „Fehler“ = Strukturgleichung einfaktorielle ANOVA + Effekt des zweiten Faktors + Interaktionseffekt 07_anova 3 18

Quadratsummenzerlegung SStotal = 07_anova 3 SSbetween SSFaktor A + SSFaktor B + SSAx. B + SSwithin 19

Quadratsummen 07_anova 3 20

Quadratsummen Mittlere Quadrate und Freiheitsgrade p = Anzahl der Stufen von Faktor A q = Anzahl der Stufen von Faktor B n = Anzahl Vpn in jeder Zelle (Annahme gleichbesetzter Zellen) 07_anova 3 21

Der F-Test Statistische Hypothesen Bei einer 2 -faktorienllen ANOVA gibt es drei Nullhypothesen: 1. H 0 für Faktor A: für alle j, oder: 2. H 0 für Faktor B: für alle k, oder: 3. H 0 für A x B: für alle jk, oder: 07_anova 3 22

Der F-Test Drei F-Tests 07_anova 3 23

Der F-Test Erklärte Varianzanteile 07_anova 3 24

Interaktionsformen Es gibt drei Formen der Interaktion: • • • ordinale Interaktion beide Haupteffekte sind global interpretierbar hybride Interaktion nur einer der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar disordinale Interaktion keiner der beiden Haupteffekte ist global interpretierbar 07_anova 3 25

Interaktionsformen Keine Interaktion • Die Diagramme zeigen die Gruppenmittelwerte der vier Zellen. • Beide Diagramme zeigen die gleichen Daten! 07_anova 3 26

Interaktionsformen Keine Interaktion • Wenn die Linien der Graphen parallel verlaufen, gibt es keine Interaktion! 07_anova 3 27

Interaktionsformen Ordinale Interaktion • Wenn der gleiche „Trend“ für beide Linien in beiden Diagrammen gilt (alle Graphen steigen oder alle Graphen fallen), spricht man von einer ordinalen („geordneten“) Interaktion. 07_anova 3 28

Interaktionsformen Disordinale Interaktion • Wenn der unterschiedliche „Trends“ für beide Linien in beiden Diagrammen gilt (ein Graphen steigt, einer fällt), spricht man von einer disordinalen („ungeordneten“) Interaktion. 07_anova 3 29

Interaktionsformen Hybride Interaktion • Im linken Diagramm: gleicher Trend Im rechten Diagramm: entgegengesetzte Trends „Hybride Interaktion“ 07_anova 3 30

Interaktionsformen Welch Interaktionsform? B 1 B 2 A 1 18 22 A 2 25 40 B 1 B 2 A 1 25 20 A 2 15 40 B 1 B 2 A 1 20 30 A 2 25 35 07_anova 3 31

Darstellung der Ergebnisse Darstellung der 2 -faktoriellen ANOVA strukturell bildhaft emotional Männer 5. 8 14. 1 10. 4 Frauen 5. 0 10. 7 16. 0 Beispieltext: „Die Anzahl erinnerter Wörter wurde mit einer 3 (Lernbedingung) x 2 (Geschlecht) ANOVA ausgewertet. Das Geschlecht hatte keinen signifikanten Einfluss auf die Gedächtnisleistung, F<1. Es zeigte sich jedoch ein bedeutsamer Effekt der Lernbedingung, F(2, 74) = 95. 84; p<. 01, sowie eine Interaktion beider Faktoren, F(2, 74) = 27. 66; p<. 01. Diese Interaktion ist auf einen bessere Gedächtnisleitung von Männern in der bildhaften Bedingung (t[25]=3. 61; p=. 01) und eine bessere Gedächtnisleistung von Frauen in der emotionalen Bedingung (t[24]=-6. 97; p<. 01) zurückzuführen. “ 07_anova 3 32

SPSS 07_anova 3 33

SPSS Syntax: glm memo by sex, bed /plot=profile(bed*sex). 07_anova 3 34

SPSS 07_anova 3 35

SPSS 07_anova 3 36

Mehrfaktorielle ANOVA • Eine Varianzanalyse kann mit beliebig vielen Faktoren berechnet werden. • Damit sind auch Interaktionen „höherer Ordnung“ möglich: drei-, vier-, fünf, …n-fach-Interaktionen (bei n Faktoren) • Die Interpretation solcher Mehrfachinteraktionen ist oft schwierig. • Beispiel: Evaluation eines Entspannungstrainings – Faktor A: Geschlecht des Kursleiters – Faktor B: Geschlecht der Kursteilnehmer – Faktor C: Art des Trainings: Progressive Muskelrelaxation (PMR) vs. Autogenes Training (AT) 07_anova 3 37

Mehrfaktorielle ANOVA AT 07_anova 3 38 75 65 65 75 70 70 PMR

Mehrfaktorielle ANOVA • Eine dreifach-Interaktion (Ax. Bx. C) bedeutet, dass sich die zweifach-Interaktion (Ax. B) für die beiden Stufen von C unterscheiden. • … oder, dass sich die zweifach-Interaktion (Ax. C) für die beiden Stufen von B unterscheiden. • … oder, dass sich die zweifach-Interaktion (Bx. C) für die beiden Stufen von A unterscheiden. • Eine 4 -fach Interaktion ist darauf zurückzuführen, dass sich die beteiligten 3 -fach Interaktionen voneinander unterscheiden. 07_anova 3 39

Mehrfaktorielle ANOVA 1 Faktor: SStotal = SSwithin + SSA 2 Faktoren: SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSAx. B 3 Faktoren: SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSC + SSAx. B + SSBx. C + SSAx. Bx. C 4 Faktoren: SStotal = SSwithin + SSA + SSB + SSC + SSD + SSAx. B + SSAx. C + SSAx. D +SSBx. C +SSBx. D+ SSCx. D+ SSAx. Bx. C + SSAx. Bx. D + SSAx. Cx. D + SSBx. Cx. D + SSAx. Bx. Cx. D 07_anova 3 40

Zufallseffekte Feste Effekt vs. Zufallseffekte • Bisher haben wir nur Varianzanalysen für so genannte feste Effekte besprochen. • Definition: Man spricht von festen Effekten, wenn alle möglichen bzw. alle interessierenden Stufen eines Faktors im Versuchsplan realisiert werden. • Beispiele: Geschlecht, Therapieform, etc. • In diesem Fall kann ist das Ergebnis der ANOVA nur auf die realisierten Stufen zu beziehen. 07_anova 3 41

Zufallseffekte • Häufig sind Gruppenbildungen jedoch nicht eindeutig, weil eine UV keine feste Abstufungen hat. • Beispiel: - UV: “Extraversion” (gering, mittel, hoch) - AV: Prüfungserfolg in einer mündlichen Prüfung. • In diesem Fall sollte eine ANOVA mit „Zufallseffekten“ berechnet werden. 07_anova 3 42

Zufallseffekte • Definition: Wenn einen Faktor viele Abstufungen hat und für eine Untersuchung “zufällig” einige davon ausgesucht werden spricht man von Zufallseffekten. • Beispiele: Persönlichkeitseigenschaften, Alkoholkonsum, Alter, etc. • Wenn ein Faktor als Zufallsfaktor betrachte wird, so ist eine Generalisierung der Ergebnisse auf andere (nicht untersuchte) Stufen möglich. 07_anova 3 43

Zufallseffekte Feste Effekt vs. Zufallseffekte Feste Effekte Zufallseffekte • Alle möglichen / interessierenden Stufen eines Faktors werden realisiert. • Einige Stufen werden aus vielen möglichen Stufen ausgesucht. • Keine Generalisierbarkeit auf nicht realisierte Stufen. • Generalisierbarkeit ist gegeben. • Die Summe der Effekte ist Null. • Die Summe der Effekte muss nicht Null sein. • H 0: Alle Effekte sind Null. αj=0 (für alle j) • H 0: Die Varianz der Effekte ist Null. σ²(α) = 0 07_anova 3 44

Zufallseffekte Beispiel: Alter und Klausurerfolg • Gruppenbildung: – Alter < 24 Gruppe 1 – Alter ≥ 24 Gruppe 2 • Willkürliche Gruppenbildung • Eigentlich soll untersucht werden, ob der Studienerfolg vom Alter im Allgemeinen abhängt. 07_anova 3 45 Vp 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … 20 Alter 23 19 29 21 22 19 27 24 22 28 … 20 Gruppe 1 1 2 1 1 1 2 2 1 2 … 1 Punkte 20 22 28 26 30 22 24 20 24 26 … 25

Zufallseffekte Beispiel: Alter und Klausurerfolg Gruppe 1 (jung) yi 1 (yi 1 -m 1)² 20 25 28 9 24 1 26 1 30 25 22 9 27 4 24 1 25 0 m 1=25 Σ=76 07_anova 3 46 Gruppe 2 (alt) yi 2 (yi 2 -m 2)² 23 0 20 9 22 1 25 4 24 1 22 1 24 1 20 9 26 9 m 2=23 Σ=36

Zufallseffekte Beispiel: Alter und Klausurerfolg • Bei einer einfaktoriellen ANOVA mit Zufallseffekten werden die Quadratsummen wie bisher berechnet. 07_anova 3 47

Zufallseffekte Beispiel: Alter und Klausurerfolg • Der kritische F-Wert beträgt 4. 35 kein statistisch bedeutsamer Unterschied! • Fazit: Kein Unterschied in der Durchführung des F-Tests im Vergleich zur Analyse mit festen Effekten. • Dies gilt jedoch nur für die einfaktorielle ANOVA. 07_anova 3 48

Zufallseffekte Zweifaktorielle ANOVA mit Zufallseffekten • Beispiel: Wie wirkt sich das Alter (UV 1) und die Extraversion (UV 2) eines Kandidaten auf das Ergebnis einer mündlichen Prüfung aus 07_anova 3 49

Zufallseffekte Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“ • Liegt ein Faktor mit festem Effekt und ein Faktor mit Zufallseffekt vor, spricht man von einer ANOVA mit gemischten Effekten. • Wichtig: Es muss bei der Berechnung der F-Tests beachtet werden, welcher Faktor als Zufallsfaktor eingegeben wird. • Beispiel: Der Einfluss des Geschlechts (Faktor A) und des Alters (Faktor B) auf die Ängstlichkeit einer Person. • Die folgenden Berechnungen gehen davon aus, dass Faktor B der Zufallsfaktor ist. 07_anova 3 50

Zufallseffekte Zweifaktorielle ANOVA mit „gemischten Effekten“ fest zufällig 07_anova 3 51

Zufallseffekte Überblick über die Berechnung der F-Tests Faktor A A fest, B fest A zufällig, B zufällig A fest, B zufällig 07_anova 3 52 Faktor B Ax. B

Zusammenfassung • Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden. • In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben. • Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion möglich. • Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden Interaktionen unterschieden. 07_anova 3 53

Zusammenfassung • Liegen mehrere nominalskalierte unabhängige Variablen und eine intervallskalierte abhängige Variable vor, kann eine mehrfaktorielle ANOVA berechnet werden. • In diesem Fall können neben den Haupteffekten auch Interaktionseffekte berechnet werden. Die Interaktion gib jeweils an, ob die einzelnen Bedingungskombinationen über den Einfluss der Haupteffekte hinaus spezifische Effekte haben. • Auch für den Interaktionseffekt kann eine Quadratsumme berechnet werden; daher ist auch ein F-Test für die Interaktion möglich. • Es wird zwischen ordinalen, disordinalen und hybriden Interaktionen unterschieden. 07_anova 3 54

Zusammenfassung • Mehrfaktorielle ANOVAs können mit beliebig vielen Faktoren (=UVs) berechnet werden (aber alle npq > 20!). • In diesem Fall ergeben sich Interaktionen höherer Ordnung, denen auch wieder bestimmte SS zugeordnet werden können. • Werden Stufen eines Faktors „zufällig“ aus einer großen Anzahl möglicher Stufen ausgewählt, müssen ANOVS mit Zufallseffekten berechnet werden • Bei der mehrfaktoriellen Varianzanalyse beeinflusst die Art des Faktors (fest vs. zufällig), welche Varianz im Nenner des F-Bruchs verwendet werden muss. 07_anova 3 55