Diseo de Experimentos ANOVA extracto de Mejoramiento de

Diseño de Experimentos ANOVA (extracto de Mejoramiento de Procesos por medio de toma de decisiones basada en datos por Omar Mora) Rev. 2 Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Diseño Experimental (DEX) El diseño experimental (DEX) suele ser circunscrito al concepto de Diseño de Experimentos Factorial. Esto es un enfoque limitado. En un contexto amplio DEX abarca todas las técnicas que permiten una comparación de factores, en diferentes niveles, para poder identificar diferencias significativas entre ellos. Las pruebas de hipótesis, el análisis de regresión, ANOVA son técnicas de DEX de amplio espectro de uso, y pueden dar grandes retribuciones a quienes las empleen de forma cautelosa y responsable. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Diseño Experimental Básico El diseño experimental, abreviado en inglés como DEX, los analistas, deliberadamente cambia uno o más factores, variable de procesos, con el fin de observar si los efectos de los cambios tienen relación con las variables de respuesta. No obstante, a manera de lograr un enfoque más integral de lo que es diseño experimental, se dirá que un buen analista debe manejar con propiedad al menos las siguientes herramientas estadísticas antes de ingresar en el diseño experimental: Comúnmente cuando se habla de diseño experimental, la mayor parte de los analistas evoca técnicas como diseño factorial, diseño de Taguchi, Placket. Burman, Central Composite, Superficies de Respuesta, entre otros. • • Y esto está bien. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Tamaño de Muestra Pruebas de Hipótesis ANOVA Análisis de Regresión y Correlación Y conocedor de lo anterior, el estudio y aplicación del diseño experimental le resultará mucho más sencillo, que si asume que es un concepto separado, o independiente. Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Diseño Experimental Básico En este documento se iniciar el tema de diseño experimental por medio del estudio de ANOVA de una y dos vías. Si el lector requiere ahondar en los conocimientos sobre este tema, le recomendamos acudir a la bibliografía anotada al final de este documento. Posteriormente, se trabajará el tema de diseño factorial de dos niveles, y otras variedades. Pero, no se pretende que esta explicación sea exhaustiva, si no más bien, introductoria. No está dentro del alcance de este documento temas como diseño de mezclas, diseño de experimentos de Taguchi. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Niveles de Análisis Lógico Experimental Copyrights©. 2005 -2008 PXS Estadístico Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA como DEX A designed experiment is a test or series of tests in which purposeful changes are made to the input variables of a process that we may observe and identify corresponding changes in the output response. Factores Controlables (Entradas). . . x 1 x 2 xp. . . Salidas PROCESO Entradas y . . . z 1 z 2 . . . zq Factores Incontrolables (Entradas) Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA: Conceptos Básicos • ANOVA es un herramienta estadística que se emplea para comparar los desempeños promedio de un determinado número de poblaciones. • ANOVA es el acrónimo para el término en inglés, Analysis of Variance. • “Las técnicas iniciales de análisis de varianzas fueron desarrolladas por el estadístico y genetista Ronald Fisher entre 1920 y 1930, y algunas veces se les conoce como ANOVA de Fisher o Análisis de Varianza de Fisher. ” (5) • Típicamente ANOVA y Análisis de Regresión son considerados métodos analíticos avanzados. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA: son promedios El acrónimo ANOVA causa un poco de confusión. Recuerde: ANOVA es un método usado con la intención de determinar la existencia de diferencias entre un número de promedios poblacionales. Si bien ANOVA es acerca de promedios, es necesario verificar ciertas fuentes de variación antes de poder ejecutar un análisis tipo ANOVA. El principio de parsimonia es sumamente necesario, al enfrentar la posibilidad de usar una ANOVA Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA: Modelos Conceptuales • • Modelo de Efectos Fijos: el supuesto para este modelo es que los datos en cada población bajo estudio, provienen o se pueden explicar por medio de una distribución normal, y los promedios podrían o no diferir. Modelo de Efectos Aleatorios: los supuestos de este caso asumen que los datos describen una jeraquía de poblaciones disímiles cuyas differencias son inhabilitadas por la jeraquía misma. Copyrights©. 2005 -2008 PXS • Modelo Mixto: estos modelos pueden utilizarse para explicar condiciones donde ambos, los modelos de efectos fijos y aleatorios, están presentes. ADVERTENCIA: el alcance de este documento es sobre el Modelo de Efectos Fijos, solamente. Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

“…ANOVA es similar a la regresión en el sentido que es utilizada para investigar y modelar la relación entre una variable de respuesta y una o más variables independientes” MINITAB Stat Guide. MINITAB Release 14 Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Navaja de Occam y ANOVA “Si solamente se están comparando dos medias, entonces la ANOVA dará los mismos resultados que una prueba de hipótesis t, para mustras independientes (si estamos comparando dos grupos diferentes de casos u observaciones) o una prueba t para muestras dependientes (si estamos comparando dos variables en un solo especimen de casos u observaciones)” Traducción a partir de (6) Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Prueba de Hipótesis y ANOVA En el Diseño Experimental, específicamente en el uso de ANOVA y DOE Factorial, se debe tener presente que el conocimiento y destreza tanto en prueba de hipótesis como en análisis de regresión es fundamental para una correcta interpretación del resultado de la ANOVA o el DOE. Estos elementos se reforzarán con la práctica y ejemplos. La hipótesis nula que subyace es: Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Supuestos en la ANOVA Hay dos supuestos básicos en ANOVA: 1. 2. Los datos se han extraído por muestreo es independiente y aleatorios de “j” poblaciones bajo estudio. Violentar estos supuestos podría originar consecuencias en las conclusiones del estudio. Las “j” poblaciones están normalmente distribuidas con una media “ ” QUE PODRIAN O NO (he aquí la esencia de la ANOVA) ser iguales; sin embargo, las varianzas “ ²” son iguales en las “j” poblaciones. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Supuesto de Normalidad: Los efectos de incumplir este supuestos están relacionados con el estadístico de prueba usado por la ANOVA, mejor conocido como prueba F. Muchos autores establecen que la prueba F es sorprendentemente robusta y tolera desviaciones de los datos del modelo Normal. La principal restricción podr{ia estar relacionad con el nivel de Curtosis de los datos. Cuando la curtosis no es mesocúrtica, si no que es leptocurtica, el valor de F tiende a ser bajo y no se puede rechazar la hipótesis nula, a pesar que sea incorrecta. Si los datos tienen platicurtosis, sucedería algo similar: se rechazaría aun cuando la hipótesis nula era correcta. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Supuesto de Homogeneidad de Varianzas La homogenidad de varianzas, como supuesto, considera que las varianzas en los diferentes grupos son idénticas. “Si las varianzas en dos grupos independientes son diferentes, entonces adicionar los datos de esos grupos en uno solo, no es apropidado, y no conducirá a una correcta estimación de la varianza común dentro-del-grupo (since que no existe varianza común)” Traducción adaptada de (6) Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Supuesto de Homogeneidad de Varianzas Igualmente, la prueba F es muy En la práctica, estas sugerencias son robusta, y tolera desviaciones de poco utilizadas, pero es necesario incumplimiento de homogeneidad tener presente la necesidad de de varianzas; sin embargo, pueden validar los supuestos existir casos en los que los promedios están correlacionados con varianzas entre las celdas que conforman la tabla de ANOVA. Es un factor dificil de identificar. Algunos sugieren crear un gráfico de dispersión que confronte varianzas contra promedios, y comprobar si hay correlaciones Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Pasos para Aplicar ANOVA Este es un procedimiento sugerido por Blackberry&Cross, sobre la base de conceptos teóricos y prácticas operativas industriales, estudiadas durante varios años. Algunos autores podrían diferer del orden o necesidad de ciertos pasos, pero cada paso sugerido se considera necesario para desarrollar metodología y resultados más confiables Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Pasos para Aplicar ANOVA 1. Descripción clara del problema 2. Determinación del modelo de análisis 3. Definición de la hipótesis nula 4. Determinación del tamaño de Muestra 5. Realizar una prueba de igualdad de varianzas 6. Realizar una prueba de Bondad de Ajuste para Normalidad 7. Configurar la tabla de ANOVA 8. Ejecutar la prueba de ANOVA 9. Analizar los resultados (incluye análisis de residuos) 10. Conducir pruebas de Tukey, HSU y/o ANOM 11. Concluir sobre el Experimento ANOVA Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Tamaño de Muestra para ANOVA Recuérdese que cuando se trabaja con problemas de tamaño de muestra (Power and Sample Size, en inglés) siempre hay dos formas de abordarlo: • • Prospectivo: antes de correr el experimento Todo problema de tamaño de muestra requiere al menos: 1. 2. 3. Desviación estándar (en modelos de datos continuos) Diferencia mínima detectable entre el más pequeño y más grande de los factores medios. Poder de la prueba Retrospectivo: después de correr el experimento Se recomienda utilizar el enfoque prospectivo, siempre que sea posible. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Tamaño de Muestra para ANOVA Asuma que ha hecho un experimento ANOVA, con el fin de entender como el envejecimiento de los materiales afecta su resistencia media. Usted quiere encontrar la diferencia, en un grupo de datos controlado, con niveles promedio entre 10 y 14 unidades de resistencia. El sigma del proceso que se tiene ha sido registrado en 2. 5. Usted tomó una muestra inicial de 8, en un enfoque retrospectivo de muestreo. Calcule el tamaño de muestra, con un nivel de poder de prueba del 90%. Use MINITAB 15. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Poder de la Prueba “El poder de la prueba es la probabilidad de correctamente rechazar H 0 cuando es falsa. En otras palabras, es la probabilidad de que se identifique una diferencia significativa (efecto) cuando existe” MINITAB Stat Guide Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Fundamentos de Cálculo de ANOVA Este material abarca solamente los tipos de ANOVA conocidos como: ANOVA Una-Vía (One-Way ANOVA) ANOVA Dos-Vías (Two-Way ANOVA) No se incluyen en este materiales modelos para ANOVA no-balanceada. Para mayor información consulte (8). Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA de Una Vía Esta modalidad de ANOVA puede sintetizarse en un diseño experimental, en donde se analiza un (1) factor, en múltiples niveles. Típicamente, se llama a los niveles del factor “tratamientos”. De forma estricta, la ANOVA de Una Vía es un OFAT. Su utilidad es de gran valor, tanto en la práctica como en el ejercicio conceptual. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA de Una-Vía Tamaño Muestra NOTA: no se ha estudiado los elementos de ANOVA DE UNA VÍA, pero se utlizará este menú de tamaño de muestra como ilustración Power and Sample Size One-way ANOVA Alpha = 0. 05 Assumed standard deviation = 2. 5 Number of Levels = 5 SS Sample Maximum Means Size Power Difference 8 8 0. 661089 4 The sample size is for each level. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA de Una-Vía Tamaño Muestra Power and Sample Size One-way ANOVA Alpha = 0. 05 Assumed standard deviation = 2. 5 Number of Levels = 5 SS Sample Target Means Size Power 8 14 0. 90 8 16 0. 95 8 21 0. 99 Actual Power 0. 923493 0. 956893 0. 990934 Maximum Difference 4 4 4 The sample size is for each level. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Prueba Igualdad de Varianzas Para ejecutar estas pruebas use el menú de MINITAB Stat > ANOVA > Test for Equal Variances. Asuma que tiene un producto en el cual el espesor es una dimensión crítica. El producto se fabrica por medio de termoformado plástico Usted sabe que el sistema de termoformado se comporta como sigue: Cuando trabaja a 25 psi, y cuando trabaja a 41 psi debería ser lo mismo ¿Las varianzas en ambos niveles (25 y 41 psi) serán iguales? Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Prueba: Bonferroni y Levene Test for Equal Variances: Diameter versus Pressure 95% Bonferroni confidence intervals for standard deviations Pressure N Lower St. Dev Upper 25 9 2. 91929 4. 55522 9. 7110 41 9 3. 54091 5. 52519 11. 7789 F-Test (normal distribution) Test statistic = 0. 68, p-value = 0. 598 Levene's Test (any continuous distribution) Test statistic = 0. 05, p-value = 0. 824 Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ilustración de Igualdad de Varianzas Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Homogeneidad de Varianzas Varios Métodos En general los métodos de igualdad de varianzas se categorizan en Pruebas estadísticas – Barlett's (mejor con datos normales) – F-test (muy robusta; se ve afectada por la curtosis alta o baja) – Levene (menos poderosa, pero es no-paramétrica) Medición de Varianza – Desviación Estándar – Varianza – Bonferroni: intervalos de confianza Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Prueba de Normalidad Las pruebas de Normalidad sugeridad son 1. Anderson Darling 2. Kolmogorov-Smirnov 3. Ryan-Joiner 4. P-Value Con anterioridad se han mencionado otras pruebas. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA una-vía: un solo factor en múltiples niveles Tabla de ANOVA y Fórmulas Tratamiento Copyrights©. 2005 -2008 PXS Observaciones Totales Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010) Medias

Fórmulas Específicas Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Medición de la Variabilidad en ANOVA Al igual como se explicó en los elementos de análisis de regresión, la ANOVA como modelo experimental está compuesto de un factor sistemático y otro aleatorio. La variabilidad total se mide por de SST, en donde SS significa Suma de Cuadrados, del inglés Sum of Squares. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

SS Tratamientos = Suma de cuadrados de las diferencias entre las medias de los tratamientos y el promedio general. SS error = Suma de cuadrados de las diferencias de las observaciones dentro de un tratamiento del promedio del tratamiento. El concepto de tratamiento y error son complicados, cuando se ejecutan las primeras experimentaciones con ANOVA. En este documento se omitirán las ecuaciones para el cálculo manual de la Suma de Cuadrados de los Tratamientos y la Suma de Cuadrados de los Errores. Se enfocará el estudio en la confección e interpretación de la ANOVA. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

TABLA DE ANOVA-Sumaria Fuentes de Variación Suma Cuadrados Grados Libertad Cuadrado Medio Tratamientos Error Total Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010) F 0

TABLA DE ANOVA-Sumaria Fuentes de Variación Suma Cuadrados Grados Libertad Cuadrado Medio Tratamientos Error Total Los conceptos de análisis de regresión se adicional en la interpretación de la ANOVA Copyrights©. 2005 -2008 PXS R² = Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010) F 0

Cuadrado Medio y Varianza Recuérdese que En el caso de la ANOVA, la varianza de los tratamientos y del error se estima por medio de los Cuadrados Medios Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Una compañía fabricante de aleaciones, ha decidido entender mejor su proceso. De momento se sabe que la adición de determinados metales favorece la resistencia; el equipo de ingeniería conoce que adicionar bronce en diferentes proporciones, a la amalgama, podría explicar la mejoría en la resistencia. El problema está en el costo del bronce, y su problema de abastecimiento. El departamento de ingeniería expone entonces que la resistencia está dada en función de la proporción de bronce. Se decide utilizar diferentes proporciones: 5%, 10%, 15% y 20%. Para cada concentración se han tomado 6 especímenes, de acuerdo con un muestreo aleatorio retrospectivo. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Resistencia en PSI de las Amalgamas OBSERVACIONES RECOLECTADAS Porcentaje de Bronce (%) 1 2 3 4 5 6 Totales Promedio 5 7 8 15 11 9 10 60 10. 00 10 12 17 13 18 19 15 94 15. 67 15 14 18 19 17 16 18 102 17. 00 20 19 25 22 23 18 20 127 21. 17 TOTALES Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010) 383 15. 96

Ejemplo: Verificación de Supuestos Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Construcción Tabla ANOVA Acceda al Menú de MINITAB 15: STAT ►ANOVA ►One Way La variable de respuesta es la Resistencia del metal. El factor, tratamiento, es el porcentaje de bronce. Para efectos de análisis es conveniente registrar los residuales y los valores de ajuste del modelo (fit) Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Construcción Tabla ANOVA Como parte del proceso de validación de los resultados de una ANOVA, es altamente recomendado que se seleccionen los gráficos: – Análisis cuatro-en-uno – Valores individuales – Cajas-y-bigotes Estos gráficos deben estudiarse, para entender el comportamiento de los valores individuales, así como de los valores residuales Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Comparaciones Múltiples En algunas ocasiones las pruebas de comparación múltiple, resultan un recurso adicional para identificar si hay evidencia estadística de diferencia entre los tratamientos. Para efectos de ilustracíón en MINITAB 15 se procederá a analizar las pruebas: • • Tukey HSU Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Análisis Gráfico Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

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Comportamiento de los Residuos Los residuos son la diferencia entre los datos observados (Oi) y los datos esperados (Ei), o también llamados ajustados, ya que provienen de una curva de ajuste o modelo. Si la diferencia entre Oi-Ei es igual a cero (0), significa que el modelo y los datos se ajustan perfectamente. Los residuos deben seguir un comportamiento normal, con media cero (0) y varianza desconocida, pero calculable. Para que la ANOVA , u otros modelos sean válidos, es necesario que estas condiciones se cumplan. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: ANOVA Sumaria One-way ANOVA: Resistencias versus Tratamiento Source DF SS MS F P Tratamiento 3 382. 79 127. 60 19. 61 0. 000 Error 20 130. 17 6. 51 Total 23 512. 96 S = 2. 551 R-Sq = 74. 62% R-Sq(adj) = 70. 82% Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled St. Dev Level N Mean St. Dev +---------+-----+----5 6 10. 000 2. 828 (----*----) 10 6 15. 667 2. 805 (----*-----) 15 6 17. 000 1. 789 (----*-----) 20 6 21. 167 2. 639 (-----*----) +---------+-----+----8. 0 12. 0 16. 0 20. 0 Pooled St. Dev = 2. 551 Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Comparación de HSU Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Comparación de Tukey Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOM Con frecuencia, en la práctica, el concepto de ANOVA resulta dificil de visualizar para muchos. Una alternativa gráfica para solventar este inconveniente de interface, es la prueba conocida como ANOM (Analysis of Means). ANOM puede aplicarse para datos normales, binomiales o poisson, y provee un despliegue gráfico de su resultado. Puede diferir de la ANOVA en el resultado final, por lo que el analista debe ser cauto. Toda herramienta tiene diferente nivel de poder. Copyrights©. 2005 -2008 PXS En MINITAB 15, el menú es: STAT►ANOVA ►ANOM Es recomendable acompañar las pruebas de ANOVA, con un análisis ANOM. Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOM Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA de Dos Vías Esta modalidad de ANOVA tiene la propiedad de poder incorporar dos , factores, cada uno con “a” cantidad de niveles. La ANOVA de Dos Vías no es un OFAT, y es un modelo experimental más complejo. La ANOVA de dos vías, permite entender el efecto del factor A, el factor B, además de su interacción AB, lo que la convierte en una herramienta muy poderosa. Igualmente, es un diseño experimental de amplia utilidad práctica. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA dos vías: dos factores en “a” niveles 1 Factor B 2 b 1 Factor A 2 a Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA dos vías: fórmulas Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

B= -1 La hipótesis nula en una ANOVA de dos vías, se expresa como: Respuesta H 0: No hay efecto significativo del Factor A, No hay efecto significativo del Factor B, No hay efecto significativo por la interacción entre AB B= 1 -1 Factor A 1 INTERACCIONES Respuesta B= 1 Las interacciones suceden cuando el efecto de un factor, sobre la variable de respuesta depende del nivel de otro factor. B= -1 Interacción Significativa -1 Copyrights©. 2005 -2008 PXS No Interacción Significativa Factor A Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010) 1

ANOVA dos vías: Tabla Sumaria Fuente de Variación Suma Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio F 0 A B Interacci{on Error Total Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Una empresa del sector electrónico tiene un proceso de introducción de nuevos productos (NPI, de sus siglas en inglés). Como parte de los retos que el equipo NPI debe enfrentar, se encuentra tomar la decisión acerca del modo de fabricación de la cubierta plástica que protejerá a un transmisor tierra-aire. Se sabe que pueden fabricarse las cubiertas por dos tecnologías alternativas: inyección y termoformado. Igualmente hay tres materiales, polímeros, que se pueden emplear: ABS(1), Acetal(2), Policarbonato(3). Se ha decido hacer tres muestras piloto para cada técnica con cada polímero. Una ANOVA de dos vías resulta funcional para análisis de este experimento, donde la variable de respuesta es un coeficiente de curvatura, por cálculo indirecto. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Curvatura Polímero 1 2 3 Inyección Termoformado 4. 0, 4. 5, 4. 3 5. 4, 4. 9, 5. 6 12. 8 15. 9 5. 6, 4. 9, 5. 4 5. 8, 6. 1, 6. 3 15. 9 18. 2 3. 8, 3. 7, 4. 0 5. 5, 5. 0 11. 5 15. 5 40. 2 49. 6 a=3, b=2, n=3 Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010) 28. 7 34. 1 27. 0 89. 8

Ejemplo: Análisis Gráfico ANOVA 2 -vías Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

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Ejemplo: Supuesto Igualdad de Varianzas Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Efectos Principales ANOVA 2 vías Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Interacciones ANOVA 2 -vías Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Intervalos ANOVA 2 -vías Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Intervalos ANOVA 2 -vías Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Ejemplo: Tabla ANOVA Dos-Vías, Sumaria Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA: Taller Recolecte y estudie los datos necesarios, que le permitan confeccionar un estudio de ANOVA de una o dos vías. Solamente practicando se logrará desarrollar destrezas analíticas. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Diseños completamente aleatorios La manera en que se toman los datos para diferentes tratamientos, en un experimento, como lo es una ANOVA, algunas veces obedece a: La aleatorización es una de las medidas que se adoptan para combatir los efectos indeseables de las llamadas “variables furtiuvas”. • • • Las “variables furtivas” son cualitativas o cuantitativas, y no hay certeza sobre cuando puedan presentarse y afecten el evento en estudio. Estas variables generalmente son aquellas que el investigador, analista, no ha identificado, pero que si afectan la variable de respuesta. • La comodidad para tomarlos El costo de recolección La necesidad de aleatorización completa Ningún criterio Sin duda, de las anteriores opciones que explican cómo se planifícó la recolección de datos, la más conveniente, apropiada, y recomendada, es la aleatorización completa de los datos. Copyrights©. 2005 -2008 PXS La aleatorización compesa el problema, pero no lo elimina. La manifestación de las “variables furtivas” se observa en la suma de cuadrados del error. Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Diseños completamente aleatorios Nadie puede anticipar la presencia de una “variable furtiva”. Aun cuando el proceso de generar un diseño completamente aleatorio sea más costoso, lento en la práctica, o dificil de asimilar gerencialmente, es una forma de mitigar el riesgo de concluir inapropiadamente después de aplicar la ANOVA (u otros diseños experimentales). Copyrights©. 2005 -2008 PXS “Aleatorio o nada”. Es una frase de algunos especialistas, que evoca el grado imperativo de generar aleatorización en los modelos. MINITAB 15 no genera la aleatorización de forma automática, pero se puede hacer utilizando varios menús. Se mostrará el procedimiento seguidamente, gracias a un ejemplo. Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Diseños completamente aleatorios Modelo No Aleatorio Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010) Modelo Aleatorio

Diseños completamente aleatorios Con ayuda de MINITAB 15, es posible lograr el proceso de aleatorización de las corridas para los tratamientos. Calc ► Random Data ► Sample from Columns: le ayudará a crear la lista aleatoria de corrida a partir del orden estándar Stat ► Quality Tools ► Run Charts: es un procedimiento Acceda a los menús: Calc►Make Pattern Data ► Simple Set of Numbers: para recomendado por Blackberry&Cross, para verificar si el orden aleatorio lo es en buena medida. crear el listado de los tratamientos (también puede usar texto en Calc►Make Pattern Data ► Text Values) Calc ► Make Pattern Data ► Simple Set of Numbers: para crear la lista de corrida, en orden estándar. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

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Transformación de Respuestas Como se ha mencionado, y practicado, el comportamiento de los residuos debe ser normal, con media cero, y varianza desconocida, pero calculable. Algunas veces esta situación no se presenta, y hace que el modelo no sea válido. Las causas pueden ser múltiples: – – Sistema de medición inadecuado Datos mal digitados Efectos por redondeo Otro tipo de discrepancias. Las transformaciones más comunes en el caso de ANOVA son: – – Logarítmica Datos discretos Datos Fraccionados Datos en Escalafón Los detalles acerca del proceso de transformación están fuera del alcance de este documento. Muchas de estas discrepancias pueden ser resueltas gracias a la aplicación de transformaciones matemáticas de los datos originales Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

ANOVA Dos Vías y GLM En MINITAB 15 la manera de resolver problema de ANOVA de Dos Vías, puede lograrse por medio de diferentes menús: Stat► ANOVA ► Balanced ANOVA Stat ► ANOVA ► General Linear Model Estos dos menús de MINITAB 15 ofrecen más posibilidades analíticas. Con su facilitador, proceda a utilizar los datos que se muestran al lado, para resolver un ejercicio que emplee las opciones señaladas antes. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Taller Tratamiento Obs 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 1213, 5 1173 1143 1209 1174, 5 1117, 5 1255, 5 86, 6 83, 1 2 1174, 5 1227 1180, 5 1264, 5 1246, 5 1185 1204, 5 1254 1168, 5 3 1167 1252, 5 1192, 5 1207, 5 1183, 5 1195, 5 1212 1284 1168, 5 4 1149 1263 1129, 5 1158 1251 1246, 5 1254 1258, 5 1198, 5 5 1233 1135, 5 1233 1239 1215 1146 1251 1290 1255, 5 6 1117, 5 1221 1180, 5 1186, 5 1167 1203 1179 1155 1207, 5 7 1207, 5 1170 1113 1255, 5 1161 1213, 5 1242 1200 1221 8 1155 1228, 5 1261, 5 1228, 5 1176 1218 1104 1263 1122 9 1237, 5 1248 1255, 5 1168, 5 1171, 5 1260 1240, 5 1150, 5 1291, 5 Considere un proceso en el cual la temperatura puede colocarse en diferentes niveles. Se han escogido 9 niveles distintos. Para niveles se han tomado 9 observaciones. Construya un gráfico de cajas-y-bigotes para ilustrar el comportamiento de este fenómeno. Luego confecciones una ANOVA de una-vía. Puede descargar los datos desde www. sixsigmacostarica. com Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Aclaraciones Este documento utiliza material contenido en MINITAB 15. Todos esos ejemplos son propiedad de MINITAB Inc. A la fecha de edición e impresión de este documento, MINITAB 15 no cuenta con versión en español, por lo que los resultados se dejan en este texto tal y como se obtienen de la versión en inglés del software. Esta obra pretende funcionar como un complemento didáctico para todos aquellos usuarios de MINITAB 15, que son hispano-parlantes, y como una guía para los representantes de MINITAB en América Latina. Puede entonces catalogarse este documento como una guía ampliada a la ayuda (HELP) de MINITAB 15, para usuarios que recientemente se introducen al uso del software, pero no debe confundirse con una obra que compite con textos de MINITAB Inc. No es el propósito de este documento ser un libro en estadística, mejoramiento continuo o similar, ni tampoco pretende este material reemplazar el entrenamiento certificado de MINITAB Inc. , el cual se recomienda grandemente. Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Simbología en este documento En este documento se hará uso de diferente nomenclatura, cuando se acceda a MINITAB 15 Por ejemplo: FILE ►Print Setup en donde el símbolo “►” significa, que el usuario debe acceder a un submenú del menú FILE, según el ejemplo MTB> en donde el símbolo “>” es parte de la nomenclatura de comandos de MINITAB Ctrl + S, que implica que el símbolo “+” muestra la unión de secuencia de teclas, en este caso la tecla “Ctrl” seguida de la tecla “S” Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

Bibliografía 1. Douglas Montgomery, Introduction to Quality Control. Wiley and Sons, 2004 2. Forrest W. Breyfogle III, John Wiley and Sons, 2003 3. Omar Mora. Quality Engineer Manual of Formulas, 2002 4. MINITAB Inc. MINITAB 15 Stat Guide, 2007 5. Traducción de Wikipedia, 2005 http: //en. wikipedia. org/wiki/ANOVA 6. MINITAB Stat Guide. MINITAB Release 14 7. STATSoft Electronic Textbook www. statsoft. com, 2005 8. Montgomery D. C. 1991. Design and Analysis of Experiments. Tercera Edición, New York, WIley & Sons. 9. Design of Experiments with MINITAB. Paul Mathews, ASQ Press, 2004 Copyrights©. 2005 -2008 PXS Diseño de Experimentos Con apoyo de software especializado Rev. 2 (Todos los derechos reservados a Backberry & Cross S. A. ©, 2006 -2010)

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