Sabit Varyans VaruiXi Varui Eui 2 s 2

Sabit Varyans Var(ui|Xi) = Var(ui) = E(ui 2) = s 2 Eşit Varyans EKKY’nin varsayımlarından biri anakütle regresyon fonksiyonu ui lerin eşit varyanslı olmasıdır. Y Her hata terimi varyansı bağımsız değişkenlerin verilen değerlerine göre s 2 ye eşit aynı (sabit) bir değerdir. Bu nedenle eşit varyansa sabit varyans da denir. 1 X

Sabit Varyansta Hataların Dağılımı Tüketim yt . . Gelir xt 2

Sabit Varyans Durumu yt f(yt) im t e k ü T . . x 1 x 2 x 3 x 4 . . Gelir xt 3

Farklı Varyans Kavramı • “Sabit varyans”(homoscedasticity) varsayımına göre verili açıklayıcı değişkenlerine bağlı olarak ’nin koşullu varyansı sabittir: i=1, 2, . . , n • “Farklı varyans” (heteroscedasticity) durumunda ise ğiştikçe ’nin koşullu varyansı da değişir: de- • Farklı varyansa bir örnek olarak tasarrufların varyansının gelirle birlikte artmasını verebiliriz. • Yüksek gelirli ailelerin tasarrufları, düşük gelirli ailelere oranla hem ortalama olarak daha çoktur hem de değişirliği daha fazladır. 4

Farklı Varyans Var(ui|Xi) = Var(ui) = E(ui 2) = si 2 Farklı Varyans Hata Zaman 5

Farklı Varyansta Hataların Dağılımı Tüketim yt . . . Gelir xt

Farklı Varyans Durumu t y f(yt) im t e k ü T . . . Zengin bireyler Yoksul bireyler x 1 x 2 x 3 Gelir xt

Farklı Varyansın Nedenleri • Hata terimi varyansının değişken olma nedenlerinden bazıları şunlardır: 1. “Hata öğrenme” (error learning) modellerine göre bireyler bazı konuları öğrendikçe daha az hata yaparlar. Buna göre de nin de zamanla küçülmesi beklenir. Örnek olarak, bilgisayarda klavye kullanma süresi arttıkça hem klavye hataları hem de bunların varyansları azalır. 8

Farklı Varyansın Nedenleri 2. Gelir düzeyi arttıkça gelirin harcanabileceği seçenekler de genişler. Böylece, gelir düzeyi ile birlikte hem harcamaların hem de bunların varyanslarının artması beklenir. 3. Zaman içerisinde veri derleme tekniklerinin gelişmesine koşut olarak de düşebilir. 4. Farklı varyans “dışadüşen”(outlier) gözlemlerin bir sonucu olarak da ortaya çıkabilir. Böyle gözlemlerin alınması ya da bırakılması, özellikle de örneklem küçükken sonuçları önemli ölçüde değiştirebilir.

Farklı Varyansın Nedenleri 5. Farklı varyansın bir diğer nedeni de model belirleme (spesifikasyon) hatasıdır. Özellikle de önemli bir değişkenin modelden çıkartılması farklı varyansa yol açabilir. 6. Farklı varyans sorunu yatay kesit verilerinde zaman serisi verilerine oranla daha fazla görülebilmektedir. Bunun nedeni, zaman serilerinde değişkenlerin zaman içerisinde yakın büyüklüklerde olma eğilimidir. 10

Farklı Varyans ile Karşılan Durumlar • Kesit Verilerinde. • Kar dağıtım modellerinde. • Sektör modellerinde. • Ücret modellerinde. • Deneme - Yanılma modellerinde.

En Küçük Kareler İle İlgili Özellikleri 1. En Küçük Kareler Tahmincileri doğrusal ve sapmasızdır. 2. Katsayı tahmincileri etkin değildir. 3. En Küçük kareler tahmincilerinin standart hataları doğru değildir. 4. Standart hata formulleri doğru olmadığından güven aralıkları ve hipotez testleri geçerli değildir.

yt = 1 + 2 xt + et Farklı varyans durumunda: En küçük kareler varyans formulu geçersizdir: 2 s var(b 2) = 2 x x S( t ) Enküçük kareler varyans formulu aşağıdaki gibi düzeltilmelidir. : 2 2 S st (xt - x ) var(b 2) = [S (xt - x )2]2

Farklı Varyansın Belirlenmesi • Grafik Yöntemle. • Sıra Korelasyonu testi ile. • Goldfeld-Quandt testi ile. • White testi ile. • Lagrange çarpanları testi ile 14

Grafik Yöntem 15

Grafik Yöntem 16

Grafik Yöntem 17

1. Aşama 2. Aşama Sıra Korelasyonu Testi H 0: r = 0 H 1: r 0 a=? s. d. =? ttab =? 3. Aşama 4. Aşama thes > ttab H 0 hipotezi reddedilebilir 18

Sıra Korelasyonu Testi Y X 75 88 95 125 115 127 165 172 183 225 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 e 7. 0545 4. 7091 -3. 6364 11. 0182 -14. 327 -17. 672 4. 9818 -3. 3636 -7. 7091 18. 9455 Xs es 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 5 3 2 7 8 9 4 1 6 10 Mutlak değerli olarak bulundukları yer itibariyle küçükten büyüğe sıra numarası verilir di -4 -1 1 -3 -3 -3 3 7 3 0 di 2 16 1 1 9 9 49 9 0 Sdi 2=112 d=Xs -es

Sıra Korelasyonu Testi = 0. 3212 1. Aşama 2. Aşama H 0: r = 0 H 1: r 0 a = 0. 05 s. d. = 8 3. Aşama 4. Aşama ttab = 2. 306 = 0. 9593 thes < ttab H 0 hipotezi reddedilemez. 20

Goldfeld-Quandt Testi Büyük örneklere uygulanan bir F testidir. Bu test s 2 i nin farklı varyansının bağımsız değişkenlerden biri ile pozitif ilişkili olduğunu varsayar. s 2 i Xi ile pozitif (aynı yönde) ilişkilidir ve s 2 i farklı varyansı X’in karesi ile orantılıdır. Yani Xi değerleri arttıkça s 2 i değeri de artmaktadır.

Goldfeld-Quandt Testi Y = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3+. . . + bk Xk + u Y X 2 s X 3. . . Xk I. Alt Örnek n 1 YI = b 11 + b 21 X 2 + b 31 X 3+. . . + bk 1 Xk + u Se 12=? Çıkarılan Gözlemler II. Alt Örnek n 2 n(1/6) < c < n(1/3) YII = b 12 + b 22 X 2 + b 32 X 3+. . . + bk 2 Xk + u Se 22=? 22

Goldfeld-Quandt Testi 1. Aşama 2. Aşama H 0: Eşit Varyans H 1: Farklı Varyans a=? Ftab =? 3. Aşama X bağımsız değişkeninin değerleri küçükyen büyüğe doğru ilgili Y bağımlı değişkeninin değerleri de taşınarak sıralanır. Ortadan c kadar gözlem çıkarılır. 4. Aşama Fhes > Ftab H 0 hipotezi reddedilebilir 23

Yıl Tasarruf Gelir 1 264 8777 2 105 9210 3 90 9954 4 131 10508 5 122 10979 6 107 11912 7 406 12747 8 503 13499 9 431 14269 10 588 15522 11 898 16730 12 950 17663 13 779 18575 14 819 19635 15 1222 21163 16 1702 22880 17 1578 24127

Yıllar Tasarruf Gelir 18 1654 25604 19 1400 26500 20 2017 27430 21 1829 27670 22 1600 28150 23 2200 28300 24 2105 29560 25 2250 32100 26 2420 32500 27 1720 33500 28 2570 35250 29 1900 36000 30 2100 36200 31 2300 38200 Gelir bağımsız değişkenine göre tasarrufu da sıralıyoruz.

n 1 Tasarrfuf Gelir n 2 Tasarrfuf Gelir 1 264 8777 1 1829 27670 2 105 9210 2 1600 28150 3 90 9954 3 2200 28300 4 131 10508 4 2105 29560 5 122 10979 5 2250 32100 6 107 11912 6 2420 32500 7 406 12747 7 1720 33500 8 503 13499 8 2570 35250 9 431 14269 9 1900 36000 10 588 15522 10 2100 36200 11 898 16730 11 2300 38200 Gelire göre sırandı. Ortadan 31/4=8 veya 9 gözlem çıkarılacak. İki alt grup oluşturuldu.

(195. 4) (817. 3) (0. 015) (0. 025)

f 1=f 2=(n-c-2 k)/2=9 sd de Ftab=3. 18 Fhes > Ftab H 0 hipotezi reddedilebilir

Goldfeld-Quandt Test ln. Maas = b 1 + b 2 Yıl + b 3 Yıl 2 n/3=222/3≈72 Dependent Variable: ln. Maas Included observations: 222 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 3. 809365 0. 041338 92. 15104 0. 0000 Yıl 0. 043853 0. 004829 9. 081645 0. 0000 Yıl 2 -0. 000627 0. 000121 -5. 190657 0. 0000 R-squared 0. 536179 Mean dependent var 4. 325410 Adjusted R-squared 0. 531943 S. D. dependent var 0. 302511 S. E. of regression 0. 206962 Akaike info criterion -0. 299140 Sum squared resid 9. 380504 Schwarz criterion -0. 253158 Log likelihood 36. 20452 F-statistic 126. 5823 Durbin-Watson stat 1. 618981 Prob(F-statistic) 0. 000000 29

Goldfeld-Quandt Test 1. alt örnek sonuçları: Dependent Variable: lnmaas Sample: 1 75 Included observations: 75 Variable Coefficient Std. Errort-Statistic Prob. C 3. 954106 0. 059538 66. 41324 0. 0000 Yıl -0. 021930 0. 021019 -1. 043349 0. 3003 Yıl 2 0. 004375 0. 001600 2. 733929 0. 0079 R-squared 0. 465625 Mean dependent var 4. 031098 Adjusted R-squared 0. 450781 S. D. dependent var 0. 167536 S. E. of regression 0. 124160 Akaike info criterion -1. 295318 Sum squared resid 1. 109926 Schwarz criterion -1. 202619 Log likelihood 51. 57443 F-statistic 31. 36845 Durbin-Watson stat 1. 807774 Prob(F-statistic) 0. 00000030

Goldfeld-Quandt Test 2. Altörnek Sonuçları: Dependent Variable: lnmaas Sample: 148 222 Included observations: 75 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 4. 007507 0. 976346 4. 104598 0. 0001 Yıl 0. 019928 0. 060603 0. 328823 0. 7432 Yıl 2 -0. 000102 0. 000920 -0. 110443 0. 9124 R-squared 0. 078625 Mean dependent var 4. 513929 Adjusted R-squared 0. 053031 S. D. dependent var 0. 231175 S. E. of regression 0. 224962 Akaike info criterion -0. 106594 Sum squared resid 3. 643762 Schwarz criterion -0. 013895 Log likelihood 6. 997288 F-statistic 3. 072027 Durbin-Watson stat 1. 684803 Prob(F-statistic) 0. 05244631

Goldfeld-Quandt Testi 1. Aşama H 0: Eşit Varyans H 1: Farklı Varyans 2. Aşama a = 0. 05 1. 43<Ftab<1. 53 = 3. 2830 3. Aşama 4. Aşama Fhes > Ftab H 0 hipotezi reddedilebilir 32

White Testi Y = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3+ u White Testi için yardımcı regresyon: u 2 = a 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3+ a 4 X 22 + a 5 X 32 + a 6 X 2 X 3 + v R y 2 = ? White Testi Aşamaları: 1. Aşama H 0: a 2 = a 3 = a 4 = a 5 = a 6=0 H 1 : ai’lerin en az bir tanesi anlamlıdır 2. Aşama s. d. = k-1 a=? 3. Aşama W= n. Ry 2 = ? 4. Aşama W > c 2 tab=? H 0 hipotezi reddedilebilir 33

White Testi ln. Maaş = 3. 8094 + 0. 0439 yıl - 0. 0006 yıl 2 White Testi için yardımcı regresyon: e 2= -0. 0018 + 0. 0002 Yıl + 0. 0007 Yıl 2 - 0. 00003 Yıl 3 + 0. 0000004 Yıl 4 Ry 2 = 0. 0901 1. Aşama H 0: a 2 = a 3 = a 4 = a 5=0 ; H 1 : ai’lerin en az bir tanesi anlamlıdır 2. Aşama a = 0. 05 s. d. =5 -1=4 c 2 tab=9. 4877 3. Aşama W= n. Ry 2 = 222(0. 0901)= 20. 0022 4. Aşama W > c 2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir 34

Lagrange Çarpanları(LM) Testi Y = b 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3+ u LM testi için yardımcı regresyon: R y 2 = ? LM Testi Aşamaları: 1. Aşama H 0: b = 0 H 1 : b 0 2. Aşama s. d. = 1 a=? 3. Aşama LM= n. Ry 2 = ? 4. Aşama LM > c 2 tab=? H 0 hipotezi reddedilebilir 35

Lagrange Çarpanları(LM) Testi lnmaaş = 3. 8094 + 0. 0439 yıl - 0. 0006 yıl 2 LM Testi için yardımcı regresyon: e 2 = -0. 2736 + 0. 0730 (lnmaas-tah)2 Ry 2 = 0. 0537 1. Aşama H 0: b = 0 H 1 : b 0 2. Aşama a = 0. 05 s. d. =1 c 2 tab=3. 84146 3. Aşama LM= n. Ry 2 = 222(0. 0537)= 11. 9214 4. Aşama LM > c 2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir 36

UYGULAMA: 32 ailenin yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelirleri (X) aşağıda verilmiştir. Aile Sayısı 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y 2. 2 3 4. 1 3. 5 4. 2 6. 3 4. 6 8. 8 7. 3 4. 4 6. 7 3. 5 6. 8 7. 2 3. 1 2. 4 X 2. 8 3. 5 13. 5 8. 2 5. 9 15. 3 9. 7 26. 4 18. 2 6. 7 11. 3 4. 7 26. 3 22. 3 6. 1 3. 2 u Aile Sayısı -0. 75464 17 -0. 1301 18 -1. 53666 19 -0. 80818 20 0. 46833 21 0. 21216 22 -0. 08417 23 -0. 07012 24 0. 48526 25 0. 4678 26 1. 61478 27 0. 06911 28 -2. 04505 29 -0. 64243 30 -0. 68181 31 -0. 6549 32 Y 1. 5 5. 8 8. 2 4. 3 9. 4 5. 1 2. 4 8. 1 4. 9 3 4. 6 1. 9 2. 6 3. 9 7 11. 2 X 2 7. 2 18. 1 6. 2 16. 1 25. 2 8. 2 13. 4 5. 6 4. 2 8. 8 3. 5 12. 4 4. 3 12. 9 26. 5 u -1. 25412 1. 74247 1. 41032 0. 49313 3. 11164 -3. 46933 -1. 90818 2. 48841 1. 24352 -0. 30556 0. 14142 -1. 2301 -2. 76094 0. 56938 1. 51373 2. 30482 37

UYGULAMA: Yi = 0 + 1 Xi + i modeli için sabit varyans varsayımının geçerli olup olmadığını • Grafik Yöntemle. • Sıra Korelasyonu testi ile. • Goldfeld-Quandt testi ile. • White testi ile. • Lagrange çarpanı testi ile inceleyiniz. 38

Grafik Yöntem 39

1. Aşama 2. Aşama Sıra Korelasyonu Testi H 0: r = 0 H 1: r 0 a = 0. 05 s. d. =? ttab =? 3. Aşama 4. Aşama thes > ttab H 0 hipotezi reddedilebilir 40

Sıra Korelasyonu Testi 1. Aşama 2. Aşama H 0: r = 0 H 1: r 0 a = 0. 05 s. d. = 30 ttab = 2. 042 = 1. 9454 4. Aşama thes < ttab H 0 hipotezi reddedilemez. 41

Goldfeld-Quandt Testi c = 32 / 5 = 6. 4 6 gözlem atılacak. (14. -19. gözlemler) 13 gözlemden oluşan iki grup için modeller 1. -13. gözlemler için Yi = 0. 5096 + 0. 6078 Xi 20. -32. gözlemler için Yi = 3. 8153 + 0. 1723 Xi 42

Goldfeld-Quandt Testi 1. Aşama 2. Aşama H 0: Eşit Varyans H 1: Farklı Varyans a = 0. 05 Ftab =2. 82 3. Aşama 4. Aşama Fhes > Ftab H 0 hipotezi reddedilebilir 43

White Testi için yardımcı regresyon: e 2= -0. 6909 + 0. 3498 X – 0. 0058 X 2 Ry 2 = 0. 2296 1. Aşama H 0: a 2 = a 3 = 0 ; H 1 : ai’lerin en az bir tanesi anlamlıdır 2. Aşama a = 0. 05 s. d. =3 -1=2 c 2 tab=5. 99 3. Aşama W= n. Ry 2 = 32(0. 2296) = 7. 3472 4. Aşama W > c 2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir 44

Lagrange Çarpanları(LM) Testi LM Testi için yardımcı regresyon: Ry 2 = 0. 201 1. Aşama H 0: b = 0 H 1 : b 0 2. Aşama a = 0. 05 s. d. =2 -1=1 c 2 tab=3. 84146 3. Aşama LM= n. Ry 2 = 32(0. 201) = 6. 432 4. Aşama LM > c 2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir 45

FARKLI VARYANSI ORTADAN KALDIRMA YOLLARI Farklı varyans durumunda EKKY tahmincileri etkinlik özelliklerini kaybettiklerinden güvenilir değildirler. Bu sebeple farklı varyans ortadan kaldırılmadan EKKY uygulanmamalıdır. Yi lerin (veya ui lerin) farklı varyansları s 2 i nin bilinip bilinmemesine göre farklı varyansı kaldıran iki yol vardır: q nin BİLİNMESİ HALİ q nin BİLİNMEMESİ HALİ

q nin BİLİNMESİ HALİ • Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY) Y i = b 1 + b 2 Xi + u i

Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY) Ø Sabit terimi yoktur. Ø İki tane bağımsız değişken vardır.

Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

Genelleştirilmiş EKKY(GEKKY)

EKKY ve GEKKY Arasındaki Fark EKKY min GEKKY min

q nin BİLİNMEMESİ HALİ 1. HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER 2. HAL:

q 3. HAL: nin BİLİNMEMESİ HALİ

q nin BİLİNMEMESİ HALİ 4. HAL: bölünür

q 5. HAL: nin BİLİNMEMESİ HALİ

UYGULAMA: 32 ailenin yıllık gıda harcamaları (Y) ve aylık ortalama gelirleri (X) aşağıda verilmiştir. Aile Sayısı 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Y 2. 2 3 4. 1 3. 5 4. 2 6. 3 4. 6 8. 8 7. 3 4. 4 6. 7 3. 5 6. 8 7. 2 3. 1 2. 4 X 2. 8 3. 5 13. 5 8. 2 5. 9 15. 3 9. 7 26. 4 18. 2 6. 7 11. 3 4. 7 26. 3 22. 3 6. 1 3. 2 u Aile Sayısı -0. 75464 17 -0. 1301 18 -1. 53666 19 -0. 80818 20 0. 46833 21 0. 21216 22 -0. 08417 23 -0. 07012 24 0. 48526 25 0. 4678 26 1. 61478 27 0. 06911 28 -2. 04505 29 -0. 64243 30 -0. 68181 31 -0. 6549 32 Y 1. 5 5. 8 8. 2 4. 3 9. 4 5. 1 2. 4 8. 1 4. 9 3 4. 6 1. 9 2. 6 3. 9 7 11. 2 X 2 7. 2 18. 1 6. 2 16. 1 25. 2 8. 2 13. 4 5. 6 4. 2 8. 8 3. 5 12. 4 4. 3 12. 9 26. 5 u -1. 25412 1. 74247 1. 41032 0. 49313 3. 11164 -3. 46933 -1. 90818 2. 48841 1. 24352 -0. 30556 0. 14142 -1. 2301 -2. 76094 0. 56938 1. 51373 2. 30482 56

1. HAL: LOGARİTMİK DÖNÜŞÜMLER 1. Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 2. Aşama 3. Aşama 4. Aşama a = 0. 05 s. d. =2 -1=1 c 2 tab=3. 84146 LM= n. Ry 2 = 32(0. 0178) = 0. 5696 LM < c 2 tab H 0 hipotezi reddedilemez.

2. HAL: 1. Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 2. Aşama 3. Aşama 4. Aşama a = 0. 05 s. d. =2 -1=1 c 2 tab=3. 84146 LM= n. Ry 2 = 32(0. 0509) = 1. 6288 LM < c 2 tab H 0 hipotezi reddedilemez.

3. HAL: 1. Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 2. Aşama 3. Aşama 4. Aşama a = 0. 05 s. d. =2 -1=1 c 2 tab=3. 84146 LM= n. Ry 2 = 32(0. 2365) = 7. 568 LM > c 2 tab H 0 hipotezi reddedilebilir.

5. HAL: 1. Aşama H 0 : b = 0 H 1 : b 0 2. Aşama 3. Aşama 4. Aşama a = 0. 05 s. d. =2 -1=1 c 2 tab=3. 84146 LM= n. Ry 2 = 32(0. 0290) = 0. 928 LM < c 2 tab H 0 hipotezi reddedilemez.