Szmtgpes grafika s kpfeldolgozs III elads Fouriermdszerek a

Számítógépes grafika és képfeldolgozás III előadás: Fourier-módszerek a képfeldolgozásban Jegyzet: Székely Vladimír: Képfeldolgozás 6. fejezet

A mai előadás tartalma • Fourier sorfejtés 2 D-ben – 1 D összefoglaló – 2 változós fv Fourier-sora – Fourier-összetevők értelmezése • A diszkrét Fourier-transzformáció – DFT 1 D-ben – DFT 2 D-ben – DFT képek jellegzetességei • Műveletek Fourier-tartományban – textúra analízis – szűrés – képjavítás/élkiemelés – inverz szűrés – 3 D objektum vetületekből

A Fourier-sorfejtés

1 D eset L hosszúsággal periódikus függvényt ad Fourier-együtthatók: ha f(x) valós Ez a periodicitás nem gond, mert minket a függvény csak a [0, L] intervallumban érdekel.

2 D függvény Fourier-sora A függvény: f(x, y) Sorfejtés x irányban – ekkor az y-tól függő Fourier-együtthatók: Cm(y) sorfejtése:

2 D függvény Fourier-sora Együttesen: Ekvivalens átalakítások után: Cmn – az f(x, y) függvény 2 D Fourier-együtthatói.

2 D függvény Fourier-sora ha f(x, y) valós Bebizonyítható, hogy az f(x, y) függvény ezen együtthatók alapján visszaállítható az alábbi módon: y x- és y-irányú periodicitás Ly f(x, y) Lx x

A 2 D Fourier-együtthatók értelmezése komplex harmónikusok mert cos(x) = (exp(jx)+exp(-jx))/2 sin(x) = (exp(jx)-exp(-jx))/2 j

A 2 D Fourier-együtthatók értelmezése az f(x, y) függvény átlagértéke – valós térharmónikusok: cos-hullámok Cmn valós része egy cos-hullám, képzetes része egy sin-hullám amplitudója

Térharmónikusok

A 2 D Fourier-együtthatók értelmezése Cmn valós része egy cos-hullám, képzetes része egy sin-hullám amplitudója térharmónikusok: hullámhossz: térfrekvencia: m=6 m=3 n=4 n=2

Térharmónikusok

Térharmónikusok

Térharmónikusok

DFT

A diszkrét Fourier-transzformáció

A diszkrét Fourier-transzformáció • Fourier-együtthatók számítására vonatkozó közelítés f(xk) = Fk mintavételezett függvényre (mintavételi tv. !) • Új transzformáció Fk Dn – az Fk minták diszkrét Fourier-transzformáltja

A diszkrét Fourier-transzformáció • Fk minták: N db valós szám • Dn értékek: – periodicitás N szerint: – valós – azaz – valós (mert önmaga konjugáltja kell legyen) • Az Fk mintasorozat (N db valós szám) diszkrét Fouriertranszformáltját egyértelmüen megadja a Dn értéksor fele: A 0. és az N/2 -edik valós, a többi komplex: N db adat.

A diszkrét Fourier-transzformáció • Az Fk mintasorozat (N db valós szám) diszkrét Fourier-transzformáltját egyértelmüen megadja a Dn értéksor fele. • Az eddigiek alapján Fk kapcsolata a harmónikus összetevöivel: • Ha az Fk értéksort f(x) mintavételezésével kaptuk, akkor:

DFT 2 D-ben • Transzformáljuk a 2 D mátrix formájában adott mintákat: • A DFT együtthatók is egy mátrixot alkotnak: • Visszatranszformálás:

DFT 2 D-ben • Mind a Dmn transzformált, mind az Frs visszatranszformált értéksor N-nel periódikus: • Valós függvény transzformáltjára igaz: Mint folytonos esetben: y Ly f(x, y) Lx x

Képek DFT-je • A ciklikusság miatt a négy sarokban vannak a 0 térfrekvenciához tartozó elmek 0 térfrekvenica: a kép "DC értéke" == átlgafényesség • Középen az fmax-hoz tartozó pont • Origóra szimmetrikusan:

Képek DFT-je

DFT képek jellegzetességei Valós kép. . . fmax . . . és DFT-je fmax f=0 fmax A DFT kép alapján általában nehéz következtetést levonni az eredeti képre vonatkozólag. Komplex kép kellene legyen. Ez csak az amplitudó infomáció, a fázist nem ábrázoltuk. Zérus közeliek a nagy térfrekvenciás tagok, tehát a valós kép "lágy", nincsenek benne erős élek. Nagy nagyságrendi átfogás miatt logaritmikus az ábrázolás.

DFT képek jellegzetességei Valós kép. . . Integrált áramkör elektronmikroszkópi képe. a DFT kép 180 o-os forgatási szimmetria DFT képen! Periodicitás a DFT képben: ismétlődő elemek a valós képben Világos foltok a nagy térfrekvenciáknál: határozott élek a valós képben

DFT képek jellegzetességei Valós kép. . . Szabályos kép, valóban résfüggvény jellegű kép 1 D emlékeztető: a DFT kép Határozott periódikusság: szabályos minta a valós képben Nagy amplitudók a nagy térfrekvenciákon: határozott élek a valós képben sin(x)/x jellegű DFT: résfüggvény jellegű valós kép

DFT képek – kioltási vonalak Sötét négyszögrács a DFT képen: a vonalaknak megfelelő térfrekvenciákon 0 érték 6 0 -t kapunk, ha Kx egész számú többszöröse valamelyik térharmónikus hullámhosszának Az alapharmónikus hullámhossza az Nx képméret. A kioltás feltétele: 9 Az m-edik felharmónikus hullámhossza: Nx/m A kioltott frekvenciák indexe: A kioltási vonalak távolsága: m = Nx/Kx Tehát a kioltási vonalak a képet Kx részre osztják Kx pixel 6 px 9 px Nx pixel

Műveletek a Fourier-térben: textúra analízis szűrés képjavítás/élkiemelés inverz szűrés alakfelismerés 3 D objektum vetületekből

Textúra analízis DFT -vel

Textúra analízis Pirolitikus grafit kristály, STM felvétel. Hexagonális kristályrács A kristályfelület atomi szerkezete látható.

Textúra analízis Notre Dame, Párizs. Gótikus homlokzat – jellegzetes elemekkel Jellegzetes elemek (vonalak) a DFT képen is megjelennek, a valós képen látható elemre merőleges vonalként, hasonló periodicitással

Textúra analízis Ujjlenyomat (küszöbölés után). Irány információ nem olvasható ki, hiszen az eredeti képen sincs jellemző irányultság. Nagyobb térharmónikus arány az alapharmónikustól (középpont) kb. 26 pixelnyi távolságra: Az ujjlenyomat barázdák átlagos térharmónikusa az alapharmónikusnak kb. 26 -szorosa, irányuk nem jellemző.

Textúra analízis teljesítményspektrum • A "teljesítményt" így definiáljuk: • A Pnm értékekből folytonos P(n, m) függvény interpolációval • Átszámítás polár koordinátákra: P(f, γ) γ • A következő integrálokat számoljuk: 1/f

Textúra analízis teljesítményspektrum Domináns térfrekvenciák domináns irányok

Szűrés, képjavítás

Szűrés a frekvenciatartományban Kép Szűrőkarakterisztikák: Egyszerű töréspontos aluláteresztő: Butterworth-szűrő: Fouriertranszformáció Szűrt kép DFT kép Inverz Fouriertranszformáció Szűrés: egyes térfrekvenciás komponensek módosítása Szűrt DFT kép

Szűrés a frekvenciatartományban • Bármely lineáris szűrési művelet megvalósítható a frekvenciatartományban: helyett • Konvolúció helyett szorzás a frekvenciatartományban • Megjegyzések: – a transzformált értékek komplexek, ezért itt komplex szorzásról van szó – a transzformáció periódikus eredményt ad, ezért ez a konvolúció ún. ciklikus konvolúció. A DFT térben való szorzás pontos megfelelője az alábbi:

Szűrés a frekvenciatartományban Nagy térfrekvenciájú komponensek kiszűrése Zajtalanabb, lágyabb kép Csökken az élesség 16 fa 8 fa fa – az alapharmónikus térfrekvenciája

Szűrés a frekvenciatartományban Kis térfrekvenciájú komponensek kiszűrése Lassú változások törlése: mindenütt egyen-szürke Az élesség (nagy térfrekvenciás rész) megmarad Minél erősebb a vágás, annál szürkébb lesz a kép 4 fa 10 fa fa – az alapharmónikus térfrekvenciája

Szűrés a frekvenciatartományban Képjavítás: nagy térfrekvenciák kiemelése Az erős átmenetek hangsúlyosabbak lesznek, de a zaj is nő. Hasonló a hatása a Laplace-oprátoréhoz. Még azonos is lehet vele.

Inverz szűrés

Inverz szűrés • Adott egy T torzított kép • Ismert a csatorna torzításának S operátora (a csatorna szóródási függvénye vagy súlyfüggvénye) Ekkor: ahol E a torzítatlan kép • Az eredeti E torzítatlan képet dekonvolícióval allíthatjuk helyre: ahol a dekonvolúció jele • Dekonvolúció helyett osztás a frekvenciatartományban majd vissza transzformáljuk E-t

Képhelyreállítás inverz szűréssel T torzított kép Csatorna S szóródási függvénye Fouriertranszformáció Helyreállított kép Inverz Fouriertranszformáció

Képhelyreállítás inverz szűréssel Kísérlet – előkészítés Lineáris szűrő eredeti kép torzított kép Lineáris szűrő 1 fénylő pötty (Dirac- ) szóródási függvény

Képhelyreállítás inverz szűréssel Kísérlet – helyreállítás A nagy térfrekvenciás részletek, ha nem vesztek el teljesen, az inverz szűrőkarakterisztikával visszanyerhetők. torzított kép inverz szűrés Zajos helyreállított kép Zajmentes eredeti kép szóródási függvény helyreállított kép A nagy térfrekvenciás részletek kiemelése szükségképpen erősíti a zajt is. Ez látszik is a helyreállított képen.

Képhelyreállítás inverz szűréssel Megjegyzések • Ami információ nincs benne a képben, azt az inverz szűrés sem tudja pótolni. • Kioltási vonalak: – Lehet, hogy a súlyfüggvényben, amivel osztanunk kell, sok 0 közeli érték lesz. – Ennek zajkiemelő hatása van, a kép élvezhetetlenné válhat. – Korlátozni kell az inverz szűréssel megvalósuló térharmónikus-kiemelés mértékét. • A teljes képnek rendelkezésre kell állnia: lásd a szűrés miatt alkalmazott fekete keretet a kísérleti képben.

Képhelyreállítás inverz szűréssel Megjegyzések • Körbecsavarodás (wrap-around): Ha a súlyfüggvény nem a sarkon elhelyezkedő 1 pixel képe, akkor a helyreállítás eredménye egy felvágott és körbecsavarodott kép lesz: • Nemlinearitások: Fotók (papír képek) és TV kamerák gradációs függvénye – a szűrőkarakterisztika korrigálandó velük az inverz szűrés előtt.

Képhelyreállítás inverz szűréssel Példa Életlenre állított kamerával felvett kép Valami szöveg, de teljesen olvashatatlan Életlenre állított kamerával felvett folt A helyreállított kép és annak DFT-je: és a jó eredeti kép:

Képhelyreállítás inverz szűréssel Példa Háromszor exponált kép A háromszoros expozíció szóródási függvénye és annak DFT-je: A helyreállított kép

Alakfelismerés

Alakfelismerés • Az alábbi, képként adott szövegrészletben szeretnénk az e betűket megtalálni: – olyan képhez szeretnénk jutni, ahol minden e betű helyén egy pont van, egyebütt üres a kép, – ennek a képnek a jele legyen EPOZ, – az egyetlen e betű képe pedig E. • Ekkor a SZOVEG, mint kép így adható meg: ahol TOBBI a kép többi, e betűktől különböző része. • Az E-vel dekonvolváljuk a SZOVEG-et:

Alakfelismerés • Az E-vel dekonvolváljuk a SZOVEG-et: Megjelenik a keresett kép Valóban az e betűk pozícióit találtuk meg! Ha a többi betű nem hasonlít az e-re, ez jól levágható háttérzaj

További alkalmazások

További alkalmazások • CT képek készítése – Rtg felvételek sorozata készül, különböző szögekből, – mindegyik felvétel 1 -1 vetületi képet ad, – ezekből kell a térbeli képet előállítani. – Egy vetületből a térbeli kép Fourier-együtthatóinak egy része előállítható. – A testet körüljárva sok vetület készül, a Fourieregyütthatókból számolják vissza a test egy keresztmetszetének a képét. – A számítógép által generált képeket rtg-filmen rögzítik. E képsorozatot használják az orvosok.

CT kiértékelés