GRAFIKA TREDIMENZIONALE 3 D Ky kapitull sht i

GRAFIKA TREDIMENZIONALE (3 D) Ky kapitull është i bazuar në ligjëratat e Prof. Dr. M argita Kon-Popovska 2/21/2021 Grafika kompjuterike 1

Pika © Pika në hapsirën tredimenzionale e dhënmë në sistemin koordinativ (reprezentimi fizik) me x=(x, y, z), në shënimin homogjen merr formën x=(wx, wy, wz, w) ku ë është numër real w 0. Shënimi në koordinata homogjene nuk është i vetëm. © Në të kundërtën reprezentimi fizik në mënyrë të vetme përcakton pikën në reprezentimin fizik 2/21/2021 Grafika kompjuterike 2

Rafshi © Rafshi në hapsirën tredimenzionale në mënyrë analitike është dhënë me barazimin ax+by+cz+d=0 ose wax+wby+wzc+wd=0, w 0. © Shënimi përkatës homogjen i barazimit është: 2/21/2021 Grafika kompjuterike 3

ku vektori plotsisht e përcakton rafshin. Barazimi paraprak paraqet kushtin që pika x të shtrihet në rafshin (prodhimi skalar x është 0). Shprehja “=“ është në kuptim të shënimit homogjen. 2/21/2021 Grafika kompjuterike 4

Elementet e gjeometrise analitike në koordinata homogjene © Le të jenë x, y, v, . . . , x=(wx, wy, wz, w) pika, © kurse , , , . . , rafshe me shënim homogjen. 2/21/2021 Grafika kompjuterike 5

© Pikat x 1 dhe x 2 shtrihen në anë të kundërta të rafshit nëse plotsohen kushtet x 1 >0 dhe x 2 <0. © Largesa e pikës x deri te rafshi përcaktohet me 2/21/2021 Grafika kompjuterike 6

2/21/2021 Grafika kompjuterike 7

2/21/2021 Grafika kompjuterike 8

Drejtëza 2/21/2021 Grafika kompjuterike 9

2/21/2021 Grafika kompjuterike 10

2/21/2021 Grafika kompjuterike 11

Shembull 2/21/2021 Grafika kompjuterike 12

Rafshi i dhënë në formë parametrike: 2/21/2021 Grafika kompjuterike 13

2/21/2021 Grafika kompjuterike 14

2/21/2021 Grafika kompjuterike 15

Grupi i zhvendosjeve te translacionit (translation) © x’ = x + A E shënuar në formën algjebrike x’=x + tx y’=y + ty z’=z + tz ose në formën vektoriale. x’=x+t 2/21/2021 Grafika kompjuterike 16

© Parametrat që e përcaktojnë grupën janë: A (tx, ty, tz) dhe kanë domethënie të zhvendosjes në drejtime të boshteve x, y dhe z. © Elementi identik definohet me I=(0, 0, 0), © Kurse funksioni F me C F(A, B) = A+B. © Bashkësia e të gjithë translacioneve në hapsirën 3 D paraqet grup (Lieva) treparametrike. 2/21/2021 Grafika kompjuterike 17

Grupi i transformimeve të dilatacionit (dilatation) © x’ = Ax E shënuar në formë algjebrike x’= x y’= y z’= z Ose në formë vektoriale. x’= x 2/21/2021 Grafika kompjuterike 18

© Patrametri i cili e përcakton grupën është: A ( ) dhe ka domethënie të zvoglimit (zmadhimit) të objekteve 3 D njëlloj në të gjitha drejtimet. © Elementi njësi definohet me I=(1), © Kurse funksioni F me C F(A, B) = AB (gjegjësisht = ). © Bashkësia e të gjithë shkallëve në 3 D paraqet grup (Liev-it) njëparametrike të pandërprerë. 2/21/2021 Grafika kompjuterike 19

Grupa e transformimeve të shkallëzimit (scaling) © 2/21/2021 Grafika kompjuterike 20

© Parametri i cili e përcakton grupën është A ( )=( , , ), ka domethënien e zvoglimit (zmadhimit) të objekteve 3 D për vlera të ndryshme në të tre boshtet. © Elementi njësi definohet me I=(1, 1, 1), © Kurse funksioni C F(A, B) me këtë rregull “= ‘ ku A=( , , ), B=( ‘, ‘, ‘) dhe C=( “, “, “). Bashkësia e të gjithë transformimeve të shkallëzimit në hapsirën 3 D paraqet grup (Liev -it) treparametrike të pandërprerë. 2/21/2021 Grafika kompjuterike 21

Grupi i transformimeve të tërheqjes (zgjatjes) (stretch) © Në formë vektoriale shënohet x’=x+( -1) xu u ku xu është komponentë e vektorit x në drejtim të vektorit njësi u, resp. xu =xu Parametri i transformimit është A= ( ), elementi njësi është =1, kurse Transformi inverz fitohet me parametrin =1/. 2/21/2021 Grafika kompjuterike 22

Grupi i transformimeve (shear) © Në formë vektoriale shënohet x’=x+(ax)u ku u është vektor njësi konstant, kurse a është parametër grupor për të cilin vlen ua=0. 2/21/2021 Grafika kompjuterike 23

Grupi i transformimeve të rrotacionit (rotation) © I shënuar në formë vektoriale x= xuu+cos( )(x- xuu)+sin( )u x ku u është vektor njësi konstant rreth të cilit bëhet rrotullimi për kënd - si parametër i transformimit. elementi njësi definohet me I=( )=0, transformimi inverz I transformacionit me parametër është transformimi me parameter -. Funkcioni C F(A, B) përcaktohet me këtë rregull: “=( + ‘)mod 2 2/21/2021 Grafika kompjuterike 24

x= xuu+cos( )(x- xuu)+sin( )u x 2/21/2021 Grafika kompjuterike 25

Sejcila nga grupet e përmendura paraqet grup të Abelit (gjegj. është komutativ), Por transformimet e një grupi mund të mos jenë komutative me transformimet e grupit tjetër. 2/21/2021 Grafika kompjuterike 26

Formulimi matricor Të gjith transformimet e përmendura janë transformime lineare në hapsirën 3 D. Formulimi më i përshtatshëm për realizimin programor të transformimeve lineare në 4 D, nëngrupet e të cilit në fakt paraqesin transformimet e përmendura. Duke e shfrytëzuar shënimin e koordinatave homogjene për koordinatat në 4 D X=(x, y, z, 1), X’=(x’, y’, z’, 1) , w=1 2/21/2021 Grafika kompjuterike 27

Transformimet gjegjëse mund të shënohen në formë matricore x’ = x. A ku A është matricë e formës 4 x 4 2/21/2021 Grafika kompjuterike 28

2/21/2021 Grafika kompjuterike 29

2/21/2021 Grafika kompjuterike 30

Paraqitja e objekteve 3 D © Procesi i paraqitjes së 3 D objekteve është më kompleks në krahasim me procesin e paraqitjes së objekteve në 2 D, për shkak të dimenzionit të “shtuar", si dhe faktit që njësitë dalëse grafike janë dydimenzionale. Gjatë kësaj paraqitje nevoitet definim i disa pasqyrimeve nga hapsira e skenës 3 D në koordinata të njësisë grafike 2 D (projekcion) dhe mënjanimin e pjesëve të padukshme të objekteve, të mbuluara nga vëllimi i tyre, nga objekte tjera ose si pasojë e vëllimit (prerje në 3 D). 2/21/2021 Grafika kompjuterike 31

PYETJE? ? ? 2/21/2021 Grafika kompjuterike 32