SEJARAH DAN KEGUNAAN RISET OPERASI l Riset Operasi

SEJARAH DAN KEGUNAAN RISET OPERASI l. Riset Operasi (operation research) dimulai dikalangan militer dalam permulaan Perang Dunia Kedua. l. Mengalokasikan sumber-sumber atau input yang terbatas guna melayani berbagai operasi militer dan kegiatan di dalam setiap operasi secara efisien dan efektif. 1

§ Tujuan untuk menerapkan pendekatan ilmiah guna memecahkan permasalahan atau persoalan di atas ditambah lagi dengan permasalahan strategi dan taktis militer. § RO mula-mula berkembang di Inggris dalam bidang militer, industri, bisnis dan pemerintahan sipil, kemudian berkembang dengan cepat sekali di Amerika Serikat, sejak 1951. Sekarang perkembangannya sudah meluas menjangkau negara berkembang seperti Indonesia. 2

BEBERAPA DEFINISI 1. Operations research may be described as a scientific approach to decision making that involves the operations of organizational systems. (Dari buku Operation Research, karangan Frederick S. Hillier dan Gerald J. Lieberman). 2. Operations research is the application of scientific method to the decision problems of business and other units of social organization, including government and military organizations. (Dari buku Fundamentals of Operations Research for Management, karangan Shiv K. Gupta dan John M. Cozzolino). 3. Operations Research today refers to the application of scientific methodology of several different disciplines to problems related to the functioning or operating of some unit-business, governmental, or institutional. (Dari buku Quantitative Approaches to Management, karangan Richard I. Levin dan Charles A. Kirkpatrick). 3

lebih lanjut tentang definisi n Riset Operasi mencakup dua kata yaitu riset yang harus menggunakan metode ilmiah dan operasi yang berhubungan dengan proses atau berlangsungnya suatu kegiatan (proses produksi, proses pengiriman barang / militer / senjata, proses pemberian pelayanan melalui suatu antrian yang panjang). 4

n Riset yang dilakukan terhadap suatu proses / operasi atau berlangsungnya suatu kegiatan yang dilakukan oleh unit organisasi n Definisi lain adalah : Riset Operasi adalah aplikasi metode ilmiah terhadap permasalahan yang kompleks dalam mengarahkan dan mengendalikan sistem yang luas mengenai kehidupan manusia, mesin-mesin, material dan uang dalam industri, bisnis, pemerintahan dan 5

Pemecahan persoalan RO harus melalui suatu tim yang anggotanya memiliki latar belakang bidang pengetahuan yang berbeda. Pendekatan harus ilmiah berdasarkan model matematika berarti prosedur yang ditempuh langkah-langkah jelas secara sistematis dan hasilnya dapat diandalkan sehingga berguna bagi pembuat keputusan. 6

TAHAPAN-TAHAPAN DALAM RISET OPERASI 1. Merumuskan atau menganalisis persoalan sehingga jelas tujuan apa yang akan dicapai (objectives) 2. Pembentukan model matematika untuk mencerminkan persoalan yang akan dipecahkan. Biasanya model dinyatakan dalam bentuk persamaan yang menggambarkan hubungan antara input dan output serta tujuan yang akan dicapai dalam bentuk fungsi objektif (objective function). 3. Mencari pemecahan dari model yang telah dibuat dalam tahap sebelumnya, misalnya dengan menggunakan metode simpleks. 4. Menguji model dan hasil pemecahan dari penggunaan model. Sering juga disebut melakukan validasi. 7

PENJELASAN TAHAPAN METHODE Tahap pertama, harus merumuskan atau 1. Tahap pertama, harus merumuskan atau mendefinisikan persoalan yang akan dipecahkan sesuai dengan tujuan yang akan dicapai berdasarkan keadaan objektif. Biasanya harus memperhatikan tiga hal yaitu : Pertama, uraian yang tepat mengenai tujuan yang akan dicapai, kedua, identifikasi daripada adanya alternatif dalam keputusan yang menyangkut suatu sistem, ketiga, mengenali adanya pembatasan-pembatasan (limitation, restriction dan juga persyaratan-persyaratan yang diperlukan sistem yang bersangkutan dengan pemecahan persoalan). 8

2. Tahap kedua, berkenaan dengan pembentukan model secara matematis, misalnya dengan menggunakan persamaan dan ketidaksamaan linear seperti di dalam linear programming. Model harus dibuat sedemikian rupa sehingga dapat mewakili kenyataan yang sebenarnya 3. Tahap ketiga, berkenaan dengan pemecahan model, yang biasanya memecahkan persamaan / ketidaksamaan matematika. Di dalam model matematika, pemecahan ini dicapai dengan teknik optimisasi dan model menghasilkan suatu pemecahan optimum. 9

n n (4) Tahap keempat, melakukan pengujian atau melakukan validasi dari model. Suatu model dikatakan sah (valid), apabila dapat memberikan prediksi yang dapat dipercaya dari hasil proses suatu sistem, disamping diakui adanya ketidaktepatan dari model tersebut untuk mewakili keadaan yang sebenarnya terjadi (real world) (5) Tahap kelima, merupakan tahap terakhir, ialah tahap untuk implementasi hasil pemecahan model yang telah diuji validitasnya. Tugas melakukan implementasi ini merupakan tugas peneliti operasi (operation researchers). 10

JENIS PERSOALAN YANG TELAH DIPECAHKAN DENGAN MENGGUNAKAN TEKNIK-TEKNIK DALAM RO • • Linear Programming, Dynamic Programming, Teori Antrian, Teori Inventori, Teori Permainan (Game Theory), Simulasi, • Net Work Planning. 11

CONTOH – CONTOH PERMASALAHAN DALAM RO n n n n n Persoalan Biaya Pemasaran Berbagai Produk Perencanaan Produksi Persoalan atau Masalah Pencampuran Persoalan Transportasi Persoalan Antrian dan Inventori Persoalan Net Work Planning atau PERT Alokasi Sumber Daya Air Operasi Waduk Perencanaan Alokasi Lahan DLL 12

PROGRAM LINEAR Program linear adalah satu model matematika yang digunakan untuk menyelesaikan masalah optimisasi, yaitu memaksimumkan atau meminimumkan fungsi tujuan yang bergantung pada sejumlah variabel input dengan memperhatikan berbagai keterbatasan (kendala) dalam sumber daya. Hal terpenting yang perlu kita lakukan adalah mencari tahu tujuan penyelesaian masalah dan apa penyebab masalah tersebut. 13

Dua macam fungsi Program Linear: l Fungsi tujuan : mengarahkan analisa pada pencapaian tujuan permasalahan yang di analisa l Fungsi kendala : Memberikan batasan akan penggunaan sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut. l Fungsi Tujuan dan Fungsi Kendala harus disajikan ke dalam Persamaan Linier. 14

Karakteristik Persoalan LP: ± Ada tujuan yang ingin dicapai (Fungsi Tujuan) Harus Fungsi Linier ± Tersedia beberapa alternatif untuk mencapai tujuan ± Sumberdaya dalam keadaan terbatas (Fungsi Kendala) Harus Fungsi Linier ± Dapat dirumuskan dalam bentuk matematika (persamaan/ketidaksamaan) Contoh pernyataan ketidaksamaan (kualitatif) : Untuk menghasilkan sejumlah meja dan kursi secara optimal, total biaya yang dikeluarkan tidak boleh lebih dari dana yang tersedia. Pernyataan bersifat normatif http: //rosihan. web. id

CONTOH Metode penyelesaian masalah: ü Grafis (2 variabel) ü Matematis (Simplex method) Contoh Persoalan: 1 (Perusahaan Air Minum) Suatu perusahaan menghasilkan dua produk, Air Bersih dan AMDK yang diproses melalui dua bagian fungsi: Penjernihan (IPAL) dan Pemurnian. Pada bagian Penjernihan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian Pemurnian hanya 48 jam kerja. Utk menghasilkan 1 unit Air Bersih diperlukan 4 jam kerja Penjernihan dan 2 jam kerja Pemurnian, sedangkan utk menghasilkan 1 unit AMDK diperlukan 2 jam kerja Penjernihan dan 4 jam kerja Pemurnian, Laba utk setiap unit Air Bersih dan AMDK yang dihasilkan masing 2 Rp. 80. 000 dan Rp. 60. 000, Berapa jumlah Air Bersih dan AMDK yang optimal dihasilkan? http: //rosihan. web. id

Perumusan persoalan dlm bentuk tabel: Waktu yang dibutuhkan per unit Proses Total jam tersedia Air Bersih/Air Minum (M) AMDK (K) Penjernihan 4 2 60 Pemurnian 2 4 48 80. 000 60. 000 Laba/unit Perumusan persoalan dlm bentuk matematika: Maks. : Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp. 10. 000) Dengan kendala: 4 M + 2 K 60 2 M + 4 K 48 M 0 K 0 http: //rosihan. web. id

Langkah-langkah dalam Perumusan Model LP 1. Definisikan Variabel Keputusan (Decision Variable) R Variabel yang nilainya akan dicari 2. Rumuskan Fungsi Tujuan: R Maksimisasi atau Minimisasi R Tentukan koefisien dari variabel keputusan 3. Rumuskan Fungsi Kendala Sumberdaya: R Tentukan kebutuhan sumberdaya utk masing -masing peubah keputusan. R Tentukan jumlah ketersediaan sumberdaya sbg pembatas. 4. Tetapkan kendala non-negatif R Setiap keputusan (kuantitatif) yang diambil tidak boleh mempunyai nilai negatif. http: //rosihan. web. id

Perumusan persoalan dalam model LP. R Definisi variabel keputusan: Keputusan yg akan diambil adlh berapakah jlh Air Bersih (M) dan AMDK (K) yg akan dihasilkan. Jika Air Bersih/Air Minum disimbolkan dgn M dan AMDK dgn K, mk definisi variabel keputusan: M = jumlah Air Bersih/Air Minum yg akan dihasilkan (dlm satuan unit) K = jumlah AMDK yg akan dihasilkan (dlm satuan unit) R Perumusan fungsi tujuan: Laba utk setiap Air Bersih dan AMDK yg dihasilkan masing 2 Rp. 80. 000 dan Rp. 60. 000. Tujuan perusahaan adlh utk memaksimumkan laba dari sejumlah produksi Air Bersih dan AMDK yg dihasilkan. Dengan demikian, fungsi tujuan dpt ditulis: Maks. : Laba = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp. 10. 000) http: //rosihan. web. id

R Perumusan Fungsi Kendala: ð Kendala pada proses Penjernihan : Utk menghasilkan 1 unit Air Bersih diperlukan waktu 4 jam dan utk menghasilkan 1 unit AMDK diperlukan waktu 2 jam. Waktu yg tersedia adalah 60 jam. 4 M + 2 K 60 ð Kendala pada proses Pemurnian : Utk menghasilkan 1 unit Air Bersih diperlukan waktu 2 jam dan utk menghasilkan 1 unit AMDK diperlukan waktu 4 jam. Waktu yang tersedia adalah 48 jam. 2 M + 4 K 48 R Kendala non-negatif: Jumlah Air Bersih dan AMDK yg dihasilkan tdk memiliki nilai negatif. M 0 http: //rosihan. web. id K 0

Penyelesaian secara grafik: (Hanya dapat dilakukan untuk model dg 2 decision variables) Gambarkan masing-masing fungsi kendala pada grafik yang sama. K Laba = 8 M + 6 K 34 Pada A: M = 0, K = 12 Laba = 6 (12) = 72 32 28 24 4 M + 2 K 60 Pada B: M = 12, K = 6 Laba = 8(12) + 6(6) = 132 M=0 K=30 K=0 M=15 20 16 12 A(0, 12) 8 4 O Pada C: M = 15, K = 0 Laba = 8 (15) = 120 Feasible Region M=0 K=12 K=0 M=24 B(12, 6) 2 M + 4 K 48 C(15, 0) 4 8 12 16 20 24 28 32 34 Keputusan: M = 12 dan K = 6 Laba yg diperoleh = 1. 320. 000 M http: //rosihan. web. id

Beberapa Istilah penting dalam persoalan LP v Extreem points (Pivot Points) : Titik-titik sudut daerah kelayakan (feasbile region) v Feasible Region : Daerah dimana setiap Titik di dalamnya memenuhi semua kendala, sehingga merupakan calon solusi v Infeasible Solution: Tidak ada solusi karena tdk semua kendala terpenuhi. v Unbounded Solution: Solusi yang disebabkan karena fungsi tujuan dibuat tanpa batas dan tdk melanggar funggsi kendala. v Redundancy: Redundancy terjadi karena adanya kendala yg tdk mempengaruhi daerah kelayakan. v Alternative optima: Solusi yang tdk memberikan nilai yang unik, terjadi bila garis http: //rosihan. web. id fungsi tujuan berimpit dgn garis salah satu kendala.

Penyelesaian Persoalan LP Secara Matematis (Metode Simpleks) Metode Simpleks adalah suatu metode yg secara matematis dimulai dr suatu titik penyelesaian dasar yg feasibel (basic feasible solution) ke titik penyelesaian dasar feasibel lainnya yang mempunyai Fungsi Objective lebih baik dan proses ini dilakukan secara berulang-ulang (iteratif) sehingga akhirnya diperoleh suatu penyelesaian dasar yang optimum (maksimum atau minimun). v Langkah 1: Ubah model LP kedalam bentuk kanoniknya, Yaitu semua fungsi kendala (Constraint) menjadi Persamaan, dg cara menambahkan slack variabel (S) ² Setiap fungsi kendala mempunyai 1 (satu) slack variabel. jumlah slack variable = jumlah fungsi kendala ² Nilai sebelah kanan (Right-Hand Side/ RHS) semua kendala tidak boleh negatif. http: //rosihan. web. id

Contoh Persoalan: 1 (Perusahaan Air Minum) Suatu perusahaan menghasilkan dua produk, Air Bersih dan AMDK yang diproses melalui dua bagian fungsi: Penjernihan (IPAL) dan Pemurnian. Pada bagian Penjernihan tersedia 60 jam kerja, sedangkan pada bagian Pemurnian hanya 48 jam kerja. Utk menghasilkan 1 unit Air Bersih diperlukan 4 jam kerja Penjernihan dan 2 jam kerja Pemurnian, sedangkan utk menghasilkan 1 unit AMDK diperlukan 2 jam kerja Penjernihan dan 4 jam kerja Pemurnian, Laba utk setiap unit Air Bersih dan AMDK yang dihasilkan masing 2 Rp. 80. 000 dan Rp. 60. 000, Berapa jumlah Air Bersih dan AMDK yang optimal dihasilkan? Variabel Keputusan : M = Jumlah Air Bersih/Air Minum yang di produksi K = Jumlah AMDK yang di produksi http: //rosihan. web. id

Perumusan persoalan dlm bentuk tabel: Waktu yang dibutuhkan per unit Proses Total jam tersedia Air Bersih/Air Minum (M) AMDK (K) Penjernihan 4 2 60 Pemurnian 2 4 48 80. 000 60. 000 Laba/unit Perumusan persoalan dlm bentuk matematika: Maks. : Z = 8 M + 6 K (dlm satuan Rp. 10. 000) Dengan kendala: 4 M + 2 K 60 2 M + 4 K 48 M 0 K 0 http: //rosihan. web. id

Langkah Penyelesaian Dengan Metode Simplex v Merubah Per-Tidak Samaan menjadi Persamaan dengan menambahkan Slack Variable (S) 4 M + 2 K + S 1 = 60 atau S 1 = 60 – 4 M – 2 K 2 M + 4 K + S 2 = 48 atau S 2 = 48 – 2 M – 4 K S 1 adalah variabel slack (waktu tak terpakai) dalam Penjernihan S 2 adalah variabel slack (waktu tak terpakai) dalam Pemurnian v Merubah Fungsi Tujuan menjadi : Z - 8 M - 6 K = 0 ² Semua variabel yang tdk mempengaruhi kesamaan ditulis dg koefisien nol. ² Fungsi Tujuan : Z - 8 M - 6 K + 0 S 1 + 0 S 2 = 0 Dg kendala: 4 M + 2 K + S 1 + 0 S 2 = 60 2 M + 4 K + 0 S 1 + S 2 = 48 M 0; K 0 Variabel dibagi menjadi non-basic variables dan basic variables. ¨ Non-basic variables variabel yg tdk keluar sbg solusi pd setiap iterasi, nilainya sama dg nol. http: //rosihan. web. id ¨ basic variables variabel yg keluar sbg solusi pd setiap

v Langkah 2: Membuat tabel simpleks awal Elemen pivot Row BV CV M K S 1 S 2 Rasio R 1 S 1 60 4 2 1 0 60/4 R 2 S 2 48 2 4 0 1 48/2 R 3 Zj 0 -8 -6 0 0 Persamaan pivot v Langkah 3: Penentuan baris dan kolom kunci sebagai dasar iterasi § Kolom kunci ditentukan oleh nilai baris Z negatif terbesar, yaitu pada kolom M § Baris kunci ditentukan dari nilai rasio CV/Kolom kunci terkecil, yaitu baris S 1. v Langkah 4: Iterasi Variabel yang masuk sbg basic variable (BV) adlh M dan variabel yang keluar dari BV adalah S 1. Dalam hal ini, maka koefisien di M diupayakan menjadi 1 (satu)

M masuk sbg BV menggantikan S 1 (baris kedua). Untuk melakukan iterasi, digunakan metode perhitungan Gauss-Jordan sebagai berikut: Persamaan Pivot: Persamaan pivot baru = Persamaan pivot lama : elemen pivot Persamaan lainnya, termasuk Z: Persamaan baru = (Persamaan lama) – (Koef kolom masuk) x (persamaan pivot baru) Hasil iterasi 1: Row BV CV M K S 1 S 2 Rasio R 1’=(R 1)/4 M 15 1 1/2 1/4 0 30 R 2’=R 22. R 1’ S 2 18 0 3 -1/2 1 6 120 0 -2 2 0 R 3’=R 3+8 R 1’ http: //rosihan. web. id

Tabel Awal : Row BV CV M K S 1 S 2 Rasio R 1 S 1 60 4 2 1 0 60/4 R 2 S 2 48 2 4 0 1 48/2 R 3 Zj 0 -8 -6 0 0 Tabel Hasil Iterasi 1: Row BV CV M K S 1 S 2 R 1’=(R 1)/4 M 15 1 1/2 1/4 0 R 2’=R 2 -2. R 1’ S 2 18 0 3 -1/2 1 120 0 -2 2 0 R 3’=R 3+8 R 1’ Rasio http: //rosihan. web. id

Hasil iterasi 1: Row BV CV M K S 1 S 2 Rasio R 1’=(R 1)/4 M 15 1 1/2 1/4 0 30 R 2’=R 2 -2. R 1’ S 2 18 0 3 -1/2 1 6 120 0 -2 2 0 R 3’=R 3+8 R 1’ Hasil iterasi 2: Row BV CV M K S 1 S 2 R 1”=R 1’-0. 5 R 2” M 12 1 0 1/3 -1/6 R 2”=R 2’/3 K 6 0 1 -1/6 1/3 R 3”=R 3’+2 R 2” Z 132 0 0 5/3 2/3 Reduced costs Rasio Dual Prices Karena nilai-nilai pada baris Z sudah non-negatif, berarti iterasi selesai, dan solusi yang diperoleh adalah: M = 12, K = 6 dan Z (laba) = 132. Dari tabel akhir iterasi diatas juga diperoleh informasi mengenai nilai Reduced Costs dan Dual (shadow) prices. Selain itu, dgn sedikit perhitungan juga dapat dilakukan analisis sensitivitas. http: //rosihan. web. id

Reduced Cost Associated with each variable is a reduced cost value. However, the reduced cost value is only nonzero when the optimal value of a variable is zero. A somewhat intuitive way to think about the reduced cost variable is to think of it as indicating how much the cost of the activity represented by the variable must be reduced before any of that activity will be done. More precisely, . . . the reduced cost value indicates how much the objective function coefficient on the corresponding variable must be improved before the value of the variable will be positive in the optimal solution. In the case of a minimization problem, "improved" means "reduced. " So, in the case of a costminimization problem, where the objective function coefficients represent the per-unit cost of the activities represented by the variables, the "reduced cost" coefficients indicate how much each cost coefficient would have to be reduced before the activity represented by the corresponding variable would be cost-effective. In the case of a maximization problem, "improved" means "increased. " In this case, where, for example, the objective function coefficient might represent the net profit per unit of the activity, the reduced cost value indicates how much the profitability of the activity would have to be increased in order for the activity to occur in the optimal solution. The units of the reduced cost values are the same as the units of the corresponding objective function coefficients. If the optimal value of a variable is positive (not zero), then the reduced cost is always zero. If the optimal value of a variable is zero and the reduced cost corresponding to the variable is also zero, then there is at least one other corner that is also in the optimal solution. The value of this variable will be positive at one of the other optimal corners. The dual prices are some of the most interesting values in the solution to a linear program. A dual price is reported for each constraint. The dual price is only positive when a constraint is binding. The dual price gives the improvement in the objective function if the constraint is relaxed by one unit. Dual Prices https: //www. courses. psu. edu/for 466 w_mem 14/Ch 11/HTML/. . . /ch 11 sec 4_Dual. htm

Analisis Sensitifitas $ Suatu analisis yang mempelajari dampak perubahan yang terjadi baik pada parameter (koefisien fungsi tujuan) maupun pada ketersediaan sumberdaya (nilai sebelah kanan), terhadap solusi dan nilai harga bayangan dari sumberdaya. $ Kegunaannya adalah agar pengambil keputusan dapat memberikan respon lebih cepat terhadap perubahan yang terjadi. $ Didasarkan atas informasi pada solusi optimal yang memberikan kisaran nilai-nilai parameter dan nilai sebelah kanan. http: //rosihan. web. id

Contoh Soal 1 (Hal. 59) Pada sebuah perusahaan pengelola air ingin menentukan berapa banyak masing-masing dari tiga produk yang berbeda yang akan dihasilkan dengan tersedianya sumber daya air yang terbatas agar diperoleh keuntungan maksimum. Kebutuhan buruh dan bahan mentah dan sumbangan keuntungan masing-masing produk adalah seperti Tabel 3. 1. Tersedia 240 jam kerja dan bahan mentah sebanyak 400 (juta m 3). Masalahnya adalah menentukan jumlah masing-masing produk agar keuntungan maksimum. Tabel 3‑ 1. Contoh Problem Program Linear Produk Air Bersih Air Minum Listrik Kebutuhan Sumber Daya Buruh Air (juta m 3) (jam/unit) 5 4 2 6 4 3 Keuntungan (Rp/unit) 3 5 2 33

Variabel Keputusan : X 1 = jumlah produk air Bersih X 2 = jumlah produk air Minum X 3 = jumlah produk listrik Fungsi Tujuan : Z = 3 X 1 + 5 X 2 + 2 X 3 Fungsi Kendala : 1) Jumlah Jam Buruh : 5 X 1 + 2 X 2 + 4 X 3 ≤ 240 2) Ketersediaan bahan : 4 X 1 + 6 X 2 + 3 X 3 ≤ 400 3) Non Negativity : X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0, X 3 ≥ 0 Penyelesaiannya dapat dilakukan dengan : 1) metode Simplex 2) Dengan Software Solver (Add In nya Excell), Open Solver, Lingo, Lindo, QSB 34

Penyelesaian dengan Metode Simplex Fungsi Tujuan : Z = 3 X 1 + 5 X 2 + 2 X 3 --- Z - 3 X 1 - 5 X 2 - 2 X 3 + 0 S 1 + 0 S 2 = 0 Fungsi Kendala : 1) Jumlah Jam Buruh : 5 X 1 + 2 X 2 + 4 X 3 +S 1 + 0 S 2 = 240 2) Ketersediaan bahan : 4 X 1 + 6 X 2 + 3 X 3 +0 S 1 + S 2 = 400 3) Non Negativity : X 1 ≥ 0, X 2 ≥ 0, X 3 ≥ 0 35

Penyelesaian dengan Solver 36

Contoh Soal 2 (Hal 63): Seorang petani mengoperasikan tiga lahan pertanian. Setiap lahan dikelola oleh 3 orang anak pada lahan mereka masing 2. Batas tanah, air, dan kebutuhan air yang diberikan pada Tabel 3. 2. Tiga jenis tanaman dapat ditanam pada setiap lahan, namun karena keterbatasan ketersediaan peralatan, dua dari tanaman terbatas dalam total luas yang dapat ditanami. Juga, untuk kesetaraan di antara anak-anak, luas masing-masing lahan pertanian yang dapat ditanam harus sama . Angka-angka laba bersih setelah menghapus perkiraan biaya tanaman diberikan pada Tabel 3. 2. Total air yang tepat untuk semua lahan adalah 1. 000 m 3. Laha n A B C Areal (Ha) Tanaman Keb. Air (m) Batasan Alat (Ha) 40 50 70 1. Gandum (Wheat) 2. Jagung 3. kacang (beans) 0. 5 0. 7 1. 0 Tanpa Batas 80 50 Keuntung an (Ribu $/Ha) 0. 2 0. 4 0. 5 37

Variabel Keputusan : XA 1 = Luas lahan A yang di tanami dengan tanaman 1 (Gandum) XB 1 = Luas lahan B yang di tanami dengan tanaman 1 (Gandum) XC 1 = Luas lahan C yang di tanami dengan tanaman 1 (Gandum) XA 2 = Luas lahan A yang di tanami dengan tanaman 2 (Jagung). XB 2 = Luas lahan B yang di tanami dengan tanaman 2 (Jagung). XC 2 = Luas lahan C yang di tanami dengan tanaman 2 (Jagung). XA 3 = Luas lahan A yang di tanami dengan tanaman 3 (Kacang). XB 3 = Luas lahan B yang di tanami dengan tanaman 3 (Kacang). XC 3 = Luas lahan C yang di tanami dengan tanaman 3 (Kacang). Fungsi Tujuan : Memaksimalkan Total Keuntungan dari 3 Lahan. Fungsi Kendala (Constraints): 1. Total air ≤ 1. 000 m 3. 2. Tanah yang di tanami ≤ tanah yang tersedia di tiap lahan 3. Tanaman yang di tanah ≤ Batasan Alat 4. Luas area yang di tanam di setiap lahan harus sama 38

Fungsi Tujuan (Objective function): Max Z = 0. 2 (XA 1 + XB 1 + XC 1) + 0. 4 (XA 2 + XB 2 + XC 2) + 0. 5 (XA 3 + XB 3 + XC 3) Subject to (Kendala) : 0. 5 (XA 1 + XB 1 + XC 1) + 0. 7 (XA 2 + XB 2 + XC 2) + 1. 0 (XA 3 + XB 3 + XC 3) ≤ 1. 000 m 3. XA 1 + XA 2 + XA 3 ≤ 40 XB 1 + XB 2 + XB 3 ≤ 50 XC 1 + XC 2 + XC 3 ≤ 70 XA 2 + XB 2 + XC 2 ≤ 80 XA 3 + XB 3 + XC 3 ≤ 50 XA 1 + XA 2 + XA 3= XB 1 + XB 2 + XB 3 XA 1 + XA 2 + XA 3= XC 1 + XC 2 + XC 3 Hasil (Setelah di Run di SOLVER, LINDO, LINGO, atau QSB) : (Tutorial menggunakan LINGO dapat di click di link ini https: //www. youtube. com/watch? v=o. OGAn 9 K-EIQ). Contoh penggunaan TKSolver di Excell dapat di lihat pada link : https: //www. youtube. com/watch? v=2 s. Rp. YDHat. Fk Objective function: 53× 103 $/Ha Jenis tanaman: Farm A: 40 Ha Kacang Farm B: 40 Ha Jagung Farm C: 30 Ha Jagung + 10 Ha Kacang 39

Penyelesaian Soal 2 Dengan Solver 40

41

42

Contoh Soal 3 (Hal 65): Sebuah waduk dirancang untuk memberikan listrik tenaga air (PLTA) dan air untuk irigasi. Air yang keluar dari turbin juga dapat digunakan untuk irigasi seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1. Setidaknya satu unit air harus disimpan di sungai setiap bulan di titik A. Turbin PLTA memiliki kapasitas 4 unit air per bulan (debit air konstan setiap bulan), dan setiap air lain yang keluar harus melewati turbin. Ukuran wilayah pertanian relatif sangat besar terhadap jumlah air irigasi yang tersedia, sehingga tidak ada batas air irigasi digunakan. Waduk ini memiliki kapasitas 10 unit, dan volume awal dari air yang tersimpan adalah 5 unit air. Total volume penyimpanan akhir harus sama atau lebih besar dari penyimpanan volume awal. Manfaat/keuntungan per unit air, dan perkiraan volume rata-rata arus masuk reservoir diberikan dalam Tabel 3. 3. Bulan Inflow (Unit) 1. 2. 3. 4. 5. 6. 2 2 3 4 3 2 Keuntungan PLTA ($/unit) 1, 6 1, 7 1, 8 1, 9 2, 0 Keuntungan Irigasi ($/unit) 1, 0 1, 2 1, 9 2, 0 2, 2 43 2, 2

Variabel Keputusan : Rt = Volume Air untuk PLTA pada bulan ke t, It = Volume Air untuk Irigasi pada bulan ke t, SPt = Pelimpasan air (Spill) pada bulan ke t, St = Volume Storage/ tersimpan di Waduk pada bulan ke t, Qt = Inflow pada bulan ke t. Objective function: Memaksimalkan Benefit/keuntungan dari PLTA dan irigasi. Max Z : 1, 6 R 1 + 1, 0 I 1 + 1, 7 R 2 + 1, 2 I 2 + 1, 8 R 3 + 1, 9 I 3 + 1, 9 R 4 + 2, 0 I 4 + 2, 0 R 5 + 2, 2 I 5 + 2, 0 R 6 + 2, 2 I 6 Kendala/constraints: 1) Volume balance untuk irigasi: VSpill +Virigasi ≥ 1 unit air Bulan 1 : SP 1 + R 1 –I 1≥ 1 Bulan 2 : SP 2 + R 2 –I 2≥ 1 Bulan 3 : SP 3 + R 3 – I 3 ≥ 1 Bulan 4 : SP 4 + R 4 – I 4≥ 1 Bulan 5 : SP 5 + R 5 –I 5≥ 1 Bulan 6 : SP 6 + R 6 – I 6 ≥ 1 44

2) Kapasitas turbin: R 1 ≤ 4 R 2 ≤ 4 R 3 ≤ 4 R 4 ≤ 4 R 5 ≤ 4 R 6 ≤ 4 4) Mass balance di DAM : St+1=St-Rt-SPt+Qt St+1 -St+Rt+SPt=Qt 3) Kapasitas DAM : S 1=5 S 2 ≤ 10 S 3 ≤ 10 S 4 ≤ 10 S 5 ≤ 10 S 6 ≤ 10 S 7 ≥ 5 Bulan 2 : S 3 – S 2 + R 2 + SP 2 = 2 Bulan 3 : S 4 – S 3 + R 3 + SP 3 = 3 Bulan 4 : S 5 – S 4 + R 4 + SP 4 = 4 Bulan 5 : S 6 – S 5 + R 5 + SP 5 = 3 Bulan 6 : S 7 – S 6 + R 6 + SP 6 = 2 Bulan 1 : S 2 – S 1 + R 1 + SP 1 = 2 S 2 + R 1 + SP 1 = 2 + 5 S 2 + R 1 + SP 1 = 7 Hasil: Objective value: 51. 60$ 45

Penyelesaian dengan Solver 46

47

48