RISET OPERASIONAL 1 RISET OPERASI TIM DOSEN RISET

RISET OPERASIONAL 1 RISET OPERASI TIM DOSEN RISET OPERASI UNIVERSITAS GUNADARMA SEPTEMBER 2013 1

BAB 10. TEORI PERMAINAN 2

Teori Permainan Oleh: Rina Sugiarti Komsi Koranti

Teori Permainan (GAME THEORY) n Suatu pendekatan matematis untuk merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai kepentingan n Asumsi : Setiap pemain (individu atau kelompok) mempunyai kemampuan untuk mengambil keputusan secara bebas (independent) dan rasional.

Teori permainan (Cont’) • Model dalam teori permainan diklasifikasikan berdasarkan jumlah pemain, besarnya keuntungan dan kerugian, dan jumlah strategi. • Berdasarkan jumlah pemain : Model permainan dua pemain, tiga pemain, …, N pemain

Model Permainan n Berdasarkan besarnya keuntungan/kerugian : 1. Model permainan jumlah nol (zero-sum game) 2. Model permainan jumlah konstan (constant-sum game) 3. Model permainan bukan jumlah nol (Non zero-sum game)

Elemen permainan • Pemain: intelligent opponents (pesaing atau musuh) • Strategi: pilihan apa yang harus dilakukan untuk mengalahkan lawan • Hasil keluaran= Payoffs: fungsi dari strategi yang berbeda untuk setiap pemain • Payoff Matrix: Tabel (hasil perolehan dari pemain baris) • Aturan: bagaimana mengalokasikan hasil kepada pemain

The Game: Contoh • • Dua Pemain: Pemain A (baris) dan Pemain B (kolom) Melempar koin seimbang Hasil yang mungkin: Head (H) dan Tail (T) Aturan: • Jika hasil pertandingan match(pemain A memilih H dan hasilnya juga H atau pemain A pilih T dan hasil juga T), maka Pemain A mendapatkan $ 1 dari pemain B; • Jika sebaliknya, Pemain A kehilangan $ 1 untuk Pemain B

The Game: Matrix Payoff Pemain A (Pemain baris) H T Pemain B H T – 1 1 Strategi setiap pemain: H atau T Sebuah Solusi Optimal dikatakan tercapai apabila pemain tidak menemukan hal yang bermanfaat untuk mengubah strateginya

Solusi optimal • optimal dapat dicapai jika pemain memilih untuk menerapkan: • Strategi Murni (misal: pilih H atau T) • Campuran strategi murni = Strategi Campuran

Two-Person Zero-Sum Game • Sebuah game atau permainan dengan dua pemain • Sebuah keuntungan dari satu pemain sama dengan kerugian yang lain • Pemain yang difokuskan = pemain baris (Pemain A) • Seorang pemain memaksimalkan keuntungan minimum nya (mengapa? ) • Pemain B meminimalkan kerugian maksimum nya (mengapa? ) • Solusi optimal diperoleh dengan kriteria Minimax-Maximin • Solusi optimal mencerminkan bahwa permainan stabil atau dalam keadaan keseimbangan

Two-Person Zero-Sum Game with Saddle Point 1 Pemain B 2 3 4 1 8 2 9 5 2 Pemain A 2 6 5 7 18 5 3 7 3 – 4 10 – 4 Colum Max 8 5 9 18 Minimax Value Row Min Maximin Value

Two-Person Zero-Sum Game with Saddle Point • Seorang pemain (baris): Nilai Maximin = nilai terendah dari permainan • Pemain B (kolom): Nilai Minimax = Nilai tertinggi dari permainan • Nilai Maximin = Minimax nilai Saddle point = Nilai dari permainan

Two-Person Zero-Sum Game dengan Saddle Point • Saddle point menyebabkan Solusi Optimal • Saddle point menunjukkan permainan yang stabil • Pemain menerapkan Strategi Murni

umumnya • Untuk menjaga "optimalitas" dari permainan: • nilai maksimin nilai permainan nilai minimax OR • nilai terendah nilai permainan nilai tertinggi

Strategi campuran • Digunakan untuk memecahkan permainan yang tidak memiliki Saddle Point • Solusi optimal diperoleh dengan menggunakan: • Solusi grafis untuk matrik payoff (2 X N) dan (M X 2) • Simplex untuk matrik payoff (M X N)

Unstable Game tanpa Saddle Point Pemain A Column Max 1 Pemain B 1 2 3 5 – 10 9 4 0 Row Min – 10 2 6 7 8 2 2 3 8 5 4 15 4 Maximin 4 7 4 – 1 3 – 1 8 7 9 15 Minimax Value Minimax value = 7 > Maximin value = 4 sub-optimal

2 N game • 2 N game: – Pemain A memiliki 2 strategi – Pemain B memiliki N ( 2) strategi B A y 1 y 2 … yn a 11 a 12 … a 1 n x 2 = 1 – x 1 a 22 … a 2 n x 1

2 N game Strategi murni B Ekspektasi Payoff A 1 (a 11 – a 21)x 1 + a 21 2 (a 12 – a 22)x 1 + a 22 … … n (a 1 n – a 2 n)x 1 + a 2 n

2 N game: contoh B A y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 2 2 3 – 1 x 2 4 3 2 6

2 N game Strategi murni B Ekspektasi Payoff A 1 – 2 x 1 + 4 2 – x 1 + 3 3 x 1 + 2 4 – 7 x 1 + 6 Solusi optimum: solusi Grafik

Solusi Grafik x 1 = 0 dan x 1 = x 2 6 5 Maximin 1 4 3 2 1 4 x 1 = 1 x 1 = 0 -1 x*1 =1/2

Solusi optimal untuk pemain A • Intersep antara baris (2), (3) dan (4) (x 1* = ½, x 2*= ½) (2) – x 1 + 3 = – ½ + 3 = 5/2 v* (3) x 1 + 2 = ½ + 2 = 5/2 (4) – 7 x 1 + 6 = – 7/2 + 6 = 5/2 • pemain B dapat mengkombinasikan ke 3 strategi • pemain A menang = 5/2

Solusi optimal untuk pemain B • • Kombinasi (2), (3) dan (4): (2, 3) y 1 dan y 4 = 0, y 3 = y 2 – 1 (y 2* = y 3*) (2, 4) y 1 dan y 3 = 0, y 4 = y 2 – 1 (y 2* = y 4*) (3, 4) y 1 dan y 2 = 0, y 4 = y 3 – 1 (y 3* = y 4*)

Solusi optimal untuk pemain B (2, 3) y 1 dan y 4 = 0, y 3 = y 2 – 1 (y 2* = y 3*) Strategi murni B Ekspektasi Payoff A 2 3 – y 2 + 3 y 2 + 2 – y 2 + 3 = y 2 + 2 – 2 y 2 = – 1 y 2* = 1/2 dan y 3* = 1/2 B kalah = 5/2

Solusi optimal untuk pemain B (2, 4) y 1 dan d y 3 = 0, y 4 = y 2 – 1 (y 2* = y 4*) Strategi murni B Ekspektasi Payoff A 2 4 – y 2 + 3 – 7 y 2 + 6 – y 2 + 3 = – 7 y 2 + 6 6 y 2 = 3 y 2* = 1/2 dan y 4* = 1/2 B kalah = 5/2

Solusi optimal untuk Pemain B (3, 4) y 1 dan y 2 = 0, y 4 = y 3 – 1 (y 3* = y 4*) Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B 3 4 y 3 + 2 – 7 y 3 + 6 y 3 + 2 = – 7 y 3 + 6 8 y 3 = 4 y 3* = 1/2 dan y 4* = 1/2 Nilai Kerugian B = 5/2

M 2 game • M 2 game: – Pemain A mempunyai M ( 2) strategi – Pemain B mempunyai 2 strategi B x 1 A x 2 … y 1 a 11 a 21 … y 2= 1 – y 1 a 12 a 22 … xm am 1 am 2

M 2 game Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B 1 (a 11 – a 12)y 1 + a 12 2 (a 21 – a 22)y 1 + a 22 … … m (am 1 – am 2)y 1 + am 2

M 2 game: contoh B A y 1 y 2 x 1 2 4 x 2 3 2 x 3 – 2 6

M 2 game Strategy Murni A Ekspektasi Payoff B 1 – 2 y 1 + 4 2 y 1 + 2 3 – 8 y 1 + 6 Solusi optimum dengan metode Grafis

Solusi grafik y 1 = 0 dan y 1 = y 2 6 Minimax 5 4 3 2 3 1 2 y 1 = 1 1 -1 -2 y 1* = y 3* = 1/3

Solusi Optimum untuk Pemain B • Intersep di antara baris (1) dan (3) (y 1* = 1/3, y 3*= 1/3) (1) – 2 y 1 + 4 = – 2/3 + 4 = 10/3 8 y 1 + 6 = – 8/3 + 6 = 10/3 v* • Pemain B dapat mengkombinasikan 2 macam strategi • Pemain B rugi = 10/3 (3) –

Solusi Optimum untuk pemain A • kombinasi (1) dan (3): • (1, 3) x 2 dan x 4 = 0, x 3 = x 1 – 1 (x 1* = x 3*)

Solusi Optimum untuk pemain A (1, 3) x 2 dan x 4 = 0, x 3 = x 1 – 1 (x 1* = x 3*) Strategi murni A Expektasi Payoff A 1 – 2 x 1 + 4 3 – 8 x 1 +6 – 2 x 1 + 4 = – 8 x 1 +6 6 x 1 = 2 x 1* = 1/3 dan x 3* = 1/3 A menang = 10/3

M N Games: Simplex • Fokus pada baris (Pemain A) • dualitas masalah • Tujuan Fungsi: memaksimalkan w = Y 1 + Y 2 +. . . Yn

M N Games: Simplex n Terhadap (Constraints / kendala): a 11 Y 1 + a 12 Y 2 + . . . + a 1 n. Yn 1 a 21 Y 1 + a 22 Y 2 + . . . + a 2 n. Yn 1 … … … am 1 Y 1 + am 2 Y 2 + . . . + amn. Yn 1 Y 1, Y 2, . . . , Yn 0 n w = 1/v v* = 1/w n Yj = Yi /v, j = 1, 2, . . . , n

M N Games: Simplex • Pastikan tabel tidak berisi nilai nol dan negatif • Gunakan K (nilai konstan) memastikan bahwa tabel tidak berisi nilai nol dan negatif • K> negatif dari nilai maksimin • K> negatif dari nilai paling negatif

M N Games: Simplex • Jika K adalah digunakan dlm tabel , v* = 1/w – K • z = w • X 1* = X 1/z, X 2* = X 2/z, . . . , Xm* = Xm/z

M N Games: contoh B A Column Row 1 2 3 Min 1 3 – 1 – 3 2 – 3 3 – 1 – 3 3 – 4 Max 3 3 3 K=5

B A Column Row 1 2 3 Min 1 8 4 2 2 8 4 2 3 1 2 8 1 Max 8 8 8 Fungsi Tujuan Maximize: w = Y 1 + Y 2 + Y 3

B A Column Row 1 2 3 Min 1 8 4 2 2 8 4 2 3 1 2 8 1 Max 8 8 8 Sesuai dengan : 8 Y 1 + 4 Y 2 + 2 Y 3 1 2 Y 1 + 8 Y 2 + 4 Y 3 1 1 Y 1 + 2 Y 2 + 8 Y 3 1 Y 1, Y 2, Y 3 0

Sesuai dengan : 8 Y 1 + 4 Y 2 + 2 Y 3 1 8 Y 1 + 4 Y 2 + 2 Y 3 + S 1 = 1 2 Y 1 + 8 Y 2 + 4 Y 3 1 2 Y 1 + 8 Y 2 + 4 Y 3 + S 2 = 1 1 Y 1 + 2 Y 2 + 8 Y 3 + S 3 = 1 Y 1, Y 2, Y 3 0 Fungsi Tujuan : Maximize: w = Y 1 + Y 2 + Y 3 + S 1+S 2+S 3

Basic Y 1 Y 2 Y 3 S 1 S 2 S 3 Solution w -1 -1 -1 0 0 S 1 S 2 S 3 8 2 1 4 8 2 2 4 8 1 0 0 0 1 1

Tabel Optimal (Akhir) Basic Y 1 Y 2 Y 3 S 1 S 2 S 3 w 0 0 0 5/49 11/196 1/14 Y 1 1 0 0 1/7 Y 2 Y 3 0 0 1 -1/14 0 -3/98 31/196 -1/14 -1/98 -3/98 1/7 Solution 45/196 1/14 11/96 5/49

Solusi optimal untuk B • • • w = 45/196 v* = 1/w – K = 196/45 – 225/45 = – 29/45 y 1* = Y 1/w = (1/14)/(45/196) = 14/45 y 2* = Y 2/w = (11/196)/(45/196) = 11/45 y 3* = Y 3/w = (5/49)/(45/196) = 20/45

Solusi untuk A n z = w = 45/196 n X 1 = 5/49 n X 2 = 11/196 n X 3 = 1/14 n x 1* = X 1/z = (5/49)/(45/196) = 20/45 n x 2* = X 2/z = (11/196)/(45/196) = 11/45 n x 3* = X 3/z = (1/14)/(45/196) = 14/45

REFERENSI HAMDY A TAHA, OPERATION RESEARCH AN INTRODUCTION, EDISI 8, MACMILLAN, NEW YORK

SELESAI