LINGKARAN PENDAHULUAN DEFINISI LINGKARAN DENGAN PUSAT O JARIJARI

LINGKARAN PENDAHULUAN DEFINISI LINGKARAN DENGAN PUSAT O JARI-JARI r POSISI TITIK (a, b) PADA LINGKARAN PERSAMAAN LINGKARAN DENGAN PUSAT(a, b) dan JARI-JARI r PERSAMAAN UMUM LINGKARAN PERSAMAAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN PENUTUP 1

SD SMA SMP MGMP MATEMATIKA SKKK JAYAPURA Kami mohon Donasi dari saudara-saudara sekalian agar blog ini tetap Eksis untuk membantu saudara-saudara sekalian agar dapat mengakses materi bahan ajar atau soal-soal dan lainnya dalam bentuk “POWERPOINT” silahkan salurkan lewat rekening Bank MANDIRI atas nama HENDRIK PICAL, A. Md, S. Sos dengan No. ac Bank 1540004492181. dan konvirmasi lewat No. HP. 081248149394. Terima Kasih.

L I N G K A R A N 4

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu 5

Lingkaran tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik tetap itu disebut pusat lingkaran 6

Persamaan Lingkaran Pusat O(0, 0) dan jari-jari r y r O P(x, y) x x x 2 + y 2 = r 2 r = jari-jari 7

Pengantar untuk Lingkaran 8

r 0 y y y P(x, y) x r 0 x r P(x, y) x 0 P(x, y) 9

Soal 1 Persamaan lingkaran pusatnya di O(0, 0) dan jari-jari: a. r = 5 adalah x 2 + y 2 = 25 b. r = 2½ adalah x 2 + y 2 = 6¼ c. r = 1, 1 adalah x 2 + y 2 = 1, 21 d. r = √ 3 adalah x 2 + y 2 = 3 10

Soal 2 Persamaan lingkaran pusat O(0, 0) dan melalui titik (3, -1) adalah…. 11

Penyelesaian Misal persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan jari-jari r adalah x 2 + y 2 = r 2 melalui (3, -1) → 32 + (-1)2 = r 2 = 9 + 1 = 10 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 = 10 12

Soal 3 Pusat dan jari-jari lingkaran: a. x 2 + y 2 = 16 adalah… jawab: pusat O(0, 0) dan r = 4 b. x 2 + y 2 = 2¼ adalah… jawab: pusat O(0, 0) dan r = 1½ c. x 2 + y 2 = 5 adalah… jawab: pusat O(0, 0) dan r = √ 5 13

Soal 4 Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x 2 + y 2 = 144 tetapi panjang jari-jarinya setengah dari panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah…. 14

Penyelesaian Lingkaran x 2 + y 2 = 144 pusatnya O(0, 0) dan jari-jarinya r = √ 144 = 12 → ½r = 6 Persamaan lingkaran yang pusatnya O(0, 0) dan jari-jarinya r = 6 adalah x 2 + y 2 = 62 x 2 + y 2 = 36 15

Soal 5 Jika titik (2 a, -5) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 = 41 maka nilai a adalah…. 16

Penyelesaian Titik (2 a, -5) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 = 41, berarti (2 a)2 + (-5)2 = 41 4 a 2 + 25 = 41 4 a 2 = 41 – 25 = 16 a = 4 → a = 2 atau a = -2 17

Soal 6 Persamaan lingkaran yang koordinat ujung-ujung diameternya A(2, -1) dan B(-2, 1) adalah…. 18

Penyelesaian B(-2, 1) dia me te r A(2, -1) Diameter = panjang AB = = 19

Diameter = panjang AB = 2√ 5 Jari-jari = ½ x diameter = ½ x 2√ 5 = √ 5 20

B(-2, 1) Pusat A(2, -1) Koordinat pusat = = (0, 0) 21

Jadi, persamaan lingkarang yang jari-jari = √ 5 dan pusat (0, 0) adalah x 2 + y 2 = (√ 5)2 x 2 + y 2 = 5 22

Contoh 7 23

Jawab : 24

Persamaan Lingkaran Pusat (a, b) dan jari-jari r y (a, b) b (0, 0) a x (x – a)2 + (y - b)2 = r 2 Pusat lingkaran (a, b) , r = jari-jari 25

Soal 1 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran a. (x – 3)2 + (y – 7)2 = 9 jawab: pusat di (3, 7) dan jari-jari r = √ 9 = 3 b. (x – 8)2 + (y + 5)2 = 6 jawab: pusat di (8, -5) dan jari- jari r = √ 6 26

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran c. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 24 jawab: pusat di (-3, 5) dan jari-jari r = √ 24 = 2√ 6 d. x 2 + (y + 6)2 = ¼ jawab: pusat di (0, -6) dan jari- jari r = √¼ = ½ 27

Soal 2 Persamaan lingkaran, pusat di (1, 5) dan jari-jarinya 3 adalah …. Penyelesaian: (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 ▪ Pusat (1, 5) → a = 1 dan b = 5 ▪ Jari-jari r = 3 → r 2 = 9 Persamaannya (x – 1)2 + (y – 5)2 = 9 28

Soal 3 Persamaan lingkaran, pusat di (-1, 0) dan jari-jarinya 3√ 2 adalah …. Penyelesaian: (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 ▪ Pusat (-1, 0) → a = -1 dan b = 0 ▪ Jari-jari r = 3√ 2 → r 2 = (3√ 2)2 = 18 Persamaannya: (x + 1)2 + y 2 = 18 29

Soal 4 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-2, -7) dan melalui titik (10, 2) adalah …. 30

A(10, 2) r P(-2, -7) Penyelesaian: Pusat (-2, -7) → a = -2, b = -7 Jari-jari = r = AP AP = r = → r 2 = 225 Jadi, persamaan lingkarannya (x + 2)2 + (y + 7)2 = 225 31

Soal 5 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, -3) dan melalui titik pangkal adalah …. 32

O(0, 0) r P(4, -3) Penyelesaian: Pusat (4, -3) → a = 4, b = -3 Jari-jari = r = OP OP = r = → r 2 = 25 Jadi, persamaan lingkarannya (x - 4)2 + (y + 3)2 = 25 33

Soal 6 Persamaan lingkaran yang berpusat di garis x – y = 1, jari-jari √ 5 dan melalui titik pangkal adalah …. 34

Penyelesaian Misal persamaan lingkarannya (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 ▪ melalui O(0, 0) → x = 0, y = 0 dan jari-jari r = √ 5 → r 2 = 5 disubstitusi ke (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 (0 – a)2 + (0 – b)2 = 5 a 2 + b 2 = 5 …. . (1) 35

▪ Pusat (a, b) pada garis x – y = 1 a–b=1→a=b+1 disubstitusi ke a 2 + b 2 = 5 (b + 1)2 + b 2 = 5 b 2 + 2 b + 1 + b 2 = 5 2 b 2 + 2 b – 4 = 0 → b 2 + b – 2 = 0 (b + 2)(b – 1) = 0 b = -2 atau b = 1 36

▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1 diperoleh pusatnya (-1, -2), r = √ 5 Jadi, persamaan lingkarannya (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 ▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2 diperoleh pusatnya (2, 1), r = √ 5 Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5 37

Soal 7 Persamaan lingkaran yang berpusat pada perpotongan garis y = x dengan garis x + 2 y = 6 melalui titik O(0, 0) adalah …. 38

Penyelesaian ▪ pusat pada perpotongan garis y = x dengan garis x + 2 y = 6 substitusi y = x ke x + 2 y = 6 x + 2 x = 6 3 x = 6 → x = 2 → y = 2 → pusat (2, 2) 39

▪ jari-jari = jarak pusat (2, 2) ke O(0, 0) r= 2 = 8 → r = Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8 x 2 – 4 x + 4 + y 2 – 4 x + 4 = 8 x 2 + y 2 – 4 x – 4 y = 0 → persamaan lingkaran dalam bentuk umum 40

Persamaan Lingkaran dalam bentuk umum x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Pusat (-½A, -½B) r= 41

Soal 1 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 – 2 x – 6 y – 15 = 0 jawab: A = -2, B = - 6, C = -15 pusat di (-½A, -½B) → (1, 3) jari-jari r = = 42

Soal 2 Tentukan pusat lingkaran 3 x 2 + 3 y 2 – 4 x + 6 y – 12 = 0 jawab: 3 x 2 + 3 y 2 – 4 x + 6 y – 12 = 0 x 2 + y 2 – x + 2 y – 4 = 0 Pusat (-½( – ), -½. 2) Pusat( , – 1) 43

Soal 3 Jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 + 2 x – 5 y – 21 = 0 maka nilai k adalah… 44

Penyelesaian (-5, k) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 + 2 x – 5 y – 21 = 0 (-5)2 + k 2 +2(-5) – 5 k – 21 = 0 25 + k 2 – 10 – 5 k – 21 = 0 k 2 – 5 k – 6 = 0 (k – 6)(k + 1) = 0 Jadi, nilai k = 6 atau k = -1 45

Soal 4 Jarak terdekat antara titik (-7, 2) ke lingkaran x 2 + y 2 – 10 x – 14 y – 151 = 0 sama dengan…. 46

Penyelesaian Titik T(-7, 2) disubstitusi ke x 2 + y 2 – 10 x – 14 y – 151 (-7)2 + 22 – 10. (-7) – 14. 2 – 151 49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0 berarti titik T(-7, 2) berada di dalam lingkaran 47

Pusat x 2 + y 2 – 10 x – 14 y – 151 = 0 adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5, 7) Q r T(-7, 2) P(5, 7) QT = PQ - PT = 15 – 13 = 2 Jadi, jarak terdekat adalah 2 48

Garis Singgung Lingkaran 49

2. Lingkaran dengan pusat A(a, b) dan jari-jari r. 50

3. Lingkaran Umum dengan bentuk 51

52

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien Tertentu (m) 53

CONTOH 54

JAWAB 55

56

c. Garis L: 4 x-3 y+12=0 mempunyai m= 57

d. Persamaan garis singgung yang tegak lurus grs. L=4 x 3 y+12=0 58

2 Lingkaran berpusat di A(a, b) dan jari-jari r 59

CONTOH: 60

SELAMAT BELAJAR 61