LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN Rahmad Abi Nurohman

LINGKARAN DAN GARIS SINGGUNG LINGKARAN Rahmad Abi Nurohman Dian Maharani Dina Eka Nurvazly Yola Citra Lutfianintyas

Standard Kompetensi : Menentukan unsur, bagian lingkaran dan ukurannya. Kompetensi Dasar : v Menentukan unsur dan bagian-bagian lingkaran. v Menghitung keliling dan luas lingkaran. v Menggunakan hubungan sudut pusat, panjang busur, luas juring dalam pemecahan masalah.

LINGKARAN Definisi : Lingkaran adalah tempat kedudukan titik- titik yang terletak pada satu bidang dan semua titik tersebut berjarak tertentu dan sama dari sebuah titik tertentu.

UNSUR-UNSUR LINGKARAN a. Lingkaran b. Titik Pusat Lingkaran c. Diameter Lingkaran d. Jari-jari Lingkaran e. Tali busur lingkaran f. Busur lingkaran g. Juring h. Tembereng i. Apotema

KELILINGKARAN Definisi: Panjang busur atau garis lengkung pembentuk lingkaran. K= πd atau K = 2πr

LUAS LINGKARAN Definisi : Luas daerah yang dibatasi oleh lengkung lingkaran.

PEMBUKTIAN RUMUS LUAS LINGKARAN Pandang gambar tersebut sebagai segitiga sama kaki. Segitiga sama kaki tersebut adalah bentukan 16 juring dari sebuah lingkaran. Panjang alas = 4 busur juring =¼ K Tinggi =4 r Luas segitiga= ½ alas tinggi = ½ 2 r r 4 r ¼ K

O A B Def: sudut yang dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran SUDUT PUSAT menghadap busur sama atau titik sudutnya pusat lingkaran. SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILINGKARAN

SUDUT KELILINGKARAN Definisi: sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan pada kelilingkaran. P Q R

HUBUNGAN SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILINGKARAN Sudut kelililng sama dengan setengah sudut pusat apabila sudut keliling dan sudut pusat tersebut menghadap busur yang sama A <BAC = ½ <BOC , Syarat ; <BAC , <BOC menghadap busur BC O B C

SIFAT-SIFAT SUDUT PUSAT DAN SUDUT KELILING a. Sudut keliling menghadap diameter lingkaran adalah siku-siku. <ABC = < ADC = 90° B A C D

b. Sudut-sudut Kelilingkaran menghadap busur yang sama adalah sama besar. B D E <AEC = < ABC = < ADC C A Karena, ketiga sudut tersebut menghadap busur yang sama yaitu bs AC.

c. Jumlah sudut keliling yang berhadapan adalah 180° C D o B A <ADC + <ABC = 180° <DAB + <DCB = 180° Segiempat ABCD disebut juga segiem

SUDUT-SUDUT SEGI-N BERATURAN Besar sudut pusat segi-n beraturan = Besar setiap sudut segi-n beraturan =

CONTOH SOAL 95º a Dari gambar di samping tentukan nilai a dan b! 87º b Jawab : a + 87º = 180º a = 93 º b +95º = 180º b = 85º Jadi, nilai a = 93º dan nilai b = 85º

PANJANG BUSUR, LUAS JURING, LUAS TEMBERENG Panjang busur AB = A O Luas Juring AOB = Luas Tembereng = Luas Juring AOB – Luas segitiga OAB B

HUBUNGAN SUDUT PUSAT, PANJANG BUSUR, DAN LUAS JURING D C o A B

CONTOH SOAL Jika panjang busur AB = 60º cm, hitung panjang busur CD ! B D 40º A 150ºO C

GARIS SINGGUNG LINGKARAN Definisi Garis Singgung Lingkaran Sifat-sifat Garis Singgung Lingkaran Melukis Garis Singgung Lingkaran Kedudukan Dua Lingkaran

Definisi Garis Singgung Lingkaran Definisi : Garis yang apabila diperpanjang akan memotong lingkaran di satu titik membentuk sudut 90°. Titik potong tersebut disebut titik singgung A L B g

SIFAT-SIFAT GARIS SINGGUNG LINGKARAN (GSL) g B O A v. GSL memotong lingkaran di satu titik v. GSL tegak lurus jari-jari lingkaran pada titik singgungnya v. Garis yang tegak lurus garis singgung di satu titik pasti melewati titik pusat (OA melalui O) v. Garis yang tegak lurus diameter dan melaui titik ujungnya adalah garis singgung

Melukis Garis Singgung Sebuah Lingkaran a. Melukis GSL yang melalui Titik pada Lingkaran R 1. Membuat lingkaran dengan pusat O dengan titik A pada lingkaran. 2. Membuat jari-jari OA 3. Memperpanjang jari-jari OA 4. Melukis bs lingkaran berpusat A, sehingga memotong OA dan perpanjangannya di titik P dan Q 5. Melukis bs lingkaran dengan pusat P dan Q yang jari-jarinya sama panjang, shg berpotongan di titik R dan S 6. Menghubungkan titik R dan S, sehingga terbentuk garis RS. 7. Garis RS merupakan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik O O P A S Q

b. Melukis GSL yang melalui Titik di Luar Lingkaran 1. Melukis lingkaran berpusat O dan titik A di luar lingkaran 2. Hubungkan titik O dan A 3. Melukis bs lingkaran berpusat di O dan A yang berjari-jari sama panjang, sehingga saling berpotongan di titik P dan Q 4. Menghubungkan titik P dan Q, sehingga memotong OA di titik R 5. Melukiskan lingkaran dengan pusat R dengan jari-jari RA, sehingga memotong lingkaran berpusat di O di titik B dan C 6. Menghubungkan titik A dengan titik B, dan titik A dengan titik C, sehingga diperoleh garis AB dan AC yang merupakan garis-garis singgung lingkaran B O P R C Q A

KEDUDUKAN DUA LINGKARAN a. Kedua Lingkaran Bersinggungan di luar L b. M LM = r 1 + r 2 Kedua lingkaran tidak berpotongan sama sekali LM > r 1 + r 2 L M

C. Kedua lingkaran Sepusat. LM=0 L=M D. Kedua Lingkaran berpotongan L M LM < r 1 + r 2

Panjang Garis Singgung Sebuah Lingkaran B PGSL r O Garis AB merupakan garis singgung lingkaran pada titik B, jari OB tegak lurus terhadap garis singgung AB, sehingga segitiga OBA siku, maka d A AB 2 = d 2 - r 2

CONTOH SOAL Pada gambar di bawah, garis AB merupakan garis singgung. Panjang OA = 13 cm dan jari OB = 5 cm. Hitunglah panjang garis singgung AB. O • B A

PEMBAHASA N : Perhatikan Δ OAB siku-siku di titik B AB 2 = OA 2 - OB 2 = 132 - 52 = 169 - 25 = 144 AB = √ 144 = 12 cm. Jadi, panjang garis singgung AB = 12 cm.

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN DUA LINGKARAN Syarat : Satu lingkaran tidak terletak di dalam lingkaran yang lain. Ada dua jenis GSPDL: 1. 2. Garis Singgung Persekutuan Luar Lingkaran Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran

GARIS SINGGUNG PERSEKUTUAN LUAR LINGKARAN P P’ A Q R r d B Jarak kedua pusat lingkaran = AB = d Panjang garis singgung = PQ Perhatikan AP’Q siku-siku di P’, P’B=PQ = PGSPL

Contoh Soal M N B A Jika : AM =13 cm , BN = 6 cm dan MN = 25 cm Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan : M N B A AB 2 = MN 2 -( r 1 - r 2 )2 = 252 - ( 13 - 6 )2 = 625 – 49 = 576 AB = √ 576 = 24 cm

Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam Lingkaran C A r 2 r 1 M N r 2 d B Jarak kedua pusat lingkaran = MN = d Panjang garis singgung = AB, CN AC = r 1 + r 2 Perhatikan AP’Q siku-siku di C, CN = AB = PGSPDL

Contoh Soal A N M B Jika : AM = 6 cm , BN = 3 cm dan MN = 15 cm Tentukan panjang garis singgung AB.

Pembahasan : A N M B AB 2 = MN 2 -( r 1 + r 2 )2 = 152 - ( 6 + 3 )2 = 225 – 81 = 144 AB = √ 144 = 12 cm

LINGKARAN DALAM DAN LUAR SEGITIGA C LINGKARAN DALAM SEGITIGA Def : Lingkaran yang berada di dalam sebuah segitiga dan menyinggung semua sisi segitiga tersebut. a B b c A

JARI – JARI LINGKARAN DALAM SEGITIGA (R) C a B b c A

LINGKARAN LUAR SEGITIGA B Definisi : Lingkaran luar segitiga adalah lingkaran yang melalui titik sudut suatu segitiga dan berpusat di titik potong ketiga garis sumbu sisi-sisi segitiga. A C

JARI-JARI LINGKARAN LUAR SEGITIGA B c A a b C