Komposisi Transformasi 1 Setelah menyaksikan tayangan ini anda

Komposisi Transformasi 1

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan peta atau bayangan suatu kurva hasil dari suatu komposisi transformasi 2

Transformasi Untuk memindahkan suatu titik atau bangun pada sebuah bidang dapat dikerjakan dengan transformasi. Transformasi T pada suatu bidang ‘memetakan’ tiap titik P pada Bidang menjadi P’ pada bidang itu pula. Titik P’ disebut bayangan atau peta titik P 3

Transformasi Invers Untuk menentukan bayangan suatu kurva oleh transformasi yang ditulis dalam bentuk matriks, digunakan transformasi invers 4

soal Peta dari garis x – 2 y + 5 = 0 oleh transformasi yang dinyatakan dengan matriks adalah…. 5

Pembahasan A(x, y) A’(x’ y’) Ingat: A = BX maka X = B-1. A 6

Diperoleh: x = 3 x’ – y’ dan y = -2 x’ + y’ 7

x = 3 x’ – y’ dan y = -2 x’ + y’ disubstitusi ke x – 2 y + 5 = 0 3 x’ – y’ – 2(-2 x’ + y’) + 5 = 0 3 x’ – y’ + 4 x’ – 2 y’ + 5 = 0 7 x’ – 3 y’ + 5 = 0 Jadi bayangannya: 7 x – 3 y + 5 = 0 8

Komposisi Transformasi Bila T 1 adalah suatu transformasi dari titik A(x, y) ke titik A’(x’, y’) dilanjutkan dengan transformasi T 2 adalah transformasi dari titik A’(x’, y’) ke titik A”(x”, y”) maka dua transformasi berturut-turut tsb disebut Komposisi Transformasi dan ditulis T 2 o T 1 9

Komposisi Transformasi Dengan matriks Bila T 1 dinyatakan dengan matriks dan T 2 dengan matriks maka dua Transformasi berturut- turut mula-mula T 1 dilanjutkan dengan T 2 ditulis T 2 o T 1 = 10

Soal 1 Matriks yang bersesuaian dengan dilatasi dengan pusat (0, 0) dan faktor skala 3 dilanjutkan dengan refleksi terhadap garis y = x adalah… 11

Pembahasan M 1= Matrik dilatasi skala 3 adalah M 2 = Matrik refleksi terhadap y = x adalah 12

Matriks yang bersesuaian dengan M 1 dilanjutkan M 2 ditulis M 2 o M 1 = = Jadi matriknya adalah 13

Soal 2 Bayangan segitiga ABC, dengan A (2, 1), B (6, 1), C (5, 3) karena refleksi terhadap sumbu Y dilanjutkan rotasi (0, π) adalah… 14

Pembahasan Refleksi sb Y: (x, y) Rotasi π: (x, y) sb Y [O, π] (-x, y) (-x, -y) A(2, 1) sb Y A’(-2, 1) (O, π) A”(2, -1) B(6, 1) sb Y B’(-6, 1) (O, π) B”(6, -1) C(5, 3) sb Y C’(-5, 3) (O, π) Q”(5, -3) 15

Soal 3 Luas bayangan persegi panjang PQRS dengan P(-1, 2), Q(3, 2), R(3, -1), S(-1, -1) karena dilatasi [O, 3] dilanjutkan rotasi pusat 0 bersudut ½π adalah… 16

P”(-6, -3), Q”(-6, 9), R”(3, 9), dan S”(3, -3) membentuk persegi panjang P”Q”R”S” Q”(-6, 9) Y R”(3, 9) X O P”(-6, -3) S”(3, -3) Q”P” = 9 – (-3) = 12 Q”R” = 3 – (-6) =9 Luas = 12. 9 = 108 18

Soal 4 T 1 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matrik dan T 2 adalah transformasi yang bersesuaian dengan matrik 19

Bayangan titik A(m, n) oleh transformasi T 1 dilanjutkan T 2 adalah A’(-9, 7). Nilai m - 2 n sama dengan…. 20

Pembahasan T 1 = dan T 2 = T 2 o T 1 = = 21

T 2 o T 1 = A(m, n) A’(-9, 7) 22

diperoleh: -9 = m + n dan 7 = m Nilai m = 7 disubstitusi ke m + n = -9 7 + n = -9 n = -16 Jadi nilai m – 2 n = 7 + 32 = 39 23

Soal 5 Jika titik (a, b) dicerminkan terhadap sumbu Y, dilanjutkan dengan transformasi sesuai matriks menghasilkan titik (1, -8) maka nilai a + b =…. 24

Pembahasan Matriks pencerminan terhadap sumby Y: T 1 = T 2 o T 1 = 25

Jadi : a + b = 2 + (-3) = -1 26

Soal 6 Persamaan peta garis x – 2 y + 4 = 0 yang dirotasikan dengan pusat (0, 0) sejauh +900, dilanjutkan dengan pencerminan terhadap garis y = -x adalah…. 27

Pembahasan Rotasi +90 o: (x, y) [O, +90 o] (-y, x) Refleksi y = -x: (-y, x) y = -x (-x, y) Sehingga x” = -x → x = -x” dan y” = y → y = y” disubstitusi ke x – 2 y + 4 = 0 diperoleh (-x”) – 2 y” + 4 = 0 Jadi petanya: x + 2 y – 4 = 0 28

Soal 7 Persamaan peta kurva y = x 2 - 3 x + 2 karena pencerminan terhadap sumbu x dilanjutkan dilatasi dengan pusat 0 dan faktor skala ⅓ adalah… 29

• Pembahasan Refleksi terhadap sumbu x x’ = x y’ = -y Dilanjutkan dengan dilatasi: [O, ⅓] x” = ⅓x’ = ⅓x y” = ⅓y’ = -⅓y 30

dari x” = ⅓x dan y” = -⅓y diperoleh x = 3 x” dan y = -3 y” kemudian disubstitusi ke y = x 2 – 3 x + 2 -3 y” = (3 x”)2 – 3(3 x”) + 2 -3 y” = 9(x”)2 – 9 x” + 2 Jadi petanya: y = -3 x 2 + 3 x - ⅔ 31

Soal 8 Persamaan peta suatu kurva oleh refleksi terhadap sumbu X, dilanjutkan translasi adalah y = x 2 – 2. Persamaan kurva semula adalah…. 32

Pembahasan Refleksi terhadap sumbu x x’ = x y’ = -y Dilanjutkan dengan translasi: x” = x’ + 2 = x + 2 y” = y’ + 3 = -y + 3 33

x” = x + 2 dan y” = -y + 3 disubtitusikan ke: y” = (x”)2 – 2 -y + 3 = (x + 2)2 – 2 -y = x 2 + 4 x + 4 – 2 – 3 -y = x 2 + 4 x – 1 Jadi persamaan kurva semula: y = -x 2 – 4 x +1 34

Soal 9 Persamaan peta garis 3 x – 4 y = 12 karena refleksi terhadap garis y – x = 0, dilanjutkan oleh transformasi yang bersesuaian dengan matriks adalah…. 35

Pembahasan y=x 3 x – 4 y = 12 3 y – 4 x = 12 Dilanjutkan transformasi: → x’ = -3 x + 5 y y’ = -x + y x 1 x’ = -3 x + 5 y x 3 3 y’ =-3 x + 3 y 36

x’ = -3 x + 5 y 3 y’ = -3 x + 3 y x’ -3 y’ = 2 y diperoleh: Disubstitusi ke 3 y – 4 x = 12 37

Disubstitusi ke: 3 y – 4 x = 12 diperoleh: ruas kiri dan kanan dikali 2 3 x’ – 9 y’ – 4 x’ + 20 y’ = 24 -x’ + 11 y = 24 Jadi petanya adalah 11 y – x = 24 38

Soal 10 Parabola dengan titik puncak (1, 2) dan fokus (1, 4) dicerminkan terhadap garis x = 5, kemudian dilanjutkan dengan transformasi putaran dengan pusat O(0, 0) sejauh 90 o berlawanan arah jarum jam. Persamaan peta kurva tersebut adalah…. 39

Pembahasan M (x, y) x=m x) Pusat (1, 2) M x=5 (1, 2) Fokus M (1, 4) x=5 (1, 4) R +90 (2 m – x, y) P’(9 , 2) F’(9, 4) R +90 o (-y, 2 m – o P”(-2, 9) o F”(-4, 9) Kurva tersebut puncaknya di P”(-2, 9) dan fokusnya di F”(-4, 9) 40

Kurva yang puncaknya di P”(-2, 9) dan fokusnya di F”(-4, 9) adalah parabola yang terbuka ke kiri dan p = jarak puncak ke fokus = 2, sehingga persamaanya (y – b)2 = -4 p(x – a) (y – 9)2 = -4. 2(x – (-2)) (y – 9)2 = -8(x + 2) Jadi persamaanya: y 2 – 18 y + 8 x + 97 = 041

42