1 Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan

1

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan persamaan lingkaran yang memenuhi kriteria tertentu 2

Lingkaran tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap suatu titik tetap. Jarak yang sama itu disebut jari-jari dan titik tetap itu disebut pusat lingkaran 3

Persamaan Lingkaran Pusat O(0, 0) dan jari-jari r y r O P(x, y) x x x 2 + y 2 = r 2 r = jari-jari 4

Soal 1 Persamaan lingkaran pusatnya di O(0, 0) dan jari-jari: a. r = 5 adalah x 2 + y 2 = 25 b. r = 2½ adalah x 2 + y 2 = 6¼ c. r = 1, 1 adalah x 2 + y 2 = 1, 21 d. r = √ 3 adalah x 2 + y 2 = 3 5

Soal 2 Persamaan lingkaran pusat O(0, 0) dan melalui titik (3, -1) adalah…. 6

Penyelesaian Misal persamaan lingkaran yang berpusat di O(0, 0) dan jari-jari r adalah x 2 + y 2 = r 2 melalui (3, -1) → 32 + (-1)2 = r 2 = 9 + 1 = 10 Jadi, persamaan lingkarannya adalah x 2 + y 2 = 10 7

Soal 3 Pusat dan jari-jari lingkaran: a. x 2 + y 2 = 16 adalah… jawab: pusat O(0, 0) dan r = 4 b. x 2 + y 2 = 2¼ adalah… jawab: pusat O(0, 0) dan r = 1½ c. x 2 + y 2 = 5 adalah… jawab: pusat O(0, 0) dan r = √ 5 8

Soal 4 Persamaan lingkaran yang sepusat dengan lingkaran x 2 + y 2 = 144 tetapi panjang jari-jarinya setengah dari panjang jari-jari lingkaran tersebut adalah…. 9

Penyelesaian Lingkaran x 2 + y 2 = 144 pusatnya O(0, 0) dan jari-jarinya r = √ 144 = 12 → ½r = 6 Persamaan lingkaran yang pusatnya O(0, 0) dan jari-jarinya r = 6 adalah x 2 + y 2 = 62 x 2 + y 2 = 36 10

Soal 5 Jika titik (2 a, -5) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 = 41 maka nilai a adalah…. 11

Penyelesaian Titik (2 a, -5) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 = 41, berarti (2 a)2 + (-5)2 = 41 4 a 2 + 25 = 41 4 a 2 = 41 – 25 = 16 a = 4 → a = 2 atau a = -2 12

Soal 6 Persamaan lingkaran yang koordinat ujung-ujung diameternya A(2, -1) dan B(-2, 1) adalah…. 13

Penyelesaian B(-2, 1) dia me te r A(2, -1) Diameter = panjang AB = = 14

Diameter = panjang AB = 2√ 5 Jari-jari = ½ x diameter = ½ x 2√ 5 = √ 5 15

B(-2, 1) Pusat A(2, -1) Koordinat pusat = = (0, 0) 16

Jadi, persamaan lingkarang yang jari-jari = √ 5 dan pusat (0, 0) adalah x 2 + y 2 = (√ 5)2 x 2 + y 2 = 5 17

Persamaan Lingkaran Pusat (a, b) dan jari-jari r y (a, b) b (0, 0) a x (x – a)2 + (y - b)2 = r 2 Pusat lingkaran (a, b) , r = jari-jari 18

Soal 1 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran a. (x – 3)2 + (y – 7)2 = 9 jawab: pusat di (3, 7) dan jari-jari r = √ 9 = 3 b. (x – 8)2 + (y + 5)2 = 6 jawab: pusat di (8, -5) dan jari- jari r = √ 6 19

Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran c. (x + 3)2 + (y – 5)2 = 24 jawab: pusat di (-3, 5) dan jari-jari r = √ 24 = 2√ 6 d. x 2 + (y + 6)2 = ¼ jawab: pusat di (0, -6) dan jari- jari r = √¼ = ½ 20

Soal 2 Persamaan lingkaran, pusat di (1, 5) dan jari-jarinya 3 adalah …. Penyelesaian: (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 ▪ Pusat (1, 5) → a = 1 dan b = 5 ▪ Jari-jari r = 3 → r 2 = 9 Persamaannya (x – 1)2 + (y – 5)2 = 9 21

Soal 3 Persamaan lingkaran, pusat di (-1, 0) dan jari-jarinya 3√ 2 adalah …. Penyelesaian: (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 ▪ Pusat (-1, 0) → a = -1 dan b = 0 ▪ Jari-jari r = 3√ 2 → r 2 = (3√ 2)2 = 18 Persamaannya: (x + 1)2 + y 2 = 18 22

Soal 4 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (-2, -7) dan melalui titik (10, 2) adalah …. 23

A(10, 2) r P(-2, -7) Penyelesaian: Pusat (-2, -7) → a = -2, b = -7 Jari-jari = r = AP AP = r = → r 2 = 225 Jadi, persamaan lingkarannya (x + 2)2 + (y + 7)2 = 225 24

Soal 5 Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (4, -3) dan melalui titik pangkal adalah …. 25

O(0, 0) r P(4, -3) Penyelesaian: Pusat (4, -3) → a = 4, b = -3 Jari-jari = r = OP OP = r = → r 2 = 25 Jadi, persamaan lingkarannya (x - 4)2 + (y + 3)2 = 25 26

Soal 6 Persamaan lingkaran yang berpusat di garis x – y = 1, jari-jari √ 5 dan melalui titik pangkal adalah …. 27

Penyelesaian Misal persamaan lingkarannya (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 ▪ melalui O(0, 0) → x = 0, y = 0 dan jari-jari r = √ 5 → r 2 = 5 disubstitusi ke (x – a)2 + (y – b)2 = r 2 (0 – a)2 + (0 – b)2 = 5 a 2 + b 2 = 5 …. . (1) 28

▪ Pusat (a, b) pada garis x – y = 1 a–b=1→a=b+1 disubstitusi ke a 2 + b 2 = 5 (b + 1)2 + b 2 = 5 b 2 + 2 b + 1 + b 2 = 5 2 b 2 + 2 b – 4 = 0 → b 2 + b – 2 = 0 (b + 2)(b – 1) = 0 b = -2 atau b = 1 29

▪ b = -2 → a = b + 1 = -2 + 1 = -1 diperoleh pusatnya (-1, -2), r = √ 5 Jadi, persamaan lingkarannya (x + 1)2 + (y + 2)2 = 5 ▪ atau b = 1 → a = 1 + 1 = 2 diperoleh pusatnya (2, 1), r = √ 5 Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 1)2 = 5 30

Soal 7 Persamaan lingkaran yang berpusat pada perpotongan garis y = x dengan garis x + 2 y = 6 melalui titik O(0, 0) adalah …. 31

Penyelesaian ▪ pusat pada perpotongan garis y = x dengan garis x + 2 y = 6 substitusi y = x ke x + 2 y = 6 x + 2 x = 6 3 x = 6 → x = 2 → y = 2 → pusat (2, 2) 32

▪ jari-jari = jarak pusat (2, 2) ke O(0, 0) r= 2 = 8 → r = Jadi, persamaan lingkarannya (x – 2)2 + (y – 2)2 = 8 x 2 – 4 x + 4 + y 2 – 4 x + 4 = 8 x 2 + y 2 – 4 x – 4 y = 0 → persamaan lingkaran dalam bentuk umum 33

Persamaan Lingkaran dalam bentuk umum x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0 Pusat (-½A, -½B) r= 34

Soal 1 Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran x 2 + y 2 – 2 x – 6 y – 15 = 0 jawab: A = -2, B = - 6, C = -15 pusat di (-½A, -½B) → (1, 3) jari-jari r = = 35

Soal 2 Tentukan pusat lingkaran 3 x 2 + 3 y 2 – 4 x + 6 y – 12 = 0 jawab: 3 x 2 + 3 y 2 – 4 x + 6 y – 12 = 0 x 2 + y 2 – x + 2 y – 4 = 0 Pusat (-½( – ), -½. 2) Pusat( , – 1) 36

Soal 3 Jika titik (-5, k) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 + 2 x – 5 y – 21 = 0 maka nilai k adalah… 37

Penyelesaian (-5, k) terletak pada lingkaran x 2 + y 2 + 2 x – 5 y – 21 = 0 (-5)2 + k 2 +2(-5) – 5 k – 21 = 0 25 + k 2 – 10 – 5 k – 21 = 0 k 2 – 5 k – 6 = 0 (k – 6)(k + 1) = 0 Jadi, nilai k = 6 atau k = -1 38

Soal 4 Jarak terdekat antara titik (-7, 2) ke lingkaran x 2 + y 2 – 10 x – 14 y – 151 = 0 sama dengan…. 39

Penyelesaian Titik T(-7, 2) disubstitusi ke x 2 + y 2 – 10 x – 14 y – 151 (-7)2 + 22 – 10. (-7) – 14. 2 – 151 49 + 4 + 70 – 28 – 151 = - 56 < 0 berarti titik T(-7, 2) berada di dalam lingkaran 40

Pusat x 2 + y 2 – 10 x – 14 y – 151 = 0 adalah P(-½(-10), -½(-14)) = P(5, 7) Q r T(-7, 2) P(5, 7) QT = PQ - PT = 15 – 13 = 2 Jadi, jarak terdekat adalah 2 41

SELAMAT BELAJAR 42