1 Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menyelesaikan

1

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menyelesaikan persamaan trigonometri dari berbagai bentuk 2

Persamaan Trigonomteri Sederhana 2π 1. sinx = sin , x = + k. 360° 2. k. 360° atau x = (180 - ) + 2π 2. cos x = cos , x = + k. 360° atau x = - + k. 360° 3

π 3. tan x = tan x = + k. 180° dengan x R dan k bilangan bulat 4

Contoh 1: Himpunan penyelesaian sin x = sin 70°, 0° x 360° Jawab: x = 70° + k. 360° k = 0 x = 70° atau x = (180 - 70) + k. 360° x = 110° + k. 360° k = 0 x = 110° Jadi, Hp = {70°, 110°} 5

Contoh 2: Himpunan penyelesaian cos x = cos 24°, dalam interval 0° x 360° Jawab: x = 24° + k. 360° k = 0 x = 24° atau x = -24° + k. 360° k = 1 x = -24° + 360° = 336° Jadi, Hp = {24°, 336°} 6

Contoh 3: Himpunan penyelesaian tan x = tan 56°, dalam interval 0° x 360° Jawab: x = 56° + k. 180° k = 0, x = 56° k = 1 x = 56° + 180° = 236° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 52°, 236°} 7

Persamaan Berbentuk sinpx = a, cospx = a dan tanpx = a diselesaikan dengan cara mengubah ke persamaan sederhana, yaitu dengan merubah ruas kanan (konstanta a) menjadi perbandingan trigonometri yang senama dengan ruas kiri 8

Contoh 1: Himpunan penyelesaian sin 3 x = ½, 0° x 180° Jawab: sin 3 x = sin 30° maka • 3 x = 30° + k. 360° x = 10° + k. 120° k = 0 x = 10° k = 1 x = 10° + 120° = 130° 9

• 3 x = (180 - 30) + k. 360° 3 x = 150° + k. 360° x = 50° + k. 120° k = 0 x = 50° k = 1 x = 50° + 120° = 170° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 10°, 50°, 130°, 170°} 10

Contoh 3: Himpunan penyelesain tan ⅓x = √ 3, 0° x 2π Jawab: tan⅓x = tan ⅓π ⅓x = ⅓π + 2 k. π x = π + 6 k. π k = 0, x = π Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { π } 13

Contoh 4: Himpunan penyelesaian 2 cos x + 1= 0 , 0° x 360° Jawab: 2 cosx + 1 = 0 2 cosx = -1 cosx = -½ x = 120°, 210° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {120°, 210°} 14

Persamaan Trigonometri yang memuat Jumlah atau Selisih sinus atau kosinus Menggunakan rumus: sin. A + sin. B = 2 sin½(A + B)cos½(A – B) sin. A – sin. B = 2 cos½(A + B)sin½(A – B) cos. A + cos. B= 2 cos½(A + B)cos½(A – B) cos. A – cos. B=-2 sin½(A + B)sin½(A – B) 15

Contoh 1: Himpunan penyelesaian sin 3 x + sinx = 0, 0° x 180° Jawab: sin 3 x + sinx = 0 2 sin½(3 x + x). cos½(3 x - x) = 0 2 sin 2 x. cosx = 0 sin 2 x = 0 atau cosx = 0 16

sin 2 x = 0 atau cosx = 0 • dari sin 2 x = 0 sin 2 x = sin 0° diperoleh 2 x = 0° + k. 360° x = 0° + k. 180° k = 0 x = 0° k = 1 x = 180° • dari cosx = 0 cosx = cos 90° diperoleh x = 90° + k. 360° 17

• dari cosx = 0 cos x = cos 90° diperoleh x = 90° + k. 360° k = 0 x = 90° atau x = -90° + k. 360° tidak ada harga x yang memenuhi Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 90°, 180°} 18

Contoh 2: Himpunan penyelesaian sin 3 x - sinx + cos 2 x = 0, 0 x 2π Jawab: (sin 3 x – sinx) + cos 2 x = 0 2 cos½(3 x + x). sin½(3 x - x) + cos 2 x= 0 2 cos 2 x. sinx + cos 2 x = 0 cos 2 x (2 sinx + 1) = 0 19

cos 2 x (2 sinx + 1) = 0 cos 2 x = 0 atau 2 sinx + 1 = 0 dari cos 2 x = 0 cos 2 x = cos½π ü 2 x = ½π + 2 kπ x = ¼π + kπ k = 0 x = ¼π k = 1 x = ¼π + π = 1¼π ü 2 x = -½π + 2 kπ 20

Contoh 3: Himpunan penyelesaian sin(x + 60°) + sin(x - 30°) = ½√ 2, dalam interval 0° x 360° Jawab: sin(x + 60°) + sin(x - 30°) = ½√ 2 2 sin½{(x + 60°) + (x - 30°)} x cos½{(x + 60°) – (x – 30°)} = ½√ 2 22

2 sin½{(x + 60°) + (x - 30°)} x cos½{(x + 60°) – (x – 30°)} = ½√ 2 2 sin½(2 x + 30°)cos½(90°) = ½√ 2 2 sin(x + 15°)cos 45° = ½√ 2 1 2 sin(x + 15°). ½√ 2 = ½√ 2 sin(x + 15°) = ½ sin(x + 15°) = sin 30° • x + 15° = 30° + k. 360° 23

sin(x + 15°) = sin 30° • x + 15° = 30° + k. 360° x = 15° + k. 360° k = 0 x = 15° • x + 15° = (180° – 30°) + k. 360° x = 150° – 15° + k. 360° k = 0 x = 135° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 15°, 135°} 24

Contoh 4: Himpunan penyelesaian cos(x + 65°) + cos(x - 25°) = ½√ 2, dalam interval 0° x 360° Jawab: cos(x + 65°) + cos(x - 25°) = ½√ 2 2 cos½{(x + 65°) + (x - 25°)} x cos½{(x + 65°) – (x – 25°)} = ½√ 2 25

2 cos½{(x + 65°) + (x - 25°)} x cos½{(x + 65°) – (x – 25°)} = ½√ 2 2 cos½(2 x + 40°)cos½(90°) = ½√ 2 2 cos(x + 20°)cos 45°=½√ 2 1 2 cos(x + 20°). ½√ 2 = ½√ 2 cos(x + 20°) = ½ cos(x + 20°) = cos 60° x + 20° = 60° + k. 360° 26

cos(x + 20°) = cos 60° • x + 20° = 60° + k. 360° x = 40° + k. 360° k = 0 x = 40° • x + 20 = - 60° + k. 360° x = - 80° + k. 360° k = 1 x = -80° + 360° x = 280° Jadi, Hp = { 40°, 280°} 27

Persamaan Trigonometri yang berbentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan Langkah-langkahnya: 1. Langsung difaktorkan bila sudah 2. berbentuk persamaan kuadrat 3. dalam sin , cos atau tan. 28

Langkah ke-2 2. Bila belum berbentuk persamaan kuadrat dalam sin , cos atau tan, ubah dulu ke bentuk persamaan kuadrat dalam sin, cos atau tan, dengan menggunakan: 1. Rumus trigonometri sederhana 2. Rumus trigonomteri sudut rangkap 29

Contoh 1: Himpunan penyelesaian 2 sin 2 x + 3 sinx – 2 = 0, 0° x 360° Jawab: 2 sin 2 x + 3 sinx – 2 = 0 (2 sinx – 1)(sinx + 2) = 0 2 sin x – 1 = 0 atau sinx + 2 = 0 • 2 sin x – 1 = 0 2 sinx = 1 sinx = ½ 30

sinx = ½ sinx = sin 30° Ø x = 30° + k. 360° k = 0 x = 30° Ø x = (180° – 30°) + k. 360° x = 150° + k. 360° k = 0 x = 150° • Untuk sinx + 2 = 0, sin x = -2 tidak ada nilai x yang memenuhi. Jadi, Hp = { 30°, 150°} 31

Contoh 2: Himpunan penyelesaian cos 2 x + 2 cosx = 3, 0° x 360° Jawab: cos 2 x + 2 cosx = 3 cos 2 x + 2 cosx – 3 = 0 (cosx + 3)(cosx – 1) = 0 • cosx + 3 = 0 cosx = -3 tidak ada harga x yang memnuhi 32

(cosx + 3)(cosx – 1) = 0 • cosx - 1= 0 cosx = 1 x = 0°, 360° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 360°} 33

Contoh 3: Himpunan penyelesaian tan 2 x – 3 = 0, 0° x 360° Jawab: tan 2 x – 3 = 0 (tanx + √ 3)(tan - √ 3) = 0 • tanx + √ 3 = 0 tanx = -√ 3 x = 120°, 300° 34

(tanx + √ 3)(tan - √ 3) = 0 tanx - √ 3 = 0 tanx = √ 3 x = 60°, 240° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 240°, 300°} 35

Contoh 4: Himpunan penyelesaian cos 2 x – sinx = 1, 0° x 360° Jawab: cos 2 x – sinx = 1 1 - 2 sin 2 x – sinx = 1 sinx(- 2 sinx – 1) = 0 sinx = 0 atau -2 sinx – 1 = 0 • sin x = 0°, 180°, 360° • -2 sinx – 1 = 0 -2 sinx = 1 36

-2 sinx – 1 = 0 -2 sinx = 1 sinx = -½ x = 210°, 330° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah { 0°, 180°, 210°, 330°, 360°} 37

Contoh 5: Himpunan penyelesaian cos 2 x – 3 cosx + 2 = 0, 0° x 360° Jawab: cos 2 x – 3 cosx +2 = 0 2 cos 2 x – 1 – 3 cosx + 2 = 0 2 cos 2 x – 3 cosx + 1 = 0 (2 cosx – 1)(cosx – 1) = 0 • 2 cosx – 1 = 0 2 cosx = 1 cosx = ½ 38

(2 cosx – 1)(cosx – 1) = 0 cosx = ½ x = 60°, 300° cosx – 1 = 0 cosx = 1 x = 0°, 360° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {0°, 60°, 300°, 360°} 39

Contoh 6: Himpunan penyelesaian sin 4 x + sin 2 x = 0, 0° x 360° Jawab: sin 4 x + sin 2 x = 0 2 sin 2 xcos 2 x + sin 2 x = 0 sin 2 x(cos 2 x + 1) = 0 • sin 2 x = 0 2 x = k. 360° x = k. 180° 40

sin 2 x(cos 2 x + 1) = 0 • sin 2 x = 0 2 x = k. 360° x = k. 180° x = 0°, 180°, 360° • cos 2 x + 1 = 0 cos 2 x = -½ 2 x = 120° + k. 360° x = 60° + k. 180° x = 60°, 240° 41

x = -60° + k. 180° x = 120°, 300° Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {60°, 120°, 180°, 240°, 300°, 360°} 42

SELAMAT BELAJAR 43