Il piano cartesiano Sistema di riferimento sulla retta

Il piano cartesiano Sistema di riferimento sulla retta I punti di una retta orientata, una volta fissato un segmento di lunghezza unitaria, sono in corrispondenza biunivoca con i numeri reali. Se a è il numero associato al punto P, questa corrispondenza si evidenzia scrivendo P(a) e si dice che P ha ascissa a. A O B C u A (-3) B (+2) − 3 0 +2 + 9 2 C (+ 9 ) 2 1

Il piano cartesiano Sistema di riferimento sulla retta Un segmento AB su una retta è individuato dai suoi punti estremi. La sua misura si determina calcolando la differenza fra le ascisse dei suoi punti estremi A e B, presi in un ordine qualsiasi, e considerandone poi il valore assoluto in modo da garantire la positività del risultato. Se A(x. A) e B(x. B), la misura di AB è data dalla relazione AB = |x. A – x. B| = |x. B – x. A| ESEMPI Se A(+4) e B(− 2), allora AB = |− 2 – (+4)| = |+4 – (− 2)| = 6 Se A(− 3) e B(− 8), allora AB = |− 8 – (− 3)| = |− 3 – (− 8)| = 5 2

Il piano cartesiano Sistema di riferimento sulla retta Il punto medio M di un segmento è il punto per il quale si verifica che AM A M B r x. A x. M x. B Se A(x. A) e B(x. B) si ha che: Quindi ≅ MB. AM = x. M – x. A e MB = x. B − x. M = x. M − x. A = x. B − x. M , cioè risolvendo rispetto a x. M x. A + x. B 2 Possiamo allora concludere che l’ascissa del punto medio di un segmento AB è data dalla semisomma delle ascisse dei suoi estremi. ESEMPIO Se A(+2) e B(− 7), allora x. M = +2 − 7 2 =− 5 2 3

Il piano cartesiano Sistema di riferimento nel piano I punti del piano cartesiano sono in corrispondenza biunivoca con le coppie ordinate (x, y) di numeri reali. s 6 5 Consideriamo due rette orientate qualsiasi r e s, incidenti, distinte e perpendicolari. 4 3 2 1 -1 -1 O 1 2 3 4 5 6 r Fissiamo su ciascuna di esse un sistema di ascisse in modo che il punto origine O sia il loro punto di intersezione e supponiamo che l’unità di misura sia la stessa su entrambe le rette. 4

Il piano cartesiano Sistema di riferimento nel piano Da un punto qualunque P del piano, tracciamo le parallele ad r e s che le incontrano rispettivamente nel punto P’ associato al numero x e nel punto P” associato al numero y. Viceversa assegnati un punto P’ di ascissa x sulla retta r ed un punto P’’ di ascissa y sulla retta s e tracciate da essi le parallele ad s e r, si viene ad individuare come loro intersezione un unico punto P. s P’’(y) P r O P’(x) La coppia ordinata (x, y) di numeri reali rappresenta le coordinate del punto P e si scrive P(x, y) 5

Il piano cartesiano Sistema di riferimento nel piano L’asse r viene detto asse delle ascisse (asse x) L’asse s viene detto asse delle ordinate (asse y) Questi due assi perpendicolari definiscono un sistema di riferimento cartesiano ortogonale. asse delle ordinate y x asse delle ascisse O y I Quadrante Il piano cartesiano viene diviso in quattro quadranti. O III Quadrante x IV Quadrante 6

Il piano cartesiano Sistema di riferimento nel piano I segni delle coordinate dei punti nel piano cartesiano variano a seconda della posizione del punto. u y D (− 4, 3) A (3, 2) O x C (− 2, − 1) B (2, − 7 2 ) 7

Il piano cartesiano Dati nel piano cartesiano due punti A(x. A, y. A) e B(x. B, y. B), la misura del segmento AB è data dalla formula: Segmenti y B y. B AB = √(x. B – x. A)2 + (y. B – y. A)2 y. A A C x O x. A x. B ESEMPIO A(− 2, 1) ; B(3, 4) 8

Il piano cartesiano Segmenti y In particolare: • se il segmento AB è parallelo all’asse delle ascisse y. A = y. B AB = |x. B – x. A| x O x. A x. B ESEMPIO A(3, 2) ; B(− 5, 2) AB = |− 5 − 3| = 8 9

Il piano cartesiano Segmenti y • se il segmento AB è parallelo all’asse delle ordinate y. B B y. A A AB = |y. B – y. A| x O x. A = x. B ESEMPIO A(3, − 4) ; B(3, 7) AB = |7 − (− 4)| = 11 10

Il piano cartesiano Segmenti Dati i punti A(x. A, y. A) e B(x. B, y. B), le coordinate del loro punto medio M sono date dalla formula: y B y. B x. M = x. A + x. B 2 y. M = y. A + y. B M y. M 2 y. A A x O x. A x. M x. B ESEMPIO 11

Il piano cartesiano Isometrie Un’isometria è una funzione che ad ogni punto del piano fa corrispondere un altro punto in modo che a segmenti congruenti corrispondano segmenti congruenti. • La simmetria assiale Data una retta r, la simmetria assiale di asse r è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P’ in modo che r sia l’asse del segmento PP’; del punto P’ si dice che è il simmetrico di P. In pratica, per trovare il simmetrico di un punto P rispetto a r si traccia da P la perpendicolare a r che la incontra in H e si prende su di essa, da parte opposta rispetto a r, il punto P’ in modo che sia PH ≅ P’H. 12

Il piano cartesiano Isometrie • Simmetrie assiali nel piano cartesiano - Simmetria rispetto all’asse x - Simmetria rispetto all’asse y ESEMPIO I simmetrici del punto P(− 1, 2) rispetto all’asse x e all’asse y sono P’(− 1, − 2) e P’’(1, 2). 13

Il piano cartesiano Isometrie • La simmetria centrale Dato un punto A, la simmetria di centro A è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P’ in modo che A sia il punto medio de segmento PP’. In pratica per trovare il simmetrico di un punto P rispetto al centro A si traccia da P la semiretta PA e si prende su di essa, da parte opposta rispetto a A, il punto P’ in modo che sia PA ≅ P’A. 14

Il piano cartesiano Isometrie • Simmetria centrale nel piano cartesiano - Simmetria rispetto all’origine - Simmetria rispetto al punto A(a, b) ESEMPIO Dato il punto P(5, − 4): • il suo simmetrico rispetto all’origine è il punto P’(-5, 4) • il suo simmetrico rispetto ad A(− 1, 2) ha coordinate: 15

Il piano cartesiano Isometrie • La traslazione Dato un segmento orientato v, la traslazione è la funzione che ad ogni punto P del piano fa corrispondere il punto P’ in modo che il segmento v abbia il primo estremo in P ed il secondo in P’. Un segmento orientato del piano si chiama anche vettore; un vettore si individua facilmente mediante le sue componenti lungo gli assi cartesiani, che sono i segmenti orientati vx e vy che si ottengono proiettando il vettore v su tali assi o su due rette ad essi parallele; se A(x 1, y 1) e B(x 2, y 2) sono rispettivamente il primo e il secondo estremo del vettore, si ha che: e si scrive ESEMPIO Il vettore v = AB con A(3, − 1) e B(− 2, 4) ha componenti vx = − 2 − 3 = − 5 e vy = 4 + 1 = 5, cioè v (− 5, 5), 16

Il piano cartesiano Isometrie • La traslazione nel piano cartesiano Dato un vettore v di componenti (vx, vy) ed un punto P(x, y) del piano, le coordinate del punto P’ ad esso corrispondente nella traslazione di vettore v si ottengono aggiungendo vx e vy rispettivamente alla sua ascissa e alla sua ordinata: ESEMPIO La traslazione di vettore v(− 5, 3) trasforma il punto P(1, − 4) nel punto P’ di coordinate: ascissa: 1 − 5 = − 4 ordinata: − 4 + 3 = − 1 P’(− 4, − 1) 17

Il piano cartesiano La retta • I punti che appartengono all’asse x hanno ascissa variabile ma ordinata sempre uguale a zero. equazione asse x: • I punti che appartengono all’asse y hanno ordinata variabile ma ascissa sempre uguale a zero. equazione asse y: 18

Il piano cartesiano La retta Analogamente: • L’equazione di una retta parallela all’asse x è: • L’equazione di una retta parallela all’asse y è: 19

Il piano cartesiano La retta L’equazione di una retta passante per l’origine. Per i punti A, B, C, . . . che appartengono ad una retta per l’origine O, il rapporto è costante. Indicata con m tale costante si ha: o anche: coefficiente angolare 20

Il piano cartesiano La retta L’equazione di una retta non passante per l’origine. In questo caso è il rapporto costante: che si mantiene Una retta di questo tipo ha equazione: coefficiente angolare ordinata all’origine 21

Il piano cartesiano La retta Significato geometrico di m. rappresenta la pendenza della retta (rispetto all’asse x) 22

Il piano cartesiano La retta Rette significative passanti per l’origine sono le seguenti: • bisettrice del primo e terzo quadrante • bisettrice del secondo e quarto quadrante 23

Il piano cartesiano La retta Significato geometrico di q. Nell’equazione per x = 0 si ottiene y = q Il punto di coordinate (0; q) rappresenta il punto di intersezione tra la retta e l’asse delle y. q si dice ordinata all’origine. 24

Il piano cartesiano La retta L’equazione generale della retta può essere espressa: • in forma esplicita: • in forma implicita: ESEMPI L’equazione Viceversa (forma esplicita) può essere scritta in forma implicita: (forma implicita) può essere scritta in forma esplicita: 25

Il piano cartesiano La retta • Nel caso b ≠ 0 le relazioni che legano la forma esplicita a quella implicita sono: e ESEMPIO Data la retta di equazione Il coefficiente angolare è L’ordinata all’origine è • Nel caso b = 0 l’equazione diventa: che individua una retta parallela all’asse y. In tal caso non si può definire il coefficiente angolare. 26

Il piano cartesiano La retta Il grafico di una retta, così come quello di una qualsiasi curva, è costituito da tutti e soli i punti le cui coordinate ne soddisfano l’equazione. Sappiamo che per due punti del piano passa una e una sola retta. Quindi per disegnare la retta di equazione si segue la seguente procedura: • scriviamo l’equazione in forma esplicita • troviamo il primo punto attribuendo il valore 1 alla variabile x: • troviamo il secondo punto attribuendo il valore − 2 a x: x 1 − 2 y 1 − 1 27

Il piano cartesiano La retta • Per scrivere l’equazione di una retta che passa per un punto P(x 0, y 0) dato e che ha coefficiente angolare m noto, si usa la formula: ESEMPIO La retta passante per A(2, − 3) di coefficiente angolare m = 4 ha equazione: in forma esplicita in forma implicita 28

Il piano cartesiano La retta • Per scrivere l’equazione della retta che passa per i punti A(x 1, y 1) e B(x 2, y 2) si usa la formula: ESEMPIO La retta passante per A(1, − 3) e B(3, − 2) ha equazione Calcolando si ottiene 29

Il piano cartesiano Date due rette La retta e • La condizione di parallelismo è • La condizione di perpendicolarità è cioè ESEMPIO La retta r di equazione 3 x − 2 y + 1 = 0 è parallela alla retta s di equazione 6 x − 4 y − 5 = 0 Infatti La retta r è perpendicolare alla retta t di equazione Infatti 30

Il piano cartesiano La retta Per studiare la posizione reciproca di due rette: si considera il sistema lineare formato dalle loro equazioni Si possono presentare i seguenti casi: Rette incidenti nel punto P Sistema determinato Rette parallele Sistema impossibile Rette coincidenti Sistema indeterminato 31

Il piano cartesiano La retta La distanza di un punto da una retta è il segmento di perpendicolare condotto dal punto alla retta. Se P ha coordinate (x 0, y 0) e ax + by + c = 0 è l’equazione della retta r in forma implicita, è possibile calcolare tale distanza, d (P, r), con la formula: ESEMPIO 32

Il piano cartesiano I fasci di rette I Fasci di rette • Fascio proprio: insieme di tutte e sole le rette che passano per un punto P assegnato. : centro del fascio Equazione del fascio: ESEMPIO Equazione del fascio proprio di centro 33

Il piano cartesiano I fasci di rette • Fascio improprio: insieme di tutte e sole le rette parallele a una retta data. L’equazione di questo fascio ha un coefficiente angolare fisso e un’ordinata all’origine variabile. ESEMPIO Il fascio di rette parallele a quella di equazione ha equazione Al variare di k le rette del fascio hanno tutte lo stesso coefficiente angolare. 34