Piano cartesiano e retta Bergamini Barozzi Trifone La

Piano cartesiano e retta Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 1

Punti nel piano cartesiano Un sistema di assi cartesiani è dato due rette orientate perpendicolari. Le rette sono l’asse delle ascisse (asse x), e l’asse delle ordinate (asse y). Il loro punto di intersezione O è l’origine. Ogni punto P del piano è rappresentato da una coppia ordinata di numeri reali (x. P; y. P) e viceversa. x. P e y. P sono le coordinate del punto. La distanza fra A(x. A; y. A) e B(x. B; y. B) è: ● se y. A = y. B; ● se x. A = x. B; ● in generale per il teorema di Pitagora. Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 2

Punto medio e baricentro Dati i punti (x. A; y. A) e B(x. B; y. B), il punto medio M del segmento AB ha coordinate: La formula è conseguenza del teorema di Talete. Il baricentro G di un triangolo è il punto di incontro delle tre mediane. Ogni mediana è divisa da G in due parti, una lunga il doppio dell’altra. Dato un triangolo di vertici A(x. A; y. A), B(x. B; y. B), C(x. C; y. C), le coordinate del suo baricentro G sono espresse dalle formule: Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 3

Equazione della retta A ogni retta corrisponde un’equazione lineare in due variabili del tipo ax + by + c = 0, con a, b, c ∈ e a e b non entrambi nulli. Tale equazione viene detta equazione della retta in forma implicita. Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 4

Retta non parallela all’asse y Esplicitiamo y nell’equazione generale della retta ax + by + c = 0: Con b ≠ 0 si esclude il caso ax + c = 0 di una retta parallela all’asse y. Ponendo , si ottiene l’equazione della retta in forma esplicita. m è il coefficiente angolare della retta. q è detto termine noto o ordinata all’origine. q è l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y. Se q = 0, la retta passa per l’origine. Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 5

Rette passanti per punti L’equazione di una retta passante per un punto P(x 1; y 1) e di coefficiente angolare m è: L’equazione di una retta passante per P(x 1; y 1) e Q(x 2; y 2) con x 1 ≠ x 2 e y 1 ≠ y 2 è: ESEMPIO Ricaviamo l’equazione della retta passante per (− 1; 2) e (3; 1). Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 6

Posizione reciproca di due rette Due rette sono incidenti o parallele distinte o parallele coincidenti. La posizione reciproca è legata al sistema delle equazioni delle rette Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 7

Rette parallele e perpendicolari TEOREMA Due rette r e s di equazioni y = mx + q e y = m 1 x + q 1, sono parallele se e solo se hanno lo stesso coefficiente angolare: r // s ↔� m = m 1 ↔� ab 1 − a 1 b = 0. TEOREMA Due rette r e s di equazioni y = mx + q e y = m 1 x + q 1, sono perpendicolari se e solo se il prodotto dei loro coefficienti angolari è − 1: r �s ↔� mm 1 = − 1 ↔� aa 1 + bb 1 = 0. Le formule che sfruttano i coefficienti delle rette in forma implicita r: ax + by + c = 0, s: a 1 x + b 1 y + c 1 = 0, valgono anche se le rette r e s sono parallele all’asse y. Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 8

Distanza di un punto da una retta La perpendicolare a una retta r per il punto P(x 0; y 0) interseca r in H. La misura del segmento PH è la distanza del punto P dalla retta r. Se r è parallela all’asse x o all’asse y, la distanza di P da r è il valore assoluto della differenza delle ordinate o delle ascisse di P e H. In generale, la distanza d di P(x 0; y 0) dalla retta ax + by + c = 0 è: Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 9

Fasci di rette Il fascio improprio di rette parallele a r è l’insieme di tutte le rette parallele alla retta r. Se r non è parallela all’asse y, il fascio ha equazione y = mx + q, con m fisso e q variabile da retta. Se r è parallela all’asse y, l’equazione è x = k. Il fascio proprio di rette per P è l’insieme di tutte le rette passanti per uno stesso punto P. Il fascio di rette proprio di centro P(x 1; y 1) è descritto dalle equazioni: Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 10

Fasci generati da due rette Date le rette r: ax + by + c = 0 e s: a’x + b’y + c’ = 0 che si incontrano nel punto C(x 1; y 1), si può dimostrare che le equazioni di tutte le rette del fascio proprio per C si ottengono dalla combinazione lineare: con p, q ∈ non entrambi nulli. Le rette r e s vengono dette generatrici del fascio. Supposto p ≠ 0, possiamo dividere entrambi i membri della combinazione lineare per p e, ponendo , otteniamo: s non corrisponde ad alcun valore di k, ma è l’unica retta esclusa. Se r e s non sono incidenti la formula rappresenta un fascio improprio. Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 11

ESERCIZIO Area di un triangolo Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio ©

ESERCIZIO Fasci generati da due rette Bergamini, Barozzi, Trifone – La matematica del triennio © Zanichelli 2019 -2020 13