L IPERBOLE 1 ARGOMENTI TRATTATI 1 Lequazione canonica

L’ IPERBOLE 1

ARGOMENTI TRATTATI 1. L’equazione canonica dell’iperbole 2. Questioni basilari 3. Questioni relative alle rette tangenti 4. Curve deducibili dall’iperbole 5. La funzione omografica 6. Discussione di sistemi di 2° grado con parametro 7. Proprietà ottica dell’iperbole 2

L’EQUAZIONE CANONICA DELL’IPERBOLE Definizione Si dice iperbole I il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la differenza delle distanze di P da due punti distinti F 1 ed F 2, detti fuochi. Da questa definizione, ponendoci in un opportuno riferimento cartesiano, possiamo ricavare l’equazione canonica dell’iperbole. Siano F 1(- c ; 0 ) e F 2(c ; 0 ), con c reale positivo, i fuochi e P(x; y) un generico punto P della I. Tali punti devono soddisfare la condizione dettata dalla definizione, cioè: 3

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Osservazioni e altre definizioni a. Gli insiemi d’appartenenza di x e y indicano che l’iperbole è una curva illimitata, cioè le coordinate dei suoi punti possono assumere valori comunque grandi. b. L’iperbole è una curva che ha due asintoti di equazione y = ± (b/a)x. c. Per tracciare il grafico è conveniente tracciare il rettangolo come in figura, avente i lati lunghi 2 a e 2 b, i vertici di coordinate (-a; -b); (a; b); (-a; b) e le diagonali appartenenti agli asintoti. d. Il segmento F 1 F 2 si chiama distanza focale e misura 2 c. e. Simmetrie nell’iperbole con equazione canonica: F(-x; -y) = F(x; y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria centrale, con centro O(0; 0); F(-x; y) = F(x; y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle y ; F(x; -y) = F(x; y), quindi l’iperbole è una curva a simmetria assiale, con asse di simm. l’asse delle x. f. Considerazione sul grafico per ricordare la relazione c 2 – a 2 = b 2 oppure c 2 = a 2 + b 2 : applicare il teorema di Pitagora sul triangolo OA 2 H. g. Coordinate dei fuochi di un’iperbole di equazione nota: se sono noti a e b, allora e i fuochi hanno coordinate F 1(-c ; 0), F 2(c ; 0), oppure F 1(0 ; -c ), F 2(0 ; c). h. Se a = b l’iperbole si dice equilatera; il rettangolo del punto ‘c’ diventa un quadrato e gli asintoti hanno equazione y = ± x. i. Eccentricità ‘e’. Il rapporto fra la distanza focale e la distanza fra i vertici di un’iperbole è detto eccentricità: 7

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QUESTIONI BASILARI 1. Date le seguenti equazioni canoniche di iperboli, traccia i grafici corrispondenti, dopo aver determinato le coordinate dei vertici e dei fuochi, l’asse trasverso, l’eccentricità, gli asintoti. 9

1. Dato il fascio di curve di equazione: kx 2 + (2 - 3 k )y 2 = 1 , determinare per quali valori di k l’equazione rappresenta: a) b) c) d) e) con k R - {0 ; 2/3}, un’ellisse ; una circonferenza ; un’iperbole con i fuochi sull’asse x ; un’iperbole con i fuochi sull’asse y ; un’iperbole equilatera. 10

3. PROBLEMA RICORRENTE: determinare l’equazione di un’iperbole. Facendo riferimento all’equazione canonica, determinare l’equazione di un’iperbole significa determinare i due coefficienti a, b. Pertanto il problema deve fornire due condizioni tra loro indipendenti, da cui ricavare due equazioni indipendenti. Alcune di tali condizioni sono, per esempio: • • • conosco a o b/a (coordinate dei vertici o lunghezza del semiasse trasverso o equazione asintoti) conosco c (coordinate dei fuochi) passaggio per un dato punto P(xp ; yp) (xp)2 /a 2 - (yp)2 / b 2 = ± 1 conosco l’eccentricità e = c/a o e = c/b tangenza ad una retta di nota equazione y = mx +q vedi Iperbole tangente ad una retta. 11

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QUESTIONI RELATIVE ALLE RETTE TANGENTI Analizziamo questi due problemi: 1. 2. determinare le equazioni delle rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto di note coordinate; determinare l’equazione dell’iperbole tangente ad una retta di nota equazione. 1. Rette tangenti all’iperbole, condotte da un punto P Questi problemi si possono trattare, come indicato nel capitolo 9 delle coniche, con il metodo del discriminante nullo, o con il metodo delle formule di sdoppiamento. Di solito conviene applicare il metodo delle formule di sdoppiamento se il punto P appartiene all’iperbole. Esempi a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x 2 - 9 y 2 = 9 e parallele alla bisettrice del 2° e 4° quadrante. 13

a. Determina l’equazione della retta tangente all’iperbole di equaz. 16 x 2 - 3 y 2 = 1 nel suo punto A, del secondo quadrante, di ascissa -1/2. a. Determina le equazioni delle rette tangenti all’iperbole di equaz. x 2 - 4 y 2 = 9 , condotte dal punto P(9/5; 0). Verifico se P appartiene all’iperbole: 81/ 25 9 P non appartiene all’iperbole, quindi posso avere due soluzioni. 14

Grafici relativi agli esempi 1 a, 1 b, 1 c 15

2. Iperbole tangente ad una retta di nota equazione Esempio 16

CURVE DEDUCIBILI DALL’ IPERBOLE Esplicitando l’equazione di secondo grado x 2/a 2 - y 2/b 2 = ± 1 rispetto alla variabile y e rispetto alla variabile x , si ottengono otto equazioni, quattro per i fuochi sull’asse x e quattro per i fuochi sull’asse y, con coppie di equazioni del tipo 1, 2, 3, 4, scritte sotto. Tali equazioni sono rappresentate graficamente da semiiperboli. 17

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Esempi. Rappresenta graficamente le curve descritte dalle equazioni indicate. 19

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LA FUNZIONE OMOGRAFICA 1. Iperbole equilatera riferita agli asintoti L’equazione canonica dell’iperbole equilatera riferita agli assi di simmetria è x 2 - y 2 = a 2. Mediante una rotazione del sistema di riferimento di un angolo = ± 45° , gli asintoti diventano i nuovi assi cartesiani e l’equazione dell’iperbole diventa xy = k (*) , con k R 0 , x 0 e y 0. (Vedi i grafici in coda al capitolo) 21

Osservazioni 1. L’equazione xy = k , ovvero y = k/x , indica che fra le variabili x e y c’è proporzionalità inversa e k è la costante di proporzionalità. 2. Gli assi di simmetria dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti sono le bisettrici dei quadranti e quindi i fuochi e i vertici appartengono a tali rette. Le coordinate dei vertici reali sono le soluzioni del sistema: 22

Le coordinate dei fuochi sono: 23

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2. Iperbole equilatera traslata – funzione omografica traslata Mediante una traslazione del sistema di riferimento dell’iperbole equilatera riferita agli asintoti si ottiene l’equazione della funzione omografica che ha per grafico una curva non centrata nell’origine: 25

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DISCUSSIONE DI SISTEMI DI 2° GRADO CON PARAMETRO CASO IPERBOLE – RETTA Il parametro del sistema è il parametro che caratterizza il fascio di rette o di circonferenze. Discutere un sistema del tipo (1) o (2), significa determinare, compatibilmente alle eventuali limitazioni, per quali valori del parametro le rette intersecano l’iperbole nel caso (1), o la retta interseca le iperboli nel caso (2). In questo contesto ci occuperemo solo del caso (1). Esempi 29

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PROPRIETA’ OTTICA DELL’IPERBOLE L'iperbole, come l'ellisse, possiede proprietà ottiche. Supponiamo di avere un riflettore di forma iperbolica e poniamo una sorgente luminosa in uno dei due fuochi (F): i raggi vengono riflessi lungo una traiettoria ottenuta congiungendo l'altro fuoco (F’) con il punto di riflessione, si comportano cioè come se provenissero dall'altro fuoco. Specchio iperbolico 32