ITCG MOSE BIANCHI MONZA Intersezioni di un fascio

ITCG MOSE’ BIANCHI MONZA Intersezioni di un fascio di rette improprio con una parabola • Vitalone Marco • A 3 geometri • Anno Scolastico 2000/2001

LA PARABOLA Definizione: La parabola è il luogo geometrico dei punti di un piano equidistanti da un punto fisso F detto fuoco e da una retta d detta direttrice Y P(x, y) PF=PH X F H d La sua equazione è: Y=ax²+bx+c Con a, b, c R

FASCIO DI RETTE IMPROPRIO Definizione Un fascio di rette improprio è un insieme di rette aventi tutte la stessa direzione e quindi lo stesso coefficiente angolare, ovvero un fascio di rette parallele tra loro Y La sua equazione è del tipo: y=mx+q X Con m noto e q variabiale

POSIZIONI RECIPROCHE Una retta rispetto ad una parabola può essere: • Secante • Esterna • Tangente

RETTA SECANTE ALLA PARABOLA La retta ha due dei suoi infiniti punti che appartengono anche alla parabola

RETTA ESTERNA ALLA PARABOLA La retta non ha neanche un punto in comune con la parabola

RETTA TANGENTE ALLA PARABOLA La retta ha uno dei suoi infiniti punti che appartiene anche alla parabola (in realtà si tratta di due punti coincidenti)

COME SI TROVANO LE INTERSEZIONI RETTA-PARABOLA Per determinare le intersezioni tra un fascio di rette e una parabola bisogna risolvere il sistema di secondo grado tra le loro due equazioni. • Se le due soluzioni sono reali e distinte ( >0)la retta è secante la parabola • Se non vi sono soluzioni ( <0)la retta è esterna alla parabola • Se le due soluzioni sono reali e coincidenti ( =0) la retta è tangente la parabola

ESEMPIO Troviamo le rette del fascio y=3 x+2 k che sono secanti, tangenti o esterne alla parabola y=x²+2 x+1 Impostiamo il sistema: Risolvendo il sistema col metodo del confronto otteniamo l’equazione risolvente: x²+2 x+1=3 x+2 k x²-x+1 -2 k=0

Troviamo il discriminante: =1 - 4(1 -2 k) = 1 - 4+8 k = 8 k-3 Consideriamo i tre casi: >0 8 k-3>0 k> Rette secanti =0 <0 8 k-3=0 8 k-3<0 k= k< Retta tangente Rette esterne

Fine