Le equazioni delle bisettrici dei quadranti del piano

Le equazioni delle bisettrici dei quadranti del piano cartesiano Nel 1° e 3° quadrante l’ascissa (x) e l’ordinata (y) di un punto hanno lo stesso segno, quindi: Y=X y 1° 1 -1 3° -1 2 x Il punto (-1; -1) appartiene alla bisettrice del primo e del terzo quadrante. Il punto (2; 1) non appartiene alla bisettrice.

Con considerazioni analoghe, si ricava che alla bisettrice del 2° e 4° quadrante è associata l’equazione Y=-X Tutti i punti di questa bisettrice, e soltanto essi, hanno le coordinate che sono numeri opposti. y Il punto (-1; 1) appartiene alla bisettrice del secondo e quarto quadrante. 2° 1 -1 4° x Vedremo nelle slide successive che, data una qualsiasi retta del piano, le coordinate dei suoi punti, e soltanto esse, soddisfano un’equazione chiamiamo equazione della retta.

L’equazione di una retta generica passante per l’origine Consideriamo i punti A (1; 2) e B (3; 6) e la retta passante per A e B. I due punti hanno ordinata uguale al doppio dell’ascissa quindi la relazione è y=2 x. y 6 B y = 2 x Ogni altra coppia di numeri che soddisfi l’equazione y = 2 x corrisponde a un punto della retta AB. 4 -2 2 1 A O 1 2 3 5 x Fra i punti della retta è compresa anche l’origine O, in quanto la coppia (0; 0) soddisfa l’equazione. Più in generale se l’ordinata è m volte l’ascissa, l’equazione è y=mx. -4 Si può dimostrare che l’equazione di una retta passante per l’origine, purchè diversa dall’asse y, è del tipo: y=mx.

Una retta passante per l’origine diversa dall’asse “y” ha equazione: y=mx y la “m”consiste nel coefficiente angolare. Esprime, per una retta passante per l’origine, il rapporto tra ordinata e ascissa. y =m x y x è positivo: i punti della retta hanno coordinate entrambe positive o negative. Ciò significa che la retta appartiene al primo e terzo quadrante. se m è positivo, anche x y è negativo: x i punti della retta hanno coordinate discordi. Ciò significa che la retta appartiene al secondo e quarto quadrante. se m è negativo, anche

Le equazioni degli assi cartesiani A (-1; 0) B (1; 0) C (2; 0) A D E B Consideriamo i punti A, B e C. Essi come tutti gli altri punti dell’asse “x” godono della stessa proprietà: la loro ordinata è 0. Perciò l’equazione si dirà y=0 C D (0; 2) E (0; 1) F (0; -1) Se consideriamo invece i punti D, E ed F, essi come tutti gli altri punti dell’asse “y” godono della stessa proprietà: la loro ascissa è 0. Perciò l’equazione si dirà x=0 F

L’equazione di una retta parallela ad un asse y (-1; 2) 3 2 -1 y x= 3 (1; 3) (3; 2) y= 2 2 (0; 2) 1 (3; 2) (1; 1) 3 x I punti (-1; 2), (0; 2), (3; 2), … appartengono ad una retta parallela all’asse x e, come tutti gli altri punti di questa retta, godono della stessa proprietà: hanno l’ordinata uguale a 2, perciò l’equazione è y=2. -1 3 (3; 0) (3; -1) I punti (3; -1), (3; 0), (3; 2), … appartengono ad una retta parallela all’asse y. Essi hanno l’ascissa uguale a 3, come tutti i punti della retta a cui appartengono. Questo ci fa capire che l’equazione è x=3.

y y y=k x L’equazione di una retta parallela all’asse x è y=k. x=h x L’equazione di una retta parallela all’asse y è x=h. Le lettere h e k indicano un qualunque valore reale. Al variare di k, otteniamo tutte le rette parallele all’asse x. Per k=0 l’equazione è quella dell’asse x. Al variare di h, otteniamo tutte le rette parallele all’esse y. Per h=0 l’equazione è quella dell’asse y.

La forma esplicita y=mx+q y B 5 Consideriamo la retta r passante per l’origine e di equazione y=2 x. 3 Q 2 A 1 O s 1 r L’aggettivo “esplicita’’ sottintende “rispetto alla variabile y” e significa che nell’equazione è messa in evidenza y in funzione di x. Scegliamo su tale retta i due punti O (0; 0) e A (1; 2). Aumentando di 3 l’ordinata dei due punti, otteniamo i punti Q (0; 3) e B (1; 5). x Il quadrilatero OABQ è un parallelogramma, perché hanno i lati opposti OQ e AB congruenti e paralleli; quindi, la retta s passante per B e Q risulta parallela alla retta r. Le coordinate dei punti Q e B soddisfano l’equazione Y=2 x+3

y=mx+q y Ogni retta del piano, purchè non parallela all’asse y, è rappresentata da equazione del tipo y=mx q Y=MX+Q x Il coefficiente q si chiama termine noto oppure ordinata all’origine, perché rappresenta l’ordinata del punto di intersezione della retta con l’asse y.

DUE CASI PARTICOLARI y y 1) m=0 2) q=0 y=mx y=q x Se nell’equazione y=mx+q poniamo m=0, otteniamo y=q, ossia l’equazione di una retta parallela all’asse x. x Se nell’equazione y=mx+q poniamo q=0, otteniamo y=mx, ossia l’equazione di una retta passante per l’origine.

L’equazione di una retta in forma implicita L’equazione esplicita y=mx+q può rappresentare tutte le rette del piano, tranne l’asse y e le rette parallele a esso. Infatti non esistono valori di m e di q che, sostituiti nell’equazione, ci forniscano equazioni del tipo x=0 oppure x=k. Un’equazione che rappresenti tutte le possibili rette del piano è della forma ax+by+c=0 , dove a, b, c sono numeri reali (a e b non entrambi nulli). In questo caso, si dice che l’equazione della retta è in forma implicita, nel senso che nessuna tra le variabili x e y è scritta esplicitamente in funzione dell’altra. CASI PARTICOLARI y caso a=0 y= O y caso b=0 y caso c=0 c x= - a = h c =k b x O x x O a y= b x = mx

Dalla forma implicita a quella esplicita E’ possibile trasformare un’equazione in forma implicita alla forma esplicita ricavando la y. c a y= b x b Osserviamo il coefficiente angolare è a b e il termine note è ESEMPIO Scriviamo in forma esplicita l’equazione 6 x – 2 y + 1=0. Ricaviamo y: -2 y= -6 x – 1 2 y= 6 x + 1 1 y= 3 x + 2 1. Il coefficiente angolare è 3, il termine noto è 2 c b