Il piano cartesiano e la retta Mappe schemi

“Il piano cartesiano e la retta” Mappe, schemi riassuntivi ed esercitazioni Docente: Donatiello Angela

MAPPA DEL MODULO IL PIANO CARTESIANO FUNZIONI LINEARI: LE RETTE PUNTI E SEGMENTI APPLICAZIONI ECONOMICHE COEFFICIENTE ANGOLARE PROBLEMI DI SCELTA PROBLEMI SULLE RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI

PUNTI NEL PIANO CARTESIANO IN UN PIANO CONSIDERIAMO DUE RETTE PERPENDICOLARI CHE CHIAMIAMO X E Y, ORIENTATE, NEL SENSO CHE STABILIAMO UN VERSO DI CRESCENZA DEI NUMERI. SOLITAMENTE, DISEGNIAMO LA RETTA X ORIZZONTALMENTE E ORIENTATA DA SINISTRA A DESTRA, LA RETTA Y VERTICALMENTE E ORIENTATA DAL BASSO VERSO L'ALTO. LE DUE RETTE SI CHIAMANO ASSI COORDINATI E IL LORO PUNTO D'INTERSEZIONE O SI CHIAMA ORIGINE. STABILIAMO, INFINE, UNA UNITÀ DI MISURA, U CHE CI CONSENTE DI MISURARE LE LUNGHEZZE SUI DUE ASSI. IN MATEMATICA, SI PRENDE LA STESSA UNITÀ DI MISURA PER L'ASSE X E PER L'ASSE Y. SI DICE CHE NEL PIANO È STATO FISSATO UN SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO.

È POSSIBILE STABILIRE UNA CORRISPONDENZA BIUNIVOCA TRA I PUNTI P DEL PIANO E LE COPPIE DI NUMERI REALI (X, Y). DAL PUNTO P SI TRACCIA LA PARALLELA PH ALL'ASSE Y E LA PARALLELA PK ALL'ASSE X. LA LUNGHEZZA DI OH RAPPRESENTA L'ASCISSA DEL PUNTO P, MENTRE LA LUNGHEZZA DI OK RAPPRESENTA L'ORDINATA DEL PUNTO P. CHIAMIAMO X L’ASCISSA E Y L’ORDINATA. LA COPPIA DI NUMERI (X, Y) VENGONO DETTE COORDINATE DEL PUNTO P. VICEVERSA, ASSEGNATA UNA COPPIA DI NUMERI REALI (X, Y), INDIVIDUIAMO PRIMA IL PUNTO H, POI IL PUNTO K, INFINE, TRACCIANDO LE DUE PARALLELE AGLI ASSI, SI OTTIENE IL PUNTO P.

DISTANZA TRA DUE PUNTI P (X 1, Y 1) Q (X 2, Y 2)

PUNTO MEDIO DI UN SEGMENTO

ESERCITAZIONI 1. DATI I PUNTI A(3, -2) E B(-5, 4): A. RAPPRESENTARLI SUL PIANO; B. CALCOLARE LA LORO DISTANZA; C. CALCOLARE LE COORDINATE DEL PUNTO MEDIO. D. 2. DATI I PUNTI A(0, -7) E B(1, 6): E. RAPPRESENTARLI SUL PIANO; F. CALCOLARE LA LORO DISTANZA; G. CALCOLARE LE COORDINATE DEL PUNTO MEDIO

EQUAZIONE DI UNA RETTA FORMA ESPLICITA FORMA IMPLICITA y=mx+q ax+by+c = 0 y=3 x+5 3 x – y + 5 = 0

COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA FORMA ESPLICITA FORMA IMPLICITA y=mx+q ax+by+c = 0 m Esempio: y=3 x+5 3 x – y + 5 = 0 m=3 m=

y=mx+q RETTA PASSANTE PER L’ORIGINE q=0 y=4 x RETTA NON PASSANTE PER L’ORIGINE q 0 Y=6 x+9

CASI PARTICOLARI DI RETTE y=k Rette parallele all’asse x X = 0 asse y Y = 0 asse x x=k Rette parallele all’asse y y=x y=-x Bisettrice del I e III quadrante Bisettrice del II e IV quadrante Esempi: Y=3 X=2 retta parallela all’asse x retta parallela all’asse y

X=0 y x=2 y=-x y=3 x Y=0

ESERCITAZIONI 1. DATE LE SEGUENTI RETTE A. Y = 3 X – 1 B. 3 X + 2 Y -5 = 0 C. X + 4 Y – 3 = 0 D. Y = X- E. Y = 5 X F. 6 X – Y = 0 • INDICA QUALI TRA ESSE SONO IN FORMA IMPLICITA E QUALI IN FORMA ESPLICITA; • CALCOLA IL COEFFICIENTE ANGOLARE DI OGNI RETTA; • INDICA QUALI TRA ESSE PASSANO PER L’ORIGINE; • RAPPRESENTALE NEL PIANO CARTESIANO.

RETTE PARALLELE RETTE PERPENDICOLARI HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE Y=mx+q Y = m 1 x + q 1 PARALLELE m = m 1 // Y=mx+q Y = m 1 x + q 1 PERPENDICOLARI m 1 =

ESEMPI DI RETTE PARALLELE E PERPENDICOLARI 1. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE Y = 3 X + 5 E Y = 3 X – 2 2. SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PARALLELE PERCHE’ 3. HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE 3 2. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE Y = 5 X -1 E Y = 3. X SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PERPENDICOLARI

3. DATE LE RETTE IN FORMA IMPLICITA 2 X – 4 Y + 1 = 0 E X – 2 Y + 5 = 0 SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PARALLELE POICHE’ HANNO LO STESSO COEFFICIENTE ANGOLARE M= 4. DATE LE RETTE IN FORMA IMPLICITA 5. 3 X – 5 Y + 2 = 0 E 15 X + 9 Y – 2 = 0 6. SI PUO’ AFFERMARE CHE ESSE SONO PERPENDICOLARI POICHE’ 7. I COEFFICIENTI SONO ANTIRECIPROCI: 8. M 1 = M 2 =

ESERCITAZIONI 1. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE X – 5 Y + 1 = 0 X – 2 Y = 5 2 X – 4 Y + 3 = 0 Y= X -2 Y = 0 X– 6 X–Y+2=0 INDIVIDUA TRA ESSE LE RETTE TRA LORO PARALLELE 2. DATE LE RETTE DI EQUAZIONE 3. X – Y + 1 = 0 Y+X– 3=0 3 X + Y = 2 4. 6 X – 2 Y – 7 = 0 3 X – Y + 5 = 0 X + 3 Y – 1 = 0 5. INDIVIDUA TRA ESSE LE RETTE TRA LORO PERPENDICOLARI

EQUAZIONE DI UNA RETTA NOTO UN PUNTO E IL COEFFICIENTE ANGOLARE Y=MX+Q DATO 1: IL COEFFICIENTE ANGOLARE E’ M = 2 DATO 2: IL PUNTO P(3, 4) APPARTIENE ALLA RETTA 1. SCRIVO IL VALORE DI M =2 NELL’EQUAZIONE: Y=2 X+Q 2. SOSTITUISCO LE COORDINATE DEL PUNTO NELL’EQUAZIONE DELLA RETTA 4 = 2 · 3 + Q 3. TROVO IL VALORE DI Q: 4=6+Q 4– 6=Q Q = -2 4. SCRIVO L’EQUAZIONE DELLA RETTA: Y = 2 X - 2

ESERCITAZIONI SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO P E AVENTE COEFFICIENTE ANGOLARE M 1. P(7, - 3) M=-1 2. P(5, -1) M=-4 3. P(2, 9) M= 4. P(0, 2) M=-7

ALCUNE VOLTE NEGLI ESERCIZI IL COEFFICIENTE ANGOLARE NON VIENE FORNITO IN MANIERA DIRETTA, MA E’ NECESSARIO RICAVARLO DAL COEFFICIENTE ANGOLARE DI ALTRE RETTE NOTE. ESEMPIO SCRIVI L’EQUAZIONE DELLE RETTA PASSANTE PER IL PUNTO P(6, 3) E PARALLELA ALLA RETTA DI EQUAZIONE 2 X – 5 Y +1 = 0 Y = MX + Q IL COEFFICIENTE ANGOLARE DELLE DUE RETTE SARA’ LO STESSO PERCHE’ SONO PARALLELE: M= IMPONGO LA CONDIZIONE DI APPARTENENZA DEL PUNTO P ALLA RETTA:

COEFFICIENTE ANGOLARE DI UNA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI y B A m= X

EQUAZIONE DI UNA RETTA PASSANTE PER DUE PUNTI P(X 1, Y 1) Q(X 2, Y 2) P(3, 2) Q(1, 0)

ESERCITAZIONI 1. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO P(4, -6) E PARALLELA ALLA RETTA DI EQUAZIONE 2 Y – 9 =0 2. R: [Y + 6 = 0] 3. 2. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER IL PUNTO 4. P(3, -2) E PERPENDICOLARE ALLA RETTA DI EQUAZIONE 5. R: [4 X+3 Y-6=0] 3. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER I PUNTI A(2, 2) E B(-3, -1) 4. SCRIVI L’EQUAZIONE DELLA RETTA PASSANTE PER I PUNTI A E B(-2, -1)

INTERSEZIONE TRA RETTE L’INTERSEZIONE TRA DUE RETTE E’ UN PUNTO LE CUI COORDINATE SI OTTENGONO RISOLVENDO IL SISTEMA LINEARE TRA LE EQUAZIONI DELLE DUE RETTE: 3 X - 2 Y - 5= 0 X+Y– 5=0

ESERCITAZIONI 1. DETERMINA L’INTERSEZIONE TRA LE RETTE 2. X + 2 Y = 3 E X – Y = 0 3. R: [(1, 1)] 2. DETERMINA L’INTERSEZIONE DELLE RETTE 3. 2 X + Y = 5 E Y = 1 4. R: [(2, 1)]

FASCI DI RETTE FASCIO IMPROPRIO FASCIO PROPRIO L’INSIEME DELLE INFINITE RETTE DEL PIANO AVENTI TUTTE LA STESSA DIREZIONE, OVVERO L’INSIEME DI TUTTE LE INFINITE RETTE DEL PIANO PARALLELE AD UNA STESSA RETTA, DETTA RETTA BASE CHE PASSA PER L’ORIGINE DEGLI ASSI L’INSIEME DELLE INFINITE RETTE DEL PIANO PASSANTI TUTTE PER UNO STESSO PUNTO DETTO CENTRO DEL FASCIO

FASCIO IMPROPRIO Y Equazione di un fascio improprio RETTA BASE y = mx + K X fisso variabile

FASCIO PROPRIO C(x 0 ; y 0) centro del fascio Y C Centro del fascio Equazione di un fascio proprio X y – y 0 = m (x – x 0) variabile

Equazione della retta passante per un punto P(x 0 ; y 0) y – y 0 = m (x – x 0) L’equazione di un fascio proprio di rette di centro P coincide con l’equazione di una generica retta passante per P. L’unica retta esclusa da tale fascio è quella passante per P e parallela all’asse y, in quanto le rette parallele all’asse y non hanno coefficiente angolare.

APPLICAZIONE DELLA RETTA ALL’ECONOMIA: COSTI, RICAVI, PROFITTI UN’AZIENDA PER PRODURRE SCATOLE REGALO SOSTIENE DEI COSTI FISSI MENSILI DI 5. 164€ E UN COSTO PER UNITA’ DI PRODOTTO PARI A 2€. OGNI SCATOLA VIENE POI RIVENDUTA AD UN PREZZO DI 10€. DETTO X IL NUMERO DI SCATOLE PRODOTTE E VENDUTE, DETERMINA LE FUNZIONI COSTO, RICAVO E PROFITTO ED INDIVIDUA NEL GRAFICO LA ZONA DI PERDITA E LA ZONA DI GUADAGNO. COSTO UNITARIO = 2€ COSTO FISSO = 5. 164€ PREZZO DI VENDITA UNITARIO =10€

COSTO TOTALE = COSTI FISSI + COSTO UNITARIO · QUANTITA’ PRODOTTA CTOT = CFISSI + CUNITARIO · X CTOT = 5. 164 + 2 X RICAVO = PREZZO UNITARIO DI VENDITA · QUANTITA’ PRODOTTA R = PUNITARIO · X R = 10 X PROFITTO = RICAVO – COSTO P=R–C P = 10 X – 2 X – 5. 164 = 8 X – 5. 164

RICAVO € GUADAGNO COSTO 5000 PERDITA RICAVO PUNTO DI EQUILIBRIO 1000 100 SE RICAVO < COSTO SE RICAVO = COSTO SE RICAVO > COSTO PERDITA EQUILIBRIO GUADAGNO

APPLICAZIONE DELLE RETTA ALL’ECONOMIA: PROBLEMI DI SCELTA IN COSTRUZIONE