Da 2 a 3 dimensioni La terza coordinata

Da 2 a 3 dimensioni La terza coordinata z

Aggiungiamo un asse

Nel piano…

Nello spazio…

Nello spazio: piani particolari

Piano nello spazio Retta nel piano Forma implicita ax +by +c =0 Forma implicita ax+by+cz+d=0 Forma esplicita y= mx+q r) ax +by +c =0 s) a’x +b’y +c’ =0 Forma esplicita z= mx+ny+q α) ax +by +cz+d =0 β) a’x +b’y +c’a+d’=0 r e s parallele ossia αeβ a/b=a’/b’ a/a’ = b/b’ r e s perpendicolari a/b=-b’/a’ ossia aa’+bb’=0 paralleli a/a’= b/b’=c/c’ α e β perpendicolari aa’+bb’+cc’=0

Nello spazio: piani particolari

Esercitiamoci • Pagg. 1104 -1105 numeri 12, 19, 25 e 26 • Pagg. 1106 -1107 numeri 29, 31 e 38

I vettori: cosa individuano nel piano? r: 3 x-y+5 = 0 il vettore v (3, -1) è perpendicolare alla retta r

I vettori: cosa individuano nel piano? r: 3 x-y+5 = 0 il vettore v’(1, 3) individua invece la direzione di r

I vettori: cosa individuano nel piano? r: 3 x-y+5 = 0 il prodotto scalare v’· v = (a·a’+ b·b’) =(1· 3 + 3·(-1)) = 0 Condizione di perpendicolarità v (3, -1)=(a, b) v’(1, 3)=(a’, b’)

I vettori: cosa individuano nello spazio? α: 3 x-y+2 z +5 = 0 per analogia il vettore v (3, -1, 2) è perpendicolare al piano α

Posizione rette nel piano parallele Quando i vettori direzione v(a, b) e w(a’, b’) sono paralleli • m=m’ ossia • b/a = b’/a’ ossia • a/a’= b/b’ perpendicolari Quando i vettori direzione v(a, b) e w(a’, b’) sono perpendicolari • m= -1/m’ ossia • v·w = 0 ossia • a·a’ + b·b’ = 0

Posizione piani nello spazio paralleli α: ax+by+cz+d=0 β: a’x+b’y+c’z+d’=0 quando i vettori “normali” ai piani α e β v(a, b, c) e w(a’, b’, c’) sono paralleli, ossia • a/a’= b/b’= c/c’ perpendicolari α: ax+by+cz+d=0 β: a’x+b’y+c’z+d’=0 quando i vettori “normali” ai piani α e β v(a, b, c) e w(a’, b’, c’) sono perpendicolari, ossia v·w=0 ossia a·a’ + b·b’ + c·c’ = 0

Distanze Nel piano: punto - retta Nello spazio: punto - piano

Esercitiamoci Stabilire la posizione reciproca tra due piani: • x-3 y+2 z=1 e 2 x-6 y+4 z=2 • x-3 y+2 z+5=0 e 3 x-y+2 z=0 Scrivi l’equazione del piano per P(-3, 2, 4) e parallelo al piano 3 x-2 y-z-5=0 Scrivi l’equazione del piano passante per l’origine, per P(2, -4, 3) e perpendicolare al piano x-2 y-z-1=0

Rette nello spazio

Rette nello spazio

Posizione rette nello spazio parallele Quando i vettori direzione v(l, m, n) e w(l’, m’, n’) sono paralleli, ossia l/l’=m/m’=n/n’ perpendicolari Quando i vettori direzione v(l, m, n) e w(l’, m’, n’) sono perpendicolari, ossia l·l’=m·m’=n·n’

Posizione retta + piano Una retta r e un piano α sono paralleli quando i vettori direzione (retta) v(l, m, n) e Il vettore w(a, b, c) normale al piano α sono perpendicolari, ossia l·a + m·b + n·c = 0

Posizione retta + piano Una retta r e un piano α sono perpendicolari quando i vettori direzione (retta) v(l, m, n) e Il vettore w(a, b, c) normale al piano α sono paralleli, ossia l/a = m/b = n/c

Circonferenza e Sfera Nel piano Nello spazio La circonferenza è il luogo dei punti P(x, y) equidistanti da un punto fisso detto centro. Tale distanza è il raggio r della circonferenza La sfera è il luogo dei punti P(x, y, z) equidistanti da un punto fisso detto centro. Tale distanza è il raggio r della sfera

Intersezione sfera - piano L’intersezione di una sfera S di centro C e raggio R con un piano α è una circonferenza γ Per determinare raggio r e centro A di γ occorre tener presente che: • la retta per C e perpendicolare ad α, passa per A • CA è la distanza di C dal piano α

Quesito 7 simulazione • Trovare l'equazione del piano tangente alla superficie sferica avente come centro l'origine e raggio 2, nel suo punto di coordinate (1, 1, z), con z negativa.