Unit 12 La gravitazione Copyright 2009 Zanichelli editore

Unità 12 La gravitazione Copyright © 2009 Zanichelli editore

1. Le leggi di Keplero Fino al 1600 si credeva che: la Terra fosse al centro dell'Universo, con il Sole e i pianeti orbitanti attorno (modello geocentrico); • i corpi celesti, sferici e perfetti, orbitassero su traiettorie circolari. • Copernico introdusse il modello eliocentrico (Sole al centro e pianeti su orbite circolari), che fu poi appoggiato da Galileo. Questo modello però non concordava con le osservazioni astronomiche. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Le leggi di Keplero Giovanni Keplero (1571 -1630) perfezionò il modello eliocentrico con tre leggi: Prima legge di Keplero Le orbite dei pianeti sono ellissi di cui il Sole occupa uno dei due fuochi. Si definiscono: - perielio: il punto dell'orbita più vicino al Sole. - afelio: il punto dell'orbita più lontano dal Sole. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Le leggi di Keplero Seconda legge di Keplero Il raggio vettore che va dal Sole a un pianeta spazza aree uguali in tempi uguali. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Le leggi di Keplero Terza legge di Keplero Il rapporto tra il cubo del semiasse maggiore dell'orbita a ed il quadrato del periodo di rivoluzione T è lo stesso per tutti i pianeti. Copyright © 2009 Zanichelli editore T aumenta al crescere di a: i pianeti lontani impiegano più tempo a compiere un giro attorno al Sole. Ugo Amaldi - Corso di fisica

2. La gravitazione universale Le leggi di Keplero descrivono il moto dei pianeti ma non ne spiegano le cause. Isaac Newton intuì che la forza che fa orbitare i pianeti attorno al Sole è la stessa che fa cadere i corpi verso la Terra. Questa forza è universale e vale per qualsiasi coppia di oggetti. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La gravitazione universale La legge di gravitazione universale afferma che la forza che si esercita tra due corpi puntiformi di masse m 1 e m 2 è: direttamente proporzionale alle masse dei corpi; inversamente proporzionale al quadrato della loro distanza r. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La gravitazione universale L'espressione matematica della legge di gravitazione universale è: G è la costante di gravitazione universale: Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La gravitazione universale Vediamo le dipendenze di F da r e da m. 1) Tenendo fissa la distanza r tra i due corpi: Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La gravitazione universale 2) Tenendo fisse le masse dei due corpi m 1 e m 2: se r raddoppia, la forza diventa 1/4; se r triplica, la forza diventa 1/9; se r si dimezza, la forza quadruplica. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La gravitazione universale Il valore della forza F è inversamente proporzionale a r 2. Questo significa che: • F diminuisce molto rapidamente al crescere di r; • F aumenta molto velocemente al tendere di r a zero. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

3. Il valore della costante G La forza-peso FP di un corpo di massa m è la forza di gravità con cui la Terra attrae m quando è posta vicino alla superficie terrestre. MT , RT: massa e raggio della Terra. Ricaviamo G: Con i valori di MT , RT noti a Newton si ottiene Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

L'esperimento di Cavendish Henry Cavendish nel 1798 misurò per primo in laboratorio il valore di G con la bilancia a torsione. Le masse m 1 del manubrio sono attratte dalle masse più grandi M 1 e M 2. Dall'angolo di torsione del filo si misura il valore di F. Si ottiene Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra Dalla legge di gravitazione universale, noti MT e RT, si può ricavare il valore di g che abbiamo già incontrato. La quantità in parentesi è una costante e vale: Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

L'accelerazione di gravità sulla superficie della Terra Il valore dell'espressione corrisponde proprio al valore sperimentale di g. Questo permette di ottenere la formula FP = mg come caso particolare della legge di gravitazione, in prossimità della superficie terrestre. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

4. Massa inerziale e massa gravitazionale Abbiamo incontrato la grandezza fisica massa di un corpo in due casi distinti: massa inerziale, mi: indica la resistenza del corpo ad essere accelerato; massa gravitazionale, mg: indica la capacità di attrarre oggetti ed essere attratto da essi. I dati sperimentali mostrano che le due masse sono direttamente proporzionali. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Massa inerziale e massa gravitazionale Se scegliamo il kg come unità di misura per entrambe possiamo considerare: mi = mg, anche se concettualmente sono diverse. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

5. Il moto dei satelliti Supponiamo di sparare orizzontalmente un proiettile dalla cima di una montagna (in assenza di aria e a velocità arbitraria). Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

5. Il moto dei satelliti Dunque un satellite che orbita intorno ad un corpo celeste (come la Terra) è in caduta libera: una caduta libera che non termina mai, finchè non interviene una forza esterna a spingerlo fuori dall’orbita (come l’accensione dei razzi per un satellite artificiale) Caduta libera Microgravità simulata Microgravità su un satellite artificiale Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Diversi tipi di orbite L'orbita di un proiettile con v 0=7, 9 x 103 m/s è una circonferenza. All'aumentare ancora di v 0 la traiettoria diventa un'ellisse; superato un certo valore la traiettoria è un'iperbole: il proiettile si allontana dalla Terra. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La velocità dei satelliti in orbita circolare Satellite di massa m in orbita circolare di raggio R con velocità v intorno alla Terra. Uguagliamo la F di gravitazione con la forza centripeta: R al denominatore: più il satellite è lontano dalla Terra, più è lento. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Satelliti geostazionari Sono satelliti che si muovono alla velocità di rotazione terrestre, quindi appaiono fermi rispetto alla Terra. Per raggiungere tale scopo devono necessariamente orbitare intorno all’Equatore. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Calcolo della distanza Terra - satellite geostazionario Imponendo che la forza centripeta sia uguale alla forza di gravità otteniamo = da cui, tramite formula inversa, e dopo aver semplificato m (massa del satellite) nei due membri, e dunque

Calcolo della distanza Terra - satellite geostazionario Imponendo che la velocità angolare ω del satellite sia uguale a quella di rotazione terrestre (condizione necessaria affinchè il satellite sia geostazionario) cioè che sia otterremo perciò

Calcolo della distanza Terra - satellite geostazionario Tale valore rappresenta la distanza tra il satellite geostazionario e il centro della Terra: sottraendo ora il raggio terrestre, che misura all’Equatore circa 6400 km, otterremo la distanza h dal suolo terrestre

6. La deduzione delle leggi di Keplero Le tre leggi di Keplero sono conseguenze dei princìpi della dinamica e della legge di gravitazione universale. Prima legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza della proporzionalità della F gravitazionale a 1/r 2: le traiettorie possono essere ellissi, parabole o iperboli; le traiettorie chiuse possibili sono solo ellissi (tra cui le circonferenze). Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La deduzione delle leggi di Keplero Seconda legge di Keplero: si dimostra che è conseguenza della conservazione del momento angolare. poiché L è costante, r e v sono inversamente proporzionali. Al perielio r. P è minimo, quindi v. P è massima; all'afelio r. A è massimo, quindi v. A è minima. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La deduzione delle leggi di Keplero Terza legge di Keplero: dimostriamola per orbite circolari. Moto circolare uniforme: Essendo , si ha ovvero Forza di gravità = Forza centripeta Poiché la quantità a destra dell'uguale è costante, la terza legge di Keplero è verificata. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

7. Il campo gravitazionale La presenza di un corpo celeste in un punto dell’Universo modifica lo spazio circostante, perché in qualsiasi punto di tale spazio si immaginasse di collocare idealmente un altro corpo, quest’ultimo subirebbe la forza di gravità provocata dal primo. Si dice allora che il corpo celeste genera un CAMPO GRAVITAZIONALE, che si definisce come la forza di gravità che subirebbe il 2° corpo, fratto la massa del corpo stesso. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

7. Il campo gravitazionale • Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

7. Il campo gravitazionale creato da un corpo celeste può essere visualizzato rappresentando i vettori g nei punti dello spazio circostante: tali vettori si indicano con frecce radiali, orientate verso il corpo celeste, e di lunghezza via minore mano che ci si allontana dal corpo stesso (perché il modulo del campo diminuisce al crescere della distanza r). Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

7. L'energia potenziale gravitazionale Consideriamo le masse m ed M, distanti tra loro r, che si attraggono reciprocamente per la forza di gravità. Si dimostra che l’energia potenziale gravitazionale connessa con il sistema è: Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito Nella formula di U è conveniente porre k=0. Questo equivale a scegliere come livello zero di U il caso in cui m e M sono a distanza infinita. Si scrive dunque Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Scelta dell'energia potenziale che si annulla all'infinito Rappresentiamo il grafico della funzione U(r). La dipendenza da 1/r determina: l'annullarsi di U(r) per r che tende ad infinito; il tendere all’infinito di U per r che tende a zero. U(r) è sempre negativa (energia potenziale di una forza attrattiva). Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

8. La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica Lo studio del moto dei pianeti del sistema solare ha confermato la validità della legge di gravitazione universale e dei princìpi della dinamica, anche perché nel vuoto spaziale non esiste attrito. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La forza di gravità e la conservazione dell'energia meccanica La legge di conservazione dell'energia in questo caso è valida e dà un'altra spiegazione alla seconda legge di Keplero. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica