Meccanica 6 21 marzo 2011 Cambiamento di sistema

Meccanica 6 21 marzo 2011 Cambiamento di sistema di riferimento Trasformazioni di coordinate tra sistemi inerziali (Galileo, Lorentz) Trasformazione delle velocita` e delle accelerazioni Trasformazioni con sistemi non inerziali Sistema in caduta libera e sistema in rotazione uniforme

Sistemi di riferimento inerziali • Si dicono inerziali i sistemi in cui vale il primo principio di Newton • Nella meccanica newtoniana i sistemi inerziali rivestono un ruolo speciale • In essi infatti le leggi fisiche assumono la forma più semplice • È spesso utile, nello studio dei sistemi fisici, cambiare sistema di riferimento 2

Sistemi di riferimento inerziali • Il cambiamento più frequente è quello che porta da un sistema inerziale ad un sistema in moto rettilineo uniforme rispetto ad esso • Vedremo tra breve che anche il nuovo sistema è inerziale • Solitamente gli assi del secondo sistema si scelgono paralleli agli assi corrispondenti del primo 3

Sistemi di riferimento inerziali • Le equazioni che permettono di passare dal primo sistema (inerziale) S(O, x, y, z) al secondo S’(O’, x’, y’, z’) sono le seguenti z r O x y z’ r’ Posizione del corpo in S’= Posizione del corpo in S – posizione dell’origine O’ (rispetto a S) R O’ x’ y’ 4

Sistemi di riferimento inerziali • Con la condizione che R sia • Ove R 0 è la posizione dell’origine O’, rispetto ad O al tempo t=0 z z’ O x y R R 0 V O’ x’ y’ 5

Sistemi di riferimento inerziali • Per semplicità spesso si sceglie R 0=0 e la velocità V parallela ad uno degli assi di S, p. e. , l’asse x y y’ V O z x R O’ z’ x’ 6

Trasformazioni di Galileo • Ad esse possiamo aggiungere l’equazione di trasformazione del tempo t’=t che stabilisce che il tempo è sempre lo stesso (il tempo è assoluto) e che non cambia col sistema di riferimento • Le equazioni di trasformazione trovate sono dette trasformazioni di Galileo 7

Trasformazioni inverse • Tali trasformazioni sono facilmente invertibili: basta scambiare le coordinate di S con quelle di S’ e cambiare il segno alla velocità • Si vede quindi che c’è simmetria tra i due sistemi S e S’ e si intuisce che il sistema S’ debba essere anch’esso inerziale 8

Trasformazioni di Lorentz • In relativita` le trasformazioni di Galileo sono sostituite da quelle di Lorentz 9

Inerzialità • Mostriamo ora che il nuovo sistema di riferimento è davvero inerziale • A tal fine calcoliamo la velocità di un punto materiale in entrambi i sistemi Legge di trasformazione delle velocità 10

Inerzialità • E l’accelerazione Legge di trasformazione delle accelerazioni 11

Inerzialità • Quindi il punto materiale ha accelerazione nulla (ovvero velocità costante) nel sistema S’ se e solo se accade lo stesso nel sistema S • Ovvero S’ è inerziale se e solo se S è inerziale • Ciò significa anche dato un sistema inerziale possiamo trovare una triplice infinità di sistemi inerziali, tanti quante sono le possibili scelte della velocità di traslazione V 12

Trasformazioni più generali • In linea di principio una qualunque trasformazione di coordinate del tipo • non può cambiare la fisica di un fenomeno, ma solo la descrizione che ne facciamo • In pratica però esistono trasformazioni (cioè sistemi) per cui la descrizione del fenomeno è molto più semplice che per altre • Sono questi, come già detto, i sistemi inerziali 13

Sistema di riferimento solidale con la terra • A volte è però conveniente considerare trasformazioni, un po’ più generali, in sistemi accelerati rispetto ad un sistema inerziale • L’accelerazione può essere dovuta a moto traslatorio non rettilineo uniforme e a moto di rotazione • È questo, in particolare, il caso importantissimo del sistema di riferimento solidale con la terra, la quale ruota (attorno al proprio asse) e trasla (moto curvilineo di rivoluzione attorno al sole) rispetto ad un sistema inerziale • Tale sistema è usato per descrivere i fenomeni atmosferici su larga scala 14

Sistemi accelerati • Invece di considerare il caso più generale, ci limiteremo a considerare – il caso di un sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato parallelamente ad un asse coordinato (p. e. z) – Il caso di un sistema in moto rotatorio uniforme attorno ad un asse coordinato (p. e. z) 15

Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato • Le equazioni di trasformazione sono O x r y z R O’ r’ x’ y’ z’ 16

Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato • Un caso particolare di questa trasformazione si ha per un sistema S’ in caduta libera, cioè che accelera verso il basso (rispetto a S) con accelerazione A=g (sempre rispetto a S) e che inizialmente (per t=0) è fermo con l’origine O’ coincidente con O • In altri termini S’ è il sistema solidale con un grave in caduta libera 17

Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato • Le equazioni di trasformazione per la velocità e l’accelerazione 18

Sistema in moto rettilineo uniformemente accelerato • In S’ le coordinate x’, y’, z’ sono costanti, quindi le componenti della velocità in S’ sono identicamente nulle e lo stesso vale per l’accelerazione • Ritroviamo così (in S) le leggi della caduta libera di Galileo (ricordiamo che A=g) 19

Dinamica in un sistema accelerato • Dalle eqq. precedenti vediamo subito che nel sistema S’ il secondo principio di Newton non è valido • Infatti benché in S’ la forza di gravità terrestre continui ad agire, abbiamo • Si può però estendere il secondo principio ai sistemi accelerati introducendo opportune forze “d’inerzia” Fi accanto alle forze “reali” (Fg) 20

Dinamica in un sistema accelerato • In S’ la forza d’inerzia bilancia esattamente la forza di gravità, per cui in S’ (sistema che trasla di moto uniformemente accelerato con A=g rispetto a S) il grave, inizialmente fermo, continua a rimanere fermo 21

Sistema in moto rotatorio uniforme • Consideriamo un sistema S’ con asse z’ coincidente con l’asse z del sistema S, in rotazione (rispetto a S) con velocità angolare attorno a z • Le equazioni di trasformazione sono z’ z dr r(t) Spostamento del corpo in S’= Spostamento del corpo in S – Spost. dovuto alla rotazione di S’ (rispetto a S) O x dr’ r(t+dt) y’ y O’ x’ 22

z’ z dr r(t) O x dr’ r’(t+dt) r’(t) O’ y y’ x’ 23

Sistema in moto rotatorio uniforme • E per la velocità e l’accelerazione 24

Sistema in moto rotatorio uniforme • Un caso particolare di questa trasformazione si ha per un sistema S’ solidale con un corpo che ruota in S (trattenuto p. e. da una fune) di moto circolare uniforme attorno a z • In tal caso il corpo ha velocità identicamente nulla in S’ e, di conseguenza, anche accelerazione nulla • In tal caso le eqq. diventano • Abbiamo ritrovato (nel sistema S) le eqq. del moto circolare uniforme 25

Dinamica in un sistema accelerato • Di nuovo, le eqq. precedenti nel sistema S’ sono incompatibili col secondo principio di Newton • Infatti benché in S’ la forza della fune Ff continui ad agire sul corpo in rotazione, abbiamo • Si può però estendere il secondo principio al sistema accelerato S’ introducendo un’opportuna forza “d’inerzia” Fi accanto alla forza “reale” Ff • Fi è la famosa forza centrifuga, che ha diritto all’esistenza solo nel sistema accelerato e non in S 26

Dinamica in un sistema accelerato • In S’ la forza centrifuga bilancia esattamente la forza centripeta della fune, per cui in S’ (sistema che ruota di moto circolare uniforme rispetto a S) il corpo, inizialmente fermo, continua a rimanere fermo 27