La circonferenza nel piano cartesiano La circonferenza il

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La circonferenza nel piano cartesiano La circonferenza è il luogo dei punti del piano

La circonferenza nel piano cartesiano La circonferenza è il luogo dei punti del piano che hanno la stessa distanza da un punto fisso chiamato centro. Tale distanza si chiama raggio. 1

La circonferenza nel piano cartesiano L’equazione di una circonferenza con centro e raggio r

La circonferenza nel piano cartesiano L’equazione di una circonferenza con centro e raggio r è: Equazione in funzione del centro e del raggio. oppure, svolgendo i calcoli Equazione generale della circonferenza. 2

La circonferenza nel piano cartesiano ESEMPIO Scriviamo l’equazione della circonferenza che ha centro in

La circonferenza nel piano cartesiano ESEMPIO Scriviamo l’equazione della circonferenza che ha centro in C (2, -3) e raggio 4. Scriviamo l’equazione in funzione del centro di coordinate (p, q) e del raggio r Poiché nel nostro caso p = 2 ; q = -3 e r = 4, otteniamo Da cui, svolgendo i calcoli 3

La circonferenza nel piano cartesiano Viceversa: un'equazione di secondo grado in x e y

La circonferenza nel piano cartesiano Viceversa: un'equazione di secondo grado in x e y della forma Rappresenta una circonferenza se e solo se In queste ipotesi, il centro della circonferenza ed il raggio sono dati dalle relazioni 4

La circonferenza nel piano cartesiano ESEMPI • L’equazione non rappresenta una circonferenza perché è

La circonferenza nel piano cartesiano ESEMPI • L’equazione non rappresenta una circonferenza perché è una circonferenza di centro e raggio 5

La circonferenza nel piano cartesiano ESEMPIO L’equazione rappresenta una circonferenza? Scriviamola nella forma ottenuta

La circonferenza nel piano cartesiano ESEMPIO L’equazione rappresenta una circonferenza? Scriviamola nella forma ottenuta dividendo entrambi i membri per 4. Tale equazione rappresenta una circonferenza, perché Essa ha centro in e raggio r=2 6

La circonferenza nel piano cartesiano Le caratteristiche L’equazione di una circonferenza data nella forma

La circonferenza nel piano cartesiano Le caratteristiche L’equazione di una circonferenza data nella forma sono le seguenti: q è di secondo grado in x e y q contiene sempre i termini x 2 e y 2 con coefficiente uguale a 1 q non esiste il termine xy q i coefficienti a e b dei termini di primo grado servono ad individuare la posizione del centro 7

La circonferenza nel piano cartesiano I casi particolari Al variare dei valori assunti dai

La circonferenza nel piano cartesiano I casi particolari Al variare dei valori assunti dai parametri a, b, c dell’equazione abbiamo situazioni diverse: q se a = 0, l’ascissa del centro vale 0 e quindi il centro della circonferenza appartiene all’asse delle ordinate q se b = 0, l’ordinata del centro vale 0 e quindi il centro della circonferenza appartiene all’asse delle ascisse q se c = 0, la circonferenza passa per l’origine 8

La circonferenza nel piano cartesiano q se a = 0 ∧ c = 0,

La circonferenza nel piano cartesiano q se a = 0 ∧ c = 0, la circonferenza ha il centro sull’asse y e passa per l’origine degli assi, in questo caso il raggio è l’ordinata del centro q Se b = 0 ∧ c = 0, la circonferenza ha il centro sull’asse x e passa per l’origine degli assi, in questo caso il raggio è l’ascissa del centro q Se a = 0 ∧ b = 0, ritroviamo l’equazione della circonferenza che ha origine nel centro degli assi Se poi anche c = 0, l’equazione assume la forma x 2 + y 2 = 0 che rappresenta una circonferenza con centro nell’origine e raggio nullo; in questo caso la circonferenza si riduce ad un punto, il suo centro. 9

La circonferenza nel piano cartesiano ESEMPI C è una circonferenza che ha centro sull’asse

La circonferenza nel piano cartesiano ESEMPI C è una circonferenza che ha centro sull’asse delle ascisse perché manca il termine in y È una circonferenza che ha centro nell’origine perché mancano i termini di primo grado. C C È una circonferenza che ha centro sull’asse delle ordinate perché manca il termine in x e passa per l’origine perché manca il termine noto. 10

La circonferenza Come determinare l’equazione di una circonferenza Per trovare l’equazione di una circonferenza

La circonferenza Come determinare l’equazione di una circonferenza Per trovare l’equazione di una circonferenza sono necessarie e sufficienti tre informazioni indipendenti; in particolare: • Se si conoscono le coordinate (p, q) del centro e la misura r del raggio, la sua equazione è • Se si conoscono le coordinate di tre punti, basta sostituire tali coordinate nell’equazione generale della circonferenza e risolvere il sistema ottenuto. 11

La circonferenza Come determinare l’equazione di una circonferenza ESEMPIO Determiniamo l’equazione della circonferenza di

La circonferenza Come determinare l’equazione di una circonferenza ESEMPIO Determiniamo l’equazione della circonferenza di centro C (1, 2) passante per A (0, 4) Possiamo risolvere il problema in due modi: 1° METODO (Geometrico) Calcoliamo il raggio della circonferenza corrispondente al segmento CA: A C L’equazione della circonferenza è allora: 12

La circonferenza Come determinare l’equazione di una circonferenza 2° METODO (Algebrico) Scriviamo il sistema:

La circonferenza Come determinare l’equazione di una circonferenza 2° METODO (Algebrico) Scriviamo il sistema: L’ascissa del centro vale 1 L’ordinata del centro vale 2 La circonferenza passa per A Il sistema risolto dà: L’equazione è dunque 13

La circonferenza Come determinare l’equazione di una circonferenza ESEMPIO Scriviamo l’equazione della circonferenza che

La circonferenza Come determinare l’equazione di una circonferenza ESEMPIO Scriviamo l’equazione della circonferenza che passa per i punti: A (-4, 0), B (-1, -1), C (0, 2) Per tre punti non allineati passa una sola circonferenza. Possiamo verificare il non allineamento dei punti mediante la rappresentazione dei punti nel piano cartesiano. C A B 14

La circonferenza Come determinare l’equazione di una circonferenza Scriviamo il sistema sfruttando la condizione

La circonferenza Come determinare l’equazione di una circonferenza Scriviamo il sistema sfruttando la condizione di appartenenza di un punto a una circonferenza: Passaggio per A Passaggio per B Passaggio per C C Risolvendo il sistema abbiamo: A B La circonferenza ha dunque equazione 15

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Una retta rispetto ad

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Una retta rispetto ad una circonferenza si dice: q secante se le due curve hanno due punti di intersezione distinti; q tangente se le due curve hanno un solo punto in comune; q esterna se le due curve non si intersecano. 16

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Per determinare le coordinate

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Per determinare le coordinate dei punti di intersezione, se esistono, tra una retta e una circonferenza, possiamo agire in due modi. 1° METODO Scriviamo il sistema delle equazioni delle due curve: Applicando il metodo di sostituzione e sostituendo nella prima equazione al posto di y (o di x) l’espressione ricavata dalla seconda si ottiene l’equazione risolvente del sistema che è di secondo grado. 17

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Se nell’equazione risolvente: q

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Se nell’equazione risolvente: q Δ > 0, il sistema ha due soluzioni reali distinte, le due curve hanno due punti distinti di intersezione quindi la retta è secante rispetto alla circonferenza; q Δ = 0, il sistema ha due soluzioni reali coincidenti, le due curve hanno allora un solo punto di intersezione, quindi la retta è tangente alla circonferenza; q Δ < 0, il sistema non ha soluzioni reali, le due curve non hanno punti di intersezione, quindi la retta è esterna alla circonferenza. 18

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta 2° METODO Utilizziamo considerazioni

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta 2° METODO Utilizziamo considerazioni di tipo geometrico: q se la retta è secante la circonferenza, allora la distanza dal centro della retta è minore del raggio; q se la retta è tangente alla circonferenza, allora la distanza è uguale al raggio; q se la retta è esterna alla circonferenza, allora la distanza è maggiore del raggio. 19

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Poiché sappiamo calcolare la

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Poiché sappiamo calcolare la distanza di un punto da una retta con la formula: Possiamo calcolare la distanza del centro della circonferenza dalla retta e confrontarla con il raggio per dedurne la posizione. 20

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta ESEMPIO Data la circonferenza

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta ESEMPIO Data la circonferenza di centro C di equazione x (1, -2) e raggio r = 3 vogliamo sapere qual è la posizione della retta – y + 2 = 0 rispetto ad essa. Non è necessario trovare l’equazione della circonferenza; basta infatti calcolare la distanza di retta C dalla e confrontarla con il raggio (metodo geometrico). Poiché possiamo concludere che la retta è esterna alla circonferenza. 21

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta ESEMPIO Troviamo le coordinate

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta ESEMPIO Troviamo le coordinate degli eventuali punti di intersezione tra la circonferenza di equazione e la retta di equazione Poiché dobbiamo individuare le coordinate dei punti di intersezione conviene risolvere il problema con il metodo algebrico. Scriviamo il sistema formato dalle equazioni date: 22

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Applichiamo il metodo di

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Applichiamo il metodo di sostituzione e otteniamo Svolgendo i calcoli nell’equazione risolvente otteniamo Questa equazione ammette due soluzioni reali distinte. Le corrispondenti soluzioni del sistema sono: I punti di intersezione sono quindi 23

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Il caso particolare delle

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Il caso particolare delle rette tangenti Vediamo ora il caso delle rette tangenti ad una circonferenza condotte da un punto del piano. Si possono distinguere tre casi: q Se P è esterno alla circonferenza, ci sono due rette tangenti; q Se P appartiene alla circonferenza, c’è una sola retta tangente; q Se P è interno alla circonferenza, non ci sono rette tangenti. 24

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Per trovare la retta

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Per trovare la retta tangente ad una circonferenza passante per un punto P del piano possiamo procedere in due modi: Metodo geometrico Metodo algebrico • • Scrivere il sistema tra l’equazione della circonferenza e quella del fascio di rette di centro P e si trova l’equazione risolvente. • Si calcola la distanza del centro della circonferenza dalla generica retta del fascio di centro P • Si impone che tale distanza sia uguale al raggio Si impone Δ = 0 25

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta ESEMPIO Data la circonferenza

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta ESEMPIO Data la circonferenza di equazione tangenti, passanti per il punto P vogliamo scrivere le equazioni delle rette ad essa (4, 0) Il punto P è esterno alla circonferenza. P 1° METODO (Algebrico) Scriviamo l’equazione del fascio di rette di centro P Equazione risolvente: Le equazioni delle rette tangenti sono: 26

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta 2° METODO (Geometrico) Scriviamo

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta 2° METODO (Geometrico) Scriviamo l’equazione del fascio in forma implicita Centro della circonferenza C (0, 0) raggio r=2 Distanza del centro dal fascio Equazione da risolvere 27

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta La tangente ad una

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta La tangente ad una circonferenza passante per un punto P di quest’ultima Anche per trovare la retta tangente passante per un punto P (x 0, y 0) che appartiene alla circonferenza si possono utilizzare due metodi: Metodo Geometrico Scrivere l’equazione della retta passante per P e perpendicolare a CP Formule di sdoppiamento Porre: al posto di nell’equazione della circonferenza 28

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta ESEMPIO Troviamo l’equazione della

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta ESEMPIO Troviamo l’equazione della retta tangente alla circonferenza di equazione nel suo punto P (2; 2) Con le formule di sdoppiamento Poniamo: al posto di Otteniamo così l’equazione: 29

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Con il metodo Geometrico

La circonferenza Posizioni reciproche di una circonferenza e una retta Con il metodo Geometrico Coordinate del centro della circonferenza: C (4, 0) Retta tangente: retta per P di coefficiente angolare 1 30