Il sistema di riferimento cartesiano Un sistema di

Il sistema di riferimento cartesiano Un sistema di riferimento cartesiano si compone di due rette orientate, tra loro perpendicolari, dette assi cartesiani. L’asse delle ascisse (o delle x), è quello orizzontale. L’asse delle ordinate (o delle y), è quello verticale. Il punto di intersezione degli assi è detto origine. Ogni punto del piano è individuato da una coppia ordinata di numeri: in figura è rappresentato il punto A(3; 4). Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 1

Il sistema di riferimento cartesiano Il piano cartesiano si può dividere in quattro settori denominati quadranti; essi sono numerati dal primo in alto a destra e si procede in senso antiorario. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 2

La distanza tra due punti Per determinare la distanza tra due punti nel piano cartesiano si possono presentare tre casi. I caso I due punti hanno la stessa ordinata Vogliamo calcolare la distanza tra i punti: e REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi uguale ordinata è data dal valore assoluto della differenza delle rispettive ascisse. In simboli: Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 3

La distanza tra due punti II caso I due punti hanno la stessa ascissa Vogliamo calcolare la distanza tra i punti: e REGOLA. La misura del segmento AB con A e B aventi uguale ascissa è data dal valore assoluto della differenza delle rispettive ordinate. In simboli: Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 4

La distanza tra due punti III caso I due punti hanno ascisse e ordinate diverse Vogliamo calcolare la distanza tra i punti: e Consideriamo il triangolo rettangolo ABC, ottenuto tracciando da A e da B rispettivamente le parallele agli assi x e y, e calcoliamo la lunghezza della sua ipotenusa con il teorema di Pitagora: REGOLA. Per determinare la distanza tra due punti A e B si applica il teorema di Pitagora e si calcola la misura dell’ipotenusa del triangolo rettangolo avente per cateti le proiezioni del segmento AB sugli assi cartesiani. In simboli. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 5

Le coordinate del punto medio di un segmento REGOLA. Le coordinate del punto medio M di un segmento AB sono date dalle semisomme delle ascisse e delle ordinate degli estremi del segmento. In simboli: Vogliamo calcolare le coordinate del punto medio M del segmento di estremi e Applichiamo direttamente la formula: Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 6

La funzione di proporzionalità diretta DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono direttamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, dimezzando … l’una, raddoppia, triplica, si dimezza … anche l’altra. DEFINIZIONE. Due grandezze sono direttamente proporzionali se il loro rapporto è costante. In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con m la costante di proporzionalità diretta abbiamo: quindi con m ≠ 0 La formula precedente rappresenta la funzione di proporzionalità diretta; in essa m rappresenta il coefficiente di proporzionalità diretta. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 7

Rappresentazione cartesiana della funzione y = mx Consideriamo la funzione di proporzionalità diretta di equazione in cui il coefficiente di proporzionalità è 3. Il grafico della funzione y = 3 x è una retta passante per l’origine degli assi, quindi generalizzando possiamo dire che: DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità diretta è rappresentata nel piano cartesiano da una retta passante per l’origine. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 8

Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta PROPRIETÀ. La funzione y = mx rappresenta sempre una retta passante per l’origine, inoltre: § se m > 0 la retta appartiene al 1° e 3° quadrante; § se m < 0 la retta appartiene al 2° e 4° quadrante. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 9

Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta PROPRIETÀ. Nella funzione y = mx: § se m = 1 la retta è la bisettrice del 1° e 3° quadrante; § se m = − 1 la retta è la bisettrice del 2° e 4° quadrante. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 10

Considerazioni sul coefficiente di proporzionalità diretta PROPRIETÀ. Maggiore è il valore del coefficiente angolare m (in valore assoluto) tanto più l’inclinazione della retta si avvicina all’asse y. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 11

La retta nel piano cartesiano Rappresentiamo nel piano la funzione Più in generale: PROPRIETÀ. Ogni funzione del tipo y = mx + q (con m e q costanti) rappresenta l’equazione di una retta; m è il coefficiente angolare e q rappresenta l’ordinata all’origine. È importante notare che l’equazione generica di una retta y = mx + q non è più una funzione di proporzionalità diretta. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 12

Le equazioni di rette particolari Rette parallele all’asse x PROPRIETÀ. y = k è l’equazione di una retta parallela all’asse delle x. § Se k > 0 le rette parallele all’asse x appartengono al semipiano positivo delle ordinate; § se k < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle ordinate; § se k = 0 la retta coincide con l’asse x e la sua equazione diventa y = 0; diremo allora che y = 0 è l’equazione dell’asse x. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 13

Le equazioni di rette particolari Rette parallele all’asse y PROPRIETÀ. x = h è l’equazione di una retta parallela all’asse delle y. § Se h > 0 le rette parallele all’asse y appartengono al semipiano positivo delle ascisse; § se h < 0 le rette appartengono al semipiano negativo delle ascisse; § se h = 0 la retta coincide con l’asse y e la sua equazione diventa x = 0; diremo allora che x = 0 è l’equazione dell’asse y. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 14

Le equazioni di rette particolari Rette tra loro parallele PROPRIETÀ. Due rette parallele hanno lo stesso coefficiente angolare. In simboli, date: se e solo se Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 15

Le equazioni di rette particolari Rette tra loro perpendicolari PROPRIETÀ. Due rette sono perpendicolari se il coefficiente angolare della prima è l’antireciproco dell’altro. In simboli, date se e solo se Le funzioni matematiche e il piano cartesiano ovvero 16

L’intersezione di una retta con gli assi cartesiani REGOLA. Le coordinate dei due punti di intersezione di una retta di equazione y = mx + q con gli assi x e y si ottengono ponendo in essa y = 0 e x = 0 e calcolando i valori corrispondenti dell’ascissa e dell’ordinata dei due punti. Troviamo, ad esempio, i punti d’intersezione con gli assi della retta Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 17

Equazioni di rette FORMULA. L’equazione che permette di determinare l’equazione di una retta passante per un punto P(x 0; y 0) e di coefficiente angolare m è FORMULA. L’equazione che permette di determinare l’equazione di una retta passante per i punti A(x 1; y 1) e B(x 2; y 2) è Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 18

La funzione di proporzionalità inversa DEFINIZIONE. Due grandezze si dicono inversamente proporzionali se raddoppiando, triplicando, dimezzando … l’una, si dimezza, diventa un terzo, raddoppia … l’altra. DEFINIZIONE. Due grandezze sono inversamente proporzionali se il loro prodotto è costante. In generale se x e y sono una qualsiasi coppia di valori corrispondenti, indicata con k la costante di proporzionalità inversa, abbiamo: La formula precedente rappresenta dunque la funzione di proporzionalità inversa; in essa k è il coefficiente di proporzionalità inversa. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 19

La rappresentazione cartesiana della funzione xy=k Consideriamo la funzione di proporzionalità inversa di equazione Il grafico è un ramo di curva che prende il nome di iperbole equilatera. In generale: DEFINIZIONE. La legge di proporzionalità inversa è rappresentata nel piano cartesiano da un’iperbole equilatera. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 20

La proporzionalità quadratica e la parabola DEFINIZIONE. Due grandezze x e y sono in proporzionalità quadratica quando la relazione che le lega si può esprimere con una formula del tipo: La formula precedente rappresenta la funzione di proporzionalità quadratica; in essa a prende il nome di coefficiente di proporzionalità quadratica. La funzione di proporzionalità quadratica è rappresentata nel piano cartesiano da una curva, chiamata parabola. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 21

La proporzionalità quadratica e la parabola DEFINIZIONE. Una funzione del tipo y = ax 2 (con a ≠ 0) è l’equazione di una parabola avente come asse di simmetria l’asse y e come vertice l’origine degli assi. In particolare • se a > 0 la parabola ha la concavità verso l’alto; • se a < 0 la parabola ha la concavità verso il basso. Le funzioni matematiche e il piano cartesiano 22