Graphical Visualization A Particular Theory A proof The
- Slides: 38
Graphical Visualization A Particular Theory A proof The Axioms of the Theory Various Theorems …
Modus Ponens • Consider (p (p→q)) → q p T T F q T F F p→q p (p→q)) (p (p→q)) → q T T T F F T T F T p p q q T F T
Modus Tollens • Assume that we know: ¬q and p → q – Recall that p → q ¬q → ¬p • Thus, we know ¬q and ¬q → ¬p • We can conclude ¬p q p
Modus Ponens & Tollens p p q q Rule of modus ponens (a. k. a. law of detachment) (p ( p q)) q “the mode of affirming” q p q p Rule of modus tollens ( q (p q)) p “the mode of denying”
Example of proof 1. ¬p q 2. ¬p 1 st hypothesis Simplification using step 1
Example of proof 1. ¬p q 2. ¬p 3. r → p 4. ¬r 1 st hypothesis Simplification using step 1 2 nd hypothesis Modus tollens using steps 2 & 3
Example of proof 1. 2. 3. 4. 5. 6. ¬p q ¬p r → p ¬r ¬r → s s 1 st hypothesis Simplification using step 1 2 nd hypothesis Modus tollens using steps 2 & 3 3 rd hypothesis Modus ponens using steps 4 & 5
Example of proof 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. ¬p q ¬p r → p ¬r ¬r → s s s → t t 1 st hypothesis Simplification using step 1 2 nd hypothesis Modus tollens using steps 2 & 3 3 rd hypothesis Modus ponens using steps 4 & 5 4 th hypothesis Modus ponens using steps 6 & 7
More Rules of Inference • Conjunction: if p and q are true separately, then p q is true • Resolution: If p q is true, and ¬p r is true, then q r must be true
�������� �� p q �������� q r (Hypothetical syllogism) p r p q ����������� p (Disjunctive syllogism) Aristotle (ca. 384 -322 B. C. ) q
ตารางกฎการอนมาน p Modus ponens p q q Hypothetical syllogism p q q r p r Addition p p q Conjunction p q Modus tollens q p q p Disjunctive syllogism p q Simplification p q p Resolution p q p r q r
Resolution p q r T T T F F F F T T T T F F F T F F
�������� (������ rd hypothesis ( 1. ¬t 3������ 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. s → t 2 nd hypothesis ¬s Modus tollens using steps 2 & 3 (¬r ¬f)→(s l)1 st hypothesis ¬(s l)→¬(¬r ¬f) Contrapositive of step 4 (¬s ¬l)→(r f)De. Morgan’s law and double negation law ¬s ¬l Addition from step 3 r f Modus ponens using steps 6 & 7 r Simplification using step 8
�������� (������ rd hypothesis ( 1. ¬t 3������ 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. s → t 2 nd hypothesis ¬s Modus tollens using steps 2 & 3 (¬r ¬f)→(s l)1 st hypothesis ¬(s l)→¬(¬r ¬f) Contrapositive of step 4 (¬s ¬l)→(r f)De. Morgan’s law and double negation law ¬s ¬l Addition from step 3 r f Modus ponens using steps 6 & 7 r Simplification using step 8
�������� (������ rd hypothesis ( 1. ¬t 3������ 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. s → t 2 nd hypothesis ¬s Modus tollens using steps 2 & 3 (¬r ¬f)→(s l)1 st hypothesis ¬(s l)→¬(¬r ¬f) Contrapositive of step 4 (¬s ¬l)→(r f)De. Morgan’s law and double negation law ¬s ¬l Addition from step 3 r f Modus ponens using steps 6 & 7 r Simplification using step 8
�������� (������ rd hypothesis ( 1. ¬t 3������ 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. s → t 2 nd hypothesis ¬s Modus tollens using steps 2 & 3 (¬r ¬f)→(s l)1 st hypothesis ¬(s l)→¬(¬r ¬f) Contrapositive of step 4 (¬s ¬l)→(r f)De. Morgan’s law and double negation law ¬s ¬l Addition from step 3 r f Modus ponens using steps 6 & 7 r Simplification using step 8
Example of proof 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. x (R(x)→T(x)) R(Linda) → T(Linda) R(Linda) T(Linda) C(Linda) T(Linda) x (C(x) T(x)) 3 rd hypothesis Universal instantiation using step 1 2 nd hypothesis Modes ponens using steps 2 & 3 1 st hypothesis Conjunction using steps 4 & 5 Existential generalization using step 6 ��������� “���������
Example of proof • Given the hypotheses: – “There is someone in this class who x (C(x) F(x)) has been to France” x (F(x)→L(x)) – “Everyone who goes to France visits the Louvre” • Can you conclude: “Someone in this class has visited the Louvre”? x (C(x) L(x))
Example of proof 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. x (C(x) F(x)) C(y) F(y) C(y) x (F(x)→L(x)) F(y) → L(y) C(y) L(y) x (C(x) L(x)) 1 st hypothesis Existential instantiation using step 1 Simplification using step 2 2 nd hypothesis Universal instantiation using step 5 Modus ponens using steps 3 & 6 Conjunction using steps 4 & 7 Existential generalization using step 8 Thus, we have shown that “Someone in this class has visited the Louvre”
How do you know which one to use? • Experience! • In general, use quantifiers with statements like “for all” or “there exists”
- Direct proof and indirect proof
- Direct proof and indirect proof
- How to write an indirect proof
- Direct proof and indirect proof
- Unit 2 logic and proof algebraic proof worksheet
- Unit 2 logic and proof homework 6 algebraic proof day 1
- Graphical models for game theory
- Set identities table
- Proof of continental drift theory
- Proof of continental drift theory
- Hát kết hợp bộ gõ cơ thể
- Ng-html
- Bổ thể
- Tỉ lệ cơ thể trẻ em
- Chó sói
- Tư thế worm breton
- Chúa sống lại
- Các môn thể thao bắt đầu bằng tiếng nhảy
- Thế nào là hệ số cao nhất
- Các châu lục và đại dương trên thế giới
- Cong thức tính động năng
- Trời xanh đây là của chúng ta thể thơ
- Cách giải mật thư tọa độ
- Phép trừ bù
- Phản ứng thế ankan
- Các châu lục và đại dương trên thế giới
- Thơ thất ngôn tứ tuyệt đường luật
- Quá trình desamine hóa có thể tạo ra
- Một số thể thơ truyền thống
- Cái miệng xinh xinh thế chỉ nói điều hay thôi
- Vẽ hình chiếu vuông góc của vật thể sau
- Biện pháp chống mỏi cơ
- đặc điểm cơ thể của người tối cổ
- V cc
- Vẽ hình chiếu đứng bằng cạnh của vật thể
- Tia chieu sa te
- Thẻ vin
- đại từ thay thế
- điện thế nghỉ