Estadstica GITI Tema 9 Inferncia TEMA 9 INFERNCIA

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia TEMA 9. INFERÉNCIA 1

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 9. 1 ESTIMACIÓ PUNTUAL • 2

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia Selecció del millor estimador L'error quadràtic mig 3

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 4 • Per a cada estimador ens interessa conèixer la seua funció de distribució, la seua mitja i la seua variància o desviació típica • Per exemple, la variància de la mitja mostral és • En cas de no conèixer la variància poblacional, la estimem per la variància mostral, amb la qual cosa la variància de l'estimador és realment una estimació de la variància poblacional de l'estimador. • La desviació típica d'esta variància estimada es denomina error estàndard de l'estimador = • L’error estàndard de la mitjana mostral és

Estadística (GITI) Activitat: Tema 9. Inferéncia 5

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 6 9. 2. ESTIMACIÓ PER INTERVALS DE CONFIANÇA •

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia Quina es la confiança? Quant val la significació? 7

Estadística (GITI) 8 Tema 9. Inferéncia 9. 2. 1. Interval de confiança per al valor mig poblacional • Si desviació típica poblacional és coneguda 1 -α • Si la desviació típica poblacional és desconeguda N(0, 1) 0

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 9 Error d'estimació de la mitjana poblacional •

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 10 Càlcul de la grandària mostral per a un error determinat • Si desitgem saber quantes unitats hem d'analitzar perquè nostra estimació de la mitjana poblacional no siga superior a un error determinat amb un nivell de confiança de , • Si no coneixem la el valor de la n és,

Estadística (GITI) 11 Tema 9. Inferéncia 9. 2. 2. Interval de confiança per a la variància poblacional • Per a una m. a. s. extreta d'una població normal , tenim que 1 -α

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 12 9. 2. 3. Interval de confiança per al quocient de variàncies poblacionals • Siga una m. a. s. extreta d'una població , i una altra m. a. s. extreta d'una població , es té que:

Estadística (GITI) Activitat: Tema 9. Inferéncia 13

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 14 9. 2. 4. Interval de confiança per a la proporció • l’ interval de confiança per a la proporció de defectuoses és • Error de estimació • l’ interval de confiança per a la proporció de defectes és • Error de estimació

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 15

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 16

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 17 9. 2. 5. Interval de confiança per a la diferència de proporcions • interval de confiança per a la diferència de proporcions de defectuoses diferència de proporcions de defectes

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 18 9. 2. 6. Interval de confiança per a la diferència de mitges poblacionals • Un altra alternativa

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 19

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 20

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 21 9. 3. TEST D’HIPÒTESI 9. 3. 1. CONCEPTES • Una hipòtesi és una afirmació sobre alguna cosa • Amb esta suposició estudiem les dades i el seu comportament, i si no hi ha molta discrepància entre el que s’observa i allò que s'ha esperat, acceptem tal afirmació, almenys diem que no n'hi ha prou d’evidència com per a rebutjar-la hipòtesi nul·la. • dos decisions següents: • accepte l'afirmació plantejada. • rebutge l'afirmació plantejada. • L'afirmació que realitzem s'anomena "hipòtesi nul·la" i quasi sempre és la més senzilla, i la contrària s'anomena "hipòtesi alternativa". • Si la hipòtesi sobre el valor d'un paràmetre es redueix a un punt, diem que la hipòtesi és "simple", i si es tracta d'un conjunt de punts, diem que la hipòtesi és "composta".

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 22 Regió d'acceptació i de rebuig • Una vegada plantejades la hipòtesi nul·la i l'alternativa, el problema consisteix a prendre una mostra de la població, i a partir d'ella decidir si acceptar o rebutjar la hipòtesi nul·la. • Açò equival a dividir l'espai mostral en dos zones

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 23 Errors de primera i segona espècies • error de primera espècie Rebutjar la H 0 quan realment es la H 0 • l'error de segona espècie Acceptar la H 0 quan realment es la Hº 1

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 24 Potència del test • es defineix com Corba CC= probabilitat de acceptar la H 0 en funció del paràmetre Potència=Probabilitat de rebutjar la H 0 en funció del paràmetre CC+Pot = 1

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia Error β 25

Estadística (GITI) Comparaciò de test Potència del test Tema 9. Inferéncia 26

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 27 les hipòtesis que se solen plantejar es redueixen a tres: • Hipòtesi nul·la enfront de l'alternativa . Es diu que és un test bilateral. • Hipòtesi nul·la o enfront de l'alternativa . És un test unilateral. • Hipòtesi nul·la o enfront de l'alternativa . És un test unilateral.

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 28 Obtenció dels tests • La forma pràctica d'obtenció del test d'hipòtesi és la següent: davall el supòsit que es compleix la hipòtesi nul·la , observem un estadístic "T", funció de la mostra, que seguirà un determinat tipus de distribució, i per tant serà molt probable que el valor observat estiga dins del camp d'existència de la distribució T Si es menor de α, rebutjem La H 0 • Però si el valor observat cau fora de l’ interval esperat, açò està en contradicció amb la hipòtesi nul·la, la qual cosa ens porta a rebutjar-la

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia P-value Si p-value > α aceptar la H 0 Si p-value <α rebutjar la H 0 29

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 30 9. 4. 1. CONTRASTS DEL VALOR MIG D'UNA POBLACIONAL NORMAL Les hipòtesis que plantegem són • suposat que la variància poblacional siga coneguda • Si la variància poblacional és desconeguda • i amb el supòsit de la hipòtesi nul·la, es compleix que: • i si la T observada resulta • després, si • llavors es rebutja la hipòtesi nul·la. • rebutgem la hipòtesi nul·la.

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 31

Tema 9. Inferéncia 32 Càlcul de la Estadística (GITI) Suposant que la no haja canviat, per obtindre la probabilitat tipifiquem, però ara la distribució de la mitjana mostral es

Tema 9. Inferéncia Tamany mostral Si ens donen dos punts de la corba característica Estadística (GITI) El tamany de , mostra per al contrast d’hipòtesi, sobte imposant que la corba característica passi per eixos dos punts 33

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 34 9. 4. 2. TEST D'HIPÒTESI PER LA VARIÀNCIA POBLACIONAL • l'estadístic • valors de la chi-quadrat tals que: • si la Tobserv està fora d'eixe interval, rebutgem la hipòtesi nul·la. Si rebutgem la H 0

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 35

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 36 9. 4. 3. TEST PER AL QUOCIENT DE VARIÀNCIES POBLACIONALES • l'estadístic a observar és • amb el supòsit que , l'estadístic es redueix a: Si rebutgem la H 0

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 37

Estadística (GITI) 9. 4. 4. Tema 9. Inferéncia 38 CONTRASTS DE PROPORCIONS • Per a contrastar si el percentatge de defectes d'un lot de peces és , mostregem n peces a l'atzar del lot, i observem el nombre X de peces defectuoses • regió d'acceptació del test és • regió de rebuig és la contrària • Quan es tracte de la hipòtesis alternativa l’àrea ratllada estarà a la dreta, i per l’alternativa l’àrea rallada estarà a la esquerra.

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 39 Cálcul de la per a una proporció • El càlcul de la es fa sempre amb la escala original i mai amb la tipificà. D’aquesta forma per al test front a per a defectuoses els límits de la zona d’ acceptació són, • Si la proporció fora p 1, el valor de és • Per a la proporció de defectes, és tot el mateix però canviant p·q per sols p.

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 40 Gráfics de control per la proporció de peces defectuoses • Per a controlar que la proporció de peces defectuoses de un procés industrial es manté amb un nivell de p 0 , prenem una mostra al atzar de mida n i observem la proporció mostral

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 41 Tamany mostral • Donant dos punts de la corba característica, per la proporció de defectuoses, el tamany mostral es, • Si es tracta de la proporció de defectes, el tamany mostral es,

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 42

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 43

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 44 9. 4. 5. TEST D'HIPÒTESIS PER LA DIFERÈNCIA DE MOSTRES INDEPENDENTS • Si partim de dues poblacions que segueixen distribucions N(µ 1 , 1) i N(µ 2 , 2) respectivament, per a realitzar el contrast de, • observem l'estadístic • L'àrea d'acceptació és • desconegudes però iguals, la comuna l'estimem mitjançant, • acceptem la hipòtesi nul·la d'igualtat de mitges

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 45 • Per al contrast unilateral • acceptem la H 0 quan • Quan es tracte de la hipòtesi alternativa l’àrea ratllada estarà a la esquerra.

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 46

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 47

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 48 9. 4. 6. TEST PER A LA DIFERÈNCIA DE MITJANES APARELLADES • Es tracta d'un contrast per a la diferència de mitjanes de dos poblacions, però que les mostres obtingudes no són independents. • El tamany de la mostra és n, i per a cada element tenim les observacions x 1 i i x 2 i, el primer i segon mesurament, i desitgem contrastar si les • test de diferències de mitges • Es redueix al test • observem l’estadístic • Si acceptem la hipòtesi nul·la d'igualtat de mitges i en cas contrari la rebutgem.

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 49 9. 4. 7. TEST PER LA DIFERÈNCIA DE PROPORCIONS • Es tracta d'un contrast per a comprovar si les proporcions de dues poblacions són iguals o distintes. • El test que plantem és • El qual equival a, • l'estadístic • Amb el supòsit que es complisquen la H 0 , i n 1 i n 2 prou grans, l'estadístic T es distribueix segons una normal tipificada • Si acceptem la hipòtesi nul·la amb un nivell de significació de α, i en cas contrari rebutgem la hipòtesi nul·la.

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 50

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 51 9. 4. 8. Test d'ajust a una distribució • Quan observem unes dades extretes a l'atzar d'una població es planteja la hipòtesi de si el dit població és d'un determinat tipus • d'un exemple senzill OBSERVAT ESPERAT 9 13 7 14 12 5 10 10 10 • A la vista dels resultats, podem dir que el dau està bé? • la freqüència esperada de cada xi és • Per a mesurar està diferència emprem l'estadístic Chi-quadrat

Estadística (GITI) • Tema 9. Inferéncia 52

Estadística (GITI) OBSERVAT Tema 9. Inferéncia ESPERAT Suma…… CONTRIBUCIÓ 0, 1 0, 9 1, 6 0, 4 2, 5 6, 4 p-valor…, 0, 269218814 9 13 7 14 12 5 10 10 10 53

Estadística (GITI) Ajust a una distribució • Tema 9. Inferéncia 54

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 55

Tema 9. Inferéncia 56 9. 4. 9. Test d'independència • Moltes vegades classifiquem als elements d'una població en funció de dos característiques, la A i la B, on la característica A té r possibles valors, i la B té c possibles valors. La classificació de cada element segons el valor de a i el valor de B dóna lloc a una taula de doble entrada, files i columnes, que rep el nom de “taula de contingència • es tracta de comprovar si la característica A és independent de la característica B B A

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 57

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia • La probabilitat de pertànyer a la classe Ai i a la classe Bj és, • I baix el supòsit d'independència, es complix que, • I les hipòtesis són, • Per a comprovar esta hipòtesi apliquem l'estadístic chi-quadrat com, 58

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 59 • I baix la H 0 la quantitat es distribueix segons una Chi-quadrat de (r-1) • (c-1) graus de llibertat. • La regla de decisió és, Si acceptem la H 0. Si rebutgem la H 0. • O bé calculant el p-valor , • • Si p-valor > α Acceptem la H 0. Si p-valor < α Rebutgem la H 0. • Perquè funcioni bé el test la freqüència esperada en cada casella ha de ser superior a 5.

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 60 • Per al contrast d'igualtat de proporcions de diverses poblacions o per a la igualtat de diverses poblacions (contrast d'homogeneïtat), les dades es classifiquen com una taula de contingència i s'aplica el mateix procediment que el vist en el test d'independència. Componentes defectuosos Component es correctos Total Distribuidor 1 16 81 100 Distribuidor 2 24 76 100 Distribuidor 3 9 94 100 Total 49 251 300

Estadística (GITI) Tema 9. Inferéncia 61