Estadstica GITI Tema 4 Variable aleatria 1 TEMA

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 1 TEMA 4. VARIABLE ALEATÒRIA

Estadística (GITI) Tema 3. Probabilitats 2 4. 1. DEFINICIÓ DE VARIABLE ALEATORIA • L'aplicació és una variable aleatòria unidimensional, si i només si, l'antiimatge de qualsevol interval pertany a la -àlgebra F

Estadística (GITI) Tema 3. Probabilitats 4. 2. FUNCIÓ DE DISTRIBUCIÓ • Esta funció F(x) té les següents propietats: • 3

Estadística (GITI) Tema 3. Probabilitats 4

Estadística (GITI) Tema 3. Probabilitats 5 4. 3. VARIABLE ALEATÒRIA DISCRETA • Una variable aleatòria és discreta quan pren un conjunt finit de valors. També s'anomena categòrica • La quantitat de massa es troba emmagatzemada en un conjunt de punts de la recta real. La funció de probabilitat P(x) defineix la quantitat de massa de cada punt. La funció de distribució té uns bots en els punts discrets de massa. • Si la v. a. és discreta, la quantitat de massa està repartida en una sèrie de punts discrets de la recta real, cada u d'ells amb. la funció de distribució és la suma de totes les masses que hi ha a l'esquerra, açò és:

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 6 4. 4. VARIABLES ALEATÒRIES CONTÍNUES • Es tracta del límit de la variable aleatòria discreta • Funció de densitat • També diem que X és contínua si la és contínua en tot punt i derivable respecte de x, excepte com a màxim en un nombre finit de punts o intervals • la probabilitat d’ exactament un punt és • la quantitat de massa en un diferencial de longitud és:

Estadística (GITI) 7 Tema 4. Variable aleatòria • f(x) P(X=10)=0 P(X<=10)=F(10) P(20<=X<=30)=F(30)-F(20) F(10) F(x)

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 8 4. 5. ESPERANÇA MATEMÀTICA • Donada la variable aleatòria X i una funció uniforme , anomenem Esperança Matemàtica d’aquesta funció, a l'expressió: • Si la v. a. és discreta • si la v. a. és contínua

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 9 4. 6. PROPIETATS DE L’ESPERANÇA MATEMÀTICA • L'esperança matemàtica és un operador lineal, açò és, siga X una variable aleatòria, i dos funcions uniformes de la mateixa, llavors l'esperança matemàtica d'una combinació lineal d’aquestes funcions és:

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 10 4. 6. 1. CONCEPTE DE MOMENTS RESPECTE A L’ORIGEN I CENTRALS • moment respecte a l'origen d'orde , • Si la v. a. és discreta, es té • i si la v. a. és contínua • valor mig, de la v. a. X, • Cas discret és: • Cas continu és

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria moment centrat d'orde • Si la v. a. és discreta • i si la v. a. és contínua • El moment centrat d'orde =1 és sempre nul, ja que 11

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 12 Valor mig • Expressa, mecànicament, el centre de gravetat de la distribució de masses • 1)Si multipliquem la v. a. per una constant a, el valor mig queda multiplicat per aquesta constant. • • 2) El valor mig d'una constant és la mateixa constant. • • 3) El valor mig d'una suma de variables aleatòries és la suma de les seues mitges. • 4) El valor mig d'una combinació lineal de variables aleatòries és la combinació lineal de les seues mitges, açò és: • • Si l'espai mostral és discret i simètric, amb n elements, i el valor mig és

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 13 Mediana • Expressa el punt per davall del qual està el 50% dels valors i per damunt el 50 % dels valors. Matemàticament, és aquell valor de x per al qual F(x), la funció de distribució, val 0, 5. • A aquell valor de x per davall del qual hi ha una quantitat de massa de p%, se li diu percentil p. D'esta forma: • Si la quantitat de massa la dividim en 4 parts, a cada u dels punts de la divisió se li diu "cuartil".

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 14 4. 7. VARIÀNCIA. CONCEPTE I PROPIETATS • Es defineix com el moment centrat d'orde 2, és a dir: • Si la v. a. és discreta • si la v. a. és contínua

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 15 propietats • 1) La variància d'una constant és zero. • • • 2) La variància d'una constant per la v. a. X és la constant al quadrat per la variància de la variable aleatòria X. • • • 3) la variància de és: • • 4) La variància en funció dels moments respecte a l'origen val: • •

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 16 Desviació típica • La variància és una mesura al quadrat i per tant no es pot comparar amb la mesura X. Per a poder fer comparacions emprem l'arrel quadrada en signe positiu de la variància, a la qual denominem desviació típica, i s'expressa per: • • • Si la desviació típica és gran, indica que hi ha una gran dispersió en les dades. • • Tant la variància com la desviació típica són mesures poc robustes, ja que per a valors extrems (molt alts o molt baixos) es modifica en gran manera el seu valor.

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 17 4. 8. PARÀMETRES D’UNA DISTRIBUCIÓ • Rang o Recorregut • • Una altra idea de la dispersió de les dades la indica la diferència entre el màxim i el mínim, a la qual vam denominar "Recorregut" o "Rang" de variació de la v. a. X. • • • Coeficient de variació • • És el quocient entre la desviació típica i la mitjana de la variable aleatòria • • • Serveix per a comparar dispersions de dos distribucions, quan estes tenen diferents situacions en la recta real. De vegades s’expressa en tant per cent.

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria • Coeficient d'asimetria • Coeficient d'apuntament o de curtosis • 18

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 19 4. 9. 2. FUNCIÓ DE DISTRIBUCIÓ • F(x, y) és sempre contínua per la dreta i discontínua per l'esquerra de en aquells punts de probabilitat no nul·la. • Per a v. a. discretes s'obté sumant totes les masses que hi ha per davall i a l'esquerra del punt.

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 20 4. 9. 4. INDEPENDÈNCIA DE VARIABLES ALEATÒRIES • Donada una variable aleatòria bidimensional direm que les v. a. marginals són independents, quan per a qualsevol es compleix que els successos i són independents • Si la v. a. és contínua, i les marginals són independents

Estadística (GITI) 4. 9. 5. Tema 4. Variable aleatòria 21 ESPERANÇA DE VECTORS ALEATORIS • Donada la v. a. i una funció uniforme es defineix esperança matemàtica d’aquesta funció, al valor mig que cal esperar de la funció, a l'extraure infinits valors de la v. a. Bidimensional • Si la v. a. és discreta • i si la v. a. és contínua

Estadística (GITI) Tema 4. Variable aleatòria 22 Moments • Si la funció és ara , a la seua esperança matemàtica se li diu moment respecte a l'origen d'orde u+v, la seua expressió • Si la v. a. és discreta • Si la v. a. és contínua moment centrat d'orde u+v

Estadística (GITI) 4. 9. 6. Tema 4. Variable aleatòria 23 MATRIU DE VARIANCES COVARIANCES • covariància i expressa el grau de relació lineal que existeix entre.

Estadística (GITI) 4. 9. 7. • Tema 4. Variable aleatòria COEFICIENT DE CORRELACIÓ 24

Estadística (GITI) 4. 9. 8. Tema 4. Variable aleatòria 25 COMBINACIÓ LINEAL DE VARIABLES • Si la v. a. Y ve donada per una combinació lineal de les v. a. X 1, X 2 de la forma, • • El valor mig de la v. a. Y es, • • • Si les v. a. X 1, X 2 són dependents, aleshores la variància de Y es, • • • I aplicant l’operador valor mig, queda, • • • Si les v. a. X 1, X 2 son independents, a les hores la variància de Y es,