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FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función f de la forma: Donde a, b, c son números reales y a≠ 0 Función cuadrática simple En particular, si se toma a=1, b=0, c=0 Representación gráfica f x f(x) 0 0 1/2 1/4 -1/2 1/4 1 1 -1 2 1 4 -2 4 2

Función cuadrática simple Análisis de la gráfica de Dominio: Rango: Ø La gráfica es simétrica con respecto al eje y Función par Ø Ecuación del eje de simetría Vértice ( 0, 0 ), punto más bajo o más alto de la parábola 3

Función cuadrática simple Continuación análisis de la gráfica de Ø La parábola abre hacia arriba (cóncava hacia arriba) Ø Creciente: Ø Decreciente: 4

TRANSFORMACIONES GEOMÉTRICAS 5

Función cuadrática simple Contracción Vertical 6

Función cuadrática simple Dilatación Vertical 7

Función cuadrática simple Reflexión sobre el eje x: La gráfica es una parábola que abre hacia abajo (cóncava hacia abajo) Dominio: Rango: La gráfica es simétrica con respecto al eje y Ecuación del eje de simetría: Vértice ( 0, 0 ) Punto máximo ( 0, 0 ) Creciente: Decreciente: 8

Función cuadrática simple Traslación horizontal: Si h = 2, el vértice de la parábola se traslada 2 unidades a la derecha. Ecuación eje simetría: x= 2 Intersección x ( 2, 0 ) Intersección y ( 0, 4 ) Creciente: (2, ∞) Decreciente: (-∞, 2) Vértice (2, 0) Vértice (-1, 0) Si h = -1, el vértice se traslada 1 unidad a la izquierda. Ecuación eje simetría: x= -1 Intersección x (-1, 0 ) Intersección y ( 0, 1 ) Creciente: (-1, ∞) Decreciente: (-∞, -1) 9

Función cuadrática simple Traslación Vertical: Se observa que para k=2, el vértice de la parábola se traslada dos unidades hacia arriba. 2 4 Para k =- 4, el vértice de la parábola se traslada 4 unidades hacia abajo El rango y el punto mínimo cambian Vértice (0, 2) Rango: Vértice (0, -4) Rango: 10

Otras expresiones para la función cuadrática Forma estándar ó canónica 11

FUNCIÓN CUADRÁTICA Resumiendo: A partir de la transformación de la función simple: se obtienen parábolas de la forma: En donde: Dominio: (-∞, ∞) Rango: Si a<0 a>0 Vértice: Desplazamiento horizontal: h Desplazamiento vertical: k Contracción o dilatación vertical: a 12

Ejemplo 1: Trazar la función a partir de la función 13

Ejemplo 1: continuación 14

Ejemplo 1: continuación Dominio: Rango: Ecuación eje de simetría: Punto mínimo: (1, -8) Creciente: ( 1, ∞ ) Decreciente: ( -∞, 1 ) Eje de simetría Vértice (1, -8) h k 15

Ejemplo 1: continuación Intersección y B(-1, 0) C(3, 0) (0, -6) Intersecciones x A(0, -6) (-1, 0) y (3, 0) 16

Ejemplo 1: continuación 17

Ejemplo 2: Determine la ecuación de la parábola cuya gráfica es: Vértice (2, 3) Intersecto eje y (0, -5) Ecuación eje de simetría Con esta información se encuentra el valor de a 18

es otra expresión algebraica de una ecuación cuadrática-Parábola_ Cuadrando el binomio, podemos expresar la función dada de la forma: Vértice: 19

Resumiendo: Dada la función: 20

Ejemplo 3: 21

Ejemplo 3: (continuación) Intersecciones con el eje x : Se hace f (x) = 0, esto es: 22

Ejemplo 3: (continuación) Ecuación eje simetría 23

Ejemplo 4: Solución En la ecuación: 24

Ejemplo 4 (continuación) ( 6, 14 ) Deberán producirse 6 unidades del artículo para que el costo mínimo promedio por unidad sea de US$14 25

Producto de factores lineales Los ceros de la función cuadrática, llamados también raíces son los valores de “x” cuya imagen tienen valor cero. Como es cuadrática tiene a lo sumo dos ceros. Si los denominamos x 1 y x 2 , podemos utilizarlos para expresar la función como producto de factores lineales. 26

Ceros de la función cuadrática Se dijo que la función cuadrática tenía a lo sumo dos ceros. Estos ceros son de la forma (x, 0), por lo tanto se calculan haciendo a f (x) igual a cero. 27

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Ejemplo 5: Encontrar gráficamente el conjunto solución de: Solución vamos a resolver f (x) > g(x) f (x) es una parábola cóncava hacia arriba con vértice en ( -2, -1 ) g (x) es una parábola cóncava hacia abajo con intersecto con el eje y (0, 3) 29

Ejemplo 5: (continuación) Su representación gráfica es: Se observa que las dos gráficas se cortan en los puntos: (-2, -1) y ( 0, 3). También vemos que f (x) > g (x) en los siguientes intervalos: (0, 3) -2 (-2, -1) 30

Ejemplo 5: Un latonero dispone de una lámina rectangular de aluminio de 16 pulgadas de ancho y debe construir una canal doblando dos lados 90° hacia arriba. Cuántas pulgadas deberán doblarse para que la canal tenga la mayor área transversal y con ello permita el mayor flujo de agua? x = cantidad de pulgadas dobladas A(x) = área transversal en función de la cantidad doblada La capacidad de flujo será máxima cuando el área transversal del rectángulo sea máxima. 31

Ejemplo 5: (continuación) Revisemos la función: Parábola x=4, es el doblés que hace que la sección transversal sea la mayor. El área máxima se encuentra El área máxima son 32 pul² en el vértice. 32

Ejemplo 6 33

Ejemplo 6: (Continuación) Al resolver la ecuación cuadrática se obtiene: ó Se descarta este valor ; no tiene sentido una distancia negativa. 34

Ejemplo 6: (Continuación) El valor para x lo sustituimos en cualquiera de las dos ecuaciones para encontrar el valor de y (altura del impacto) Interpretación: El proyectil recorrió una distancia horizontal aproximada de 1. 3 kilómetros e impactó en la montaña a una altura aproximada de 1. 8 kilómetros. 35

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Dominio: Rango: Es creciente en todo su dominio No es función par ni función impar, porque los elementos de su dominio no satisfacen ninguna de las dos definiciones Intersecto x: (0, 0) Intersecto y: (0, 0) 37

Transformación de funciones Generalidades: Si se tiene una función f , la función: Expresada como transformación de f(x): Se tiene: Dilatación, contracción horizontal y reflexión con eje y= b Desplazamiento horizontal: c/b Dilatación, contracción vertical y reflexión sobre el eje x= a Desplazamiento vertical: d 38

Función Raíz Cuadrada Pasos a seguir: 39

Función Raíz Cuadrada 40

Función Raíz Cuadrada 41