FUNCIN CUADRATICA PARBOLA TEMARIO FUNCIN CUADRTICA DEFINICIN SITUACIN

FUNCIÓN CUADRATICA PARÁBOLA

TEMARIO: FUNCIÓN CUADRÁTICA • • • DEFINICIÓN SITUACIÓN 1 SITUACIÓN 2 SITUACIÓN 3 DEFINICIÓN GRÁFICA FÓRMULA DE ASIGNACION DE IMÁGENES 4 ANÁLISIS DE LA GRÁFICA EJERCICIOS Por Más Matemática Silvia Susana Vedani

FUNCIÓN CUADRATICA DEFINICION • Por Más Matemática Silvia Susana Vedani inicio

SITUACION 1 • En una laguna se siembra una especie de peces que debido a las condiciones propicias de la laguna se reproducen y la población a medida de que pasa el tiempo responde a la siguiente fórmula P(x)=-x 2 + 12 x + 60 ( donde x representa el tiempo en meses y P(x) el número de peces en dicho tiempo) 1. Determina cuantos peces se introdujeron en la laguna 2. Ayudándote con una tabla determina la población para los siguientes tiempos: x { 2, 2 ½ , 3 , 4 , 8 , 9 } 3. Obtener la gráfica con los pares ordenados obtenidos} 4. En algún otro momento volvieron a ser 60 peces, cual? 5. En que momento la población fue máxima y cual resulto el número de peces en ese momento. 6. Cuando se extinguieron RESOLUCION

RESOLUCIÓN DE LA SITUACION 1 1. Se pide la población para el momento inicial: Tiempo “CERO” P(x=0)=-02+12. 0 + 60 P(x=0)= 60 el par ( 0 ; 60 ) pertenece a la función P 2. Tabla 3. Grafica

4. Si el objetivo es saber en que momento (x) la población de peces P(x) es igual a 60 • x? / P(x)=60 • -x 2 + 12 x + 60 = 60 • -x 2 + 12 x = 0 ec. cuadrática incompleta. Factoreamos • x. ( - x + 12 ) = 0 por ley del producto nulo, se deduce • x= 0 ó - x + 12 = 0 • x = 12 • Respuesta: La población de peces es igual a 60 en el el origen de la experiencia y a los doce meses x=0 x=12

5. Se nos pregunta cual es el momento x en que la población P(x) alcanza el valor máximo. Y cual es ese valor • En principio uno se debería preguntar se esta situación es posible. • Si miramos la grafica se observa que en los primeros meses la población creció y luego en un determinado momento empieza decrecer la población, lo que hace pensar ue es el valor de x pedido. • Para determinar dicho valor de x que hemos de llamar tenemos que obtener el Respuesta a los 6 promedio de los valores de x que meses la población corresponden a puntos simétricos alcanza el valor • xv = ( 0 + 12 ): 2 máximo de 96 peces • xv = 6 • La población que corresponde a xv = 6 • P(xv = 6) = - 62 +12. 6 + 6 = 96

6. Como la población después de los 6 meses empezó a decrecer se supone que terminará extinguiéndose. Estamos buscando el momento x en el cual P(x)= 0 • x? / P(x)= 0 • -x 2 + 12 x + 60 = 0 ec. Cuadrática completa. Fór. Resolvente • podemos decir que x=-3, 8 no tiene sentido para la situación problemática Respuesta: a los casi 16 meses los preces se extinguen inicio

SITUACION 2 A un piscina rectangular de 5 x 3 metros se le quiere hacer un camino alrededor del piscina. La anchura del camino ha de ser constante en todo el contorno. • Llama x a la anchura constante del camino. Realiza un grafico que represente a la situación • Calcula los valores de A cuando x es 0, 1, 2, 3 y 4. Escribe los valores en una tabla. • Ubica los pares obtenidos y grafica de la función • Si el área del camino ha de ser de 30 m 2 , utiliza la gráfica y averigua el ancho x del camino. ¿Para qué valor de x es A = 100? RESOLUCION

RESOLUCIÓN DE LA SITUACION 2 • Representación • Tabla de valores para la función que a cada valor de anchura x se le asigna el area del camino. • A = 2. Area (1) + 2. Area (2) • A(x) =2. (5+2 x). x + 2. x. 3 • A(x) =4 x 2 + 16 x

• Ubicamos los pares obtenidos y graficamos la función Si el área del camino ha de ser de 30 m 2 x ? / A/x) =30 4 x 2 + 16 x = 30 • ¿Para qué valor de x es A = 100? x ? / A/x) =100 4 x 2 + 16 x = 100 inicio

SITUACION 3 • Se desea conocer los productos que corresponden a dos números Reales que sumados dan 6 • Determinar una fórmula que permite conocer el producto en función de uno de dichos números, llamarla P(x) • Confeccionar una tabla en donde figuren los números y el producto de los mismos. Con los pares ( x; P(x)) • Para que números Reales el producto es NULO • Grafica en ejes con los pares obtenidos y competa la grafica • Completar los siguientes pare sabiendo que pertenecen a P: ( 2, 5 ; …. ) ( -2; …. ) inicio RESOLUCION

RESOLUCIÓN DE LA SITUACION 3 • Ahora trabajaremos con dos números x y b. De dichos números se sabe que sumados dan 6 • x + b = 6 • Lo queremos como ser es su producto • P= x. b • Expresar el producto en función de uno de ellos: de x • P(x) = x. ( 6 – x ) ya que si x + b = 6 - x x b=6 -x y = P(x) = x(6 - x) par -1 7 -7 (-1; -7) 0 6 0 (0; 0) 1 5 5 (1; 5) 2 4 8 12 3 3 9 (3; 9) 4 2 8 (2; 8) 5 1 5 (5; 1) 6 0 0 (6; 0) anàlisis Raíz Vèrtice Raiz

• Completar los siguientes pare sabiendo que pertenecen a P(x)= x. (6 – x): ( 2, 5 ; …. ) ( -2; …. ) • (2, 5 ; P(2, 5)) ya que en un par ordenado • la 1 er componente es la variable independiente x y • la 2 da es y la imagen atreves de la función • Completar ( -2; …. ) • x= -2 P(-2)= -2 -(6 – (-2)) P(-2)= -16 inicio ( -2 ; -16 )

• Si representamos "todos" los puntos (x, f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada PARÁBOLA. • Cada punto tiene dos componentes, (x , y). A la x la llamamos abscisa ordenada • a la y la llamamos . inicio

• Ejemplo: función cuadrática: f(x) = 3 x²+5 x-8, • ¿cual es la imagen correspondiente a x= - 3 ? • Al -3 le corresponde: f(-3) y se obtiene reemplazando • f( x ) = 3 x² +5 x - 8 • f(-3) = 3(-3)²+5(-3) -8 • f(-3) = 27 - 15 - 8 = 4 • En resumen, al - 3 le corresponde el 4. El punto es el (-3, 4). x = f( x )= 3. x² + 5 x – 8 y Pares -3 4 -2 - 6 = f(-2)= 3(-2)² + 5(-2) – 8 (-2 ; -6 ) -1 - 10 = f(-1)= 3(-1)² + 5(-1) – 8 (-1 ; -10 ) 0 - 8 = f(0)= 3( 0 )² + 5( 0) – 8 (0; -8 ) 1 0 = f( 1)= 3( 1)² + 5( 1) – 8 (1; 0 ) 2 14 = f( 2)= 3( 2)² + 5( 2) – 8 (-3 ; 4 ) (2; 14 )

Seguimos con la función f(x)= 3 x²+5 x-8

FORMAS DE PRESENTAR UNA FUNCIÓN CUADRÁTICA • Forma Polinómica Forma Canónica Forma Factorizada inicio

• : R R/ (x) = ½ x 2 - 4 x +3 • Dom = • Concavidad Gráfica y análisis de una función cuádratica + • Ordenad al orígen • eje. Y= • Ceros o Raíces x 1=0, 7 x 2=7, 3 • eje. X= • Vértice: • Signo • C 0= • C+= • C-= • Crecimiento y decrecimiento • Ic= Id= • Puntos notables • Pmín. = • Forma factorizada • Forma Canónica

Probemos tu ingenio • Todas las parábolas corresponden a forma y = ax 2. y=2(x - 4)2+3 Y=2 x 2 • Establecer correspondencia entre el nombre de la función y la condición del coeficiente a • La forma de una parábola depende única y exclusivamente del coeficiente a de x 2, es decir, cualquier parábola del tipo f -1< a <0 g a > 1 y = ax 2 + bx + c tiene la misma forma que la parábola y = ax 2. 0 < a< 1 Escribe la fórmula de la función en forma canónica h s inicio a <-1 • Existen infinita parábolas con los mismos ceros • Si consideramos las graficas de funciones de la forma y = a(x-3)(x+1) con ceros: x 1 =3 y x 2= -1 y difieren en el valor de a • escribe la fórmula sabiendo que los valores de a son 1, ¼, -½, 2,

Ejercicio nº 1 Completar el análisis de las siguientes gráficas de funciones cuadráticas a) : R R/ (x) = - x 2 - 3 x +4 {-1, 4} • Dom = R • Concavidad • Vértice: • Ordenad al orígen • eje. Y= • Ceros o Raíces • eje. X= inicio

b) : R R/ (x) = 4(x-1)2 -1 • Concavidad • Ordenad al orígen • eje. Y= • • Ceros o Raíces • eje. X= • Vèrtice : R R/ (x) = -(x+2)2 - 1 • Vertice • Concavidad • • • Ordenad al orígen • eje. Y= • Ceros o Raíces No tiene No corta • eje. X= • • • Signo C 0 = C+= C-= Crecimiento y decrecimiento Ic= Id= Puntos notables PM= Pm= Pariedad Forma Canóonica Forma factoriada Signo C 0= C+= C-= Crecimiento y decrecimiento Ic= Id= Puntos notables PM= Pm= Pariedad Forma Canóonica Forma factoriada