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FUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es de la forma f( x)= ax 2 + bx + c Con a, b, c perteneciendo a los números reales y a≠ 0. Si a > 0 la rama de las parábolas van hacia arriba, el vértice de la parábola coincide con el valor mínimo que alcanza la función 14 6 12 4 10 2 8 -3 6 -3 -2 Si a < 0 la rama de las parábolas van hacia abajo, el vértice de la parábola coincide con el valor máximo que alcanza la función -2 0 -1 0 -2 4 -4 2 -6 0 -1 0 -2 -4 -8 1 2 3 4 5 6 7 -10 -12 1 2 3 4 5 6 7

Otra forma de expresar una función cuadrática Toda función cuadrática se puede escribir de la forma f(x) = a(x-h)2 + k , …. . Demostración 1 donde V= (h, k) es el vértice de la parábola Ejemplo Grafica y determina el vértice de la función cuadrática f(x) = 2 x 2 -8 x +20 Completando cuadrados se obtiene : f(x) = 2(x 2 - 4 x ) +20 = 2(x 2 - 4 x +22 ) -8 +20 = 2(x-2)2 +12 f(x) = 2(x-2)2 +12 Como tiene la forma de la ecuación Entonces el vértice es. V= ( 2, 12) Este resultado y la grafica se verificaran mediante un programa diseñado en Excel, 1

PROBLEMA 1 Se quiere cercar un jardín rectangular con tela metálica. Halla las dimensiones y el área del mayor jardín que se puede cercar con 40 m de tela. Y SOLUCIÓN X X Y Se desea maximizar el área del rectángulo “A” A(x) = x. y Como el perímetro es 40 m, entonces la ecuación auxiliar es: 2 x + 2 y = 40 de donde : y = 20 – x. Luego A(x) = x(20 – x) = 20 x – x 2 = - ( x 2 - 20 x) Completando cuadrados A(x) = -( x 2 - 20 x + 102 - 102) = - (x-10)2 +100 De aquí el vértice es: V = (10, 100) Utilizando el programa descartes tenemos el siguiente grafico

Utilizando el programa DESCARTES El máximo se obtiene para x = y =10 m y el área máxima es de 100 m 2

PROBLEMA 2 Un jardinero dispone de 60 metros de tela metálica para construir una cerca rectangular aprovechando un muro ya existente. Calcular las dimensiones del jardín para que su superficie sea la mayor posible SOLUCIÓN X X Y Se desea maximizar el área del rectángulo “A”. Designemos con x , y las longitudes de los lados del rectángulo Entonces el área es : A(x) = x. y Como la tela metálica de es de 60 m, entonces la ecuación auxiliar es: 2 x + y = 60 de donde : y = 60 – 2 x. Luego A(x) = x(60 – 2 x) = 60 x – 2 x 2 = - 2( x 2 - 30 x) Completando cuadrados A(x) = -2( x 2 - 30 x + 152 - 152) = - 2(x-15)2 +450 Como tiene la forma de la ecuación Luego el vértice será V = (15, 450) 1

Utilizando el programa DESCARTES El área máxima se obtiene para x = 15 m, y =10 m y el área máxima es de 450 m 2

PROBLEMA 3 Se desea dividir un alambre de (4 + π)m de longitud en dos partes, para construir con ellas un cuadrado y un circulo. Halla la longitud de cada una de las partes para que la suma de las áreas de las dos figuras sea mínima SOLUCIÓN xm ym Se desea maximizar las sumas de las áreas del cuadrado y el círculo “S” Donde : x : el perímetro del cuadrado y : el contorno del circulo Como el alambre mide (4 + π)m, entonces la ecuación auxiliar es: x + y = 4 +�� de donde : y = 4+ �� –x. Luego

Luego Desarrollando y completando cuadrados Cono tiene la forma de la ecuación 1 Luego el vértice será : V = ( 4 , 1. 785 m 2)

Utilizando el programa DESCARTES El mínimo se obtiene para x = 4 m, y =3. 14 m y el área mínima es de 1. 785 m 2

PROBLEMA 4 Un alumno desea construir en la finca de sus padres un parterre (jardín en forma de sector circular) con un perímetro de 8 m. ¿Qué radio tendrá el parterre de área máxima R SOLUCIÓN S L xm S R ym xm Se desea maximizar el área “S”. Como el perímetro del sector mide 8 m entonces la ecuación auxiliar será : 2 x + y = 8 m, de donde y = 8 – 2 x. Luego S(x) = = Completando cuadrados se obtiene : S(x) = - (x 2 - 4 x + 4) + 4 = -(x - 2)2 + 4 Como tiene la forma de la ecuación El vértice es : V (2, 4) 1

Utilizando el programa DESCARTES El máximo se obtiene para x = 2 m, y =4 m y el área máxima es de 4 m 2