El concepto de funcin Funciones numrico algebraicas Hemos

El concepto de función Funciones numérico algebraicas.

Hemos visto que una función es una ley de asociación, una relación especial entre los elementos de dos conjuntos. Un conjunto inicial, llamado dominio de la función y un conjunto final, que en el caso más general, corresponde al conjunto de llegada de una relación, en el cual será posible encontrar un subconjunto, llamado, su recorrido.

Pero lo que hace de una simple relación una función, sin duda, es el criterio de vinculación entre los elementos de uno y otro conjunto, al que también denominábamos ley de formación. Domino Conjunto de llegada

En un diagrama sagital este criterio de vinculación es la imagen de conectores gráficos (flechas) que son los que finalmente nos permiten pronunciarnos respecto al hecho de que la relación presentada sea o no una función. g f Domino Conjunto de llegada

Como se muestra en la imagen es esta ley de formación lo que nos permite decidir que f sea, en efecto, una función y que g no lo sea. g f Domino Conjunto de llegada

Nuestro próximo paso será aprender a reconocer relaciones a partir de la presentación de criterios de vinculación un tanto más abstractos que el dibujo concreto de una flecha. Para enseguida analizar y poder decidir qué elementos particulares podrán ser considerados como potenciales argumentos. Abstracto: que es propio del mundo de las ideas, que es contrario a lo concreto.

Ejemplo 1: Considere la siguiente relación, relación R, para la cual se definen: Como conjunto de partida el conjunto de los números reales, Como conjunto de llegada el conjunto de los números reales.

Y la siguiente regla de asociación o ley de formación: La imagen de un argumento cualquiera es el número que resulta de tomar a ese argumento y multiplicarle por 3.

Ahora, analice y responda: 1) ¿Pueden los números: 3, 5, ser tomados como argumentos de la relación así definida? , justificar la respuesta.

3, 5, Respuesta: Sí, si pueden ser considerados como argumentos de la relación, ya que …

3, 5, La justificación a esta respuesta está basadas en el significado de argumento, por lo tanto, justificarla en forma correcta implica dar a conocer al evaluador que tú

3, 5, sabes el significado de argumento y en segundo lugar que sabes aplicar tal significado al caso particular de la relación dada, entonces:

3, 5, Respuesta: Sí, si pueden ser considerados como argumentos de la relación, ya que … 1) Por definición, son argumentos de una relación cualquiera, todos los elementos que: a) Siendo integrantes del conjunto A (conjunto de partida) b) tienen algún asociado en el conjunto B (conjunto de llegada) …

2) En el caso particular de la relación dada, el conjunto de partida fue definido como el conjunto de los números reales y 3, 5, son números reales, por lo tanto cumplen con la condición a) de definición de argumento. 3, 5, Los números analizados, en efecto, pertenecen al conjunto de partida de esta relación.

3) En el caso particular de la relación dada el conjunto de llegada fue definido como el conjunto de los números reales … y al tomar 3, 5, 9, 15, y multiplicarles por 3, se obtienen, respect. los cuales también resultan ser números reales y por ello pertenecientes al conjunto de llegada de esta relación. 3, 5, 9, 15, Son imágenes de los números analizados que pertenecen al conjunto de llegada de esta relación.

Por 1), 2) y 3) podemos concluir que 3, 5, son 5 números que a) perteneciendo a conjunto de partida, b) tienen asociados en el conjunto de llegada y por lo tanto son argumentos de la relación así definida. 3, 5, 9, 15,

Como dije antes, nuestro próximo paso sería aprender a reconocer relaciones a partir de la presentación de criterios de vinculación, un tanto más abstractos que el dibujo concreto de una flecha. Como puedes sospechar estos criterios más abstractos son, en realidad, expresiones algebraicas, es decir letras y números conectados mediante operaciones matemáticas, por ejemplo, en la relación, R, anterior se dijo que la regla de asociación o ley de formación, estaría dada por: “La imagen de un argumento cualquiera es el número que resulta de tomar a ese argumento y multiplicarle por 3”, es decir,

Si se tomaba como argumento al número un tercio, su imagen debía ser: Un tercio multiplicado por 3 … lo que en el fondo correspondía al número 1. y así sucesivamente para cualquier otro posible argumento … R 3, 5, 9, 15,

Usando la simbología adecuada (PPT anterior) podemos escribir: La imagen de la relación R que se corresponde con el argumento 1/3 es … 3 por el argumento un tercio, es decir uno. R 3, 5, 9, 15,

Usando la simbología adecuada (PPT anterior) podemos escribir: La imagen de la relación R que se corresponde con el argumento 1/3 es 3 por el argumento un tercio, es decir uno. La imagen de la relación R que se corresponde con el argumento raíz de 3 es 3 por el argumento raíz de tres, es decir tres raíz de tres. La imagen de la relación R que se corresponde con el argumento 3 es 3 por tres, es decir 9, etc … R 3, 5, 9, 15,

Y así, en general … La imagen de la relación R que se corresponde con el argumento equis es 3 por equis, es decir tres equis. Ahora vemos claramente que el criterio de asociación mediante el cual la relación R asocia elementos de A con elementos de B es, sin duda, una expresión algebraica. R 3, 5, 9, 15,

Nuestro próximo paso será analizar unos cuantos ejemplos que nos permitan aprender a concluir si una cierta relación para la cual se ha definido un conjunto de partida, un conjunto de llegada y una ley de formación algebraica puede o no ser considerada como función. Y en base a estos ejemplos extraer reglas generales que nos permitan abordar cualquier tipo de relación propia del nivel de colegio al que perteneces.

Ejemplo 2: Sea la relación R definida de los reales en los reales talque: (talque: La imagen de la relación R para un argumento x se forma al tomar el número 1 y dividirlo por ese argumento) Simbólicamente este enunciado se escribe: Sea la relación: ¿ Es la relación R, así definida, una función ?

Para responder a una pregunta como esta hemos de tener en mente: 1) la definición particular de la relación dada. 2) la definición de función. 3) Las propiedades operatorias de clausura de los números reales.

1) La definición particular de la relación dada se resume en un diagrama sagital, el cual debes construir: R o simplemente

1) La definición particular de la relación dada se resume en un diagrama sagital, el cual debes construir: R

2) La definición de función nos dice que esta relación en particular lo será, ssi (si y solamente sí): R … son posibles de operar mediante la ley de formación dada, de modo que el resultado de esta operación … Todos los elementos de A, en este caso todos los números reales … … sea también un número real.

3) Para saber si esto es posible o no debemos forzosamente conocer y aplicar las llamadas leyes de clausura de los números reales, para una operación dada. R … son posibles de operar mediante la ley de formación dada, de modo que el resultado de esta operación … Todos los elementos de A, en este caso todos los números reales … … sea también un número real.

3) En el caso particular de la relación actual la operación en juego es la división (que es un caso particular de multiplicación). R … son posibles de operar mediante la ley de formación dada, de modo que el resultado de esta operación … Todos los elementos de A, en este caso todos los números reales … … sea también un número real.

3) Por lo tanto debemos preguntarnos que dice la ley de clausura de números reales para la operación multiplicación. R … son posibles de operar mediante la ley de formación dada, de modo que el resultado de esta operación … Todos los elementos de A, en este caso todos los números reales … … sea también un número real.

3) Leyes de clausura de los números reales. Será oportuno que llegados a este punto veamos las leyes de clausura de números reales más importantes , estas son: C 1: Ley de clausura para la suma (resta): Esta ley expresa que la suma de dos números reales siempre será otro número real (sin restricciones). En símbolos:

Lectura literal: Para todo a, b perteneciente al conjunto de números reales, se cumple que: Este símbolo se llama cuantificador universal y las adjuntas son algunas formas para su lectura Lectura natural (inteligente): Para todo par de números reales, se cumple que: Para cualquiera sean dos números reales, se cumple que:

C 1: Para cualquiera sean dos números reales, se cumple que: su suma es también un número real C 1 b: Esta ley también es aplicable a la resta, ya que: Toda resta entre números reales es una suma de números reales.

C 2: Ley de clausura para el producto: Esta ley expresa que el producto de dos números reales siempre será otro número real (sin restricciones). En símbolos: C 2 b: Esta ley también es aplicable a la división (pero con una restricción), ya que: Debiendo en este caso enfatizar sobre el hecho de que el divisor sea distinto de cero, ya que: no es un número real Toda división entre números reales es un producto de números reales.

C 3: Ley de clausura para la radicación: En realidad esta no es una ley de clausura, pero aquí la presentaré como tal, ya que en la práctica la que ahora presento como C 3 y la que antes presenté como C 2 b serán los únicos casos “problemáticos” en cuanto a decidir si una relación real (cuyo conjunto de partida es el conjunto de números reales) es o no es una función. Esta ley expresa que: Sólo los números reales positivos y el neutro aditivo (cero) tienen raíces reales de índice par.

Para cualquiera sea un real positivo o cero y un número entero par, … hay un número real, tal que C 3: Ese número real o bien es su enésima raíz par positiva o cero Este símbolo se llama cuantificador existencial y las adjuntas son algunas formas para su lectura Ese número real es su enésima raíz par negativa.

Con relación a las propiedades operacionales de los números reales también será útil, al momento de argumentar el que una relación sea o no una función, tener en cuenta los teoremas de unicidad o de existencia única, que acompañan tanto a las operaciones de suma (resta) como producto (división). Primer teorema de unicidad (u 1), unicidad para la suma (resta): Para toda suma (resta) de números reales hay un único real como resultado. hay un único

Segundo teorema de unicidad (u 2), unicidad para el producto (división): Para todo producto (división) de números reales hay un único real como resultado.

Volviendo al problema de la función, habíamos visto que …

2) La definición de función nos dice que esta relación en particular lo será, ssi (si y solamente sí): R … son posibles de operar mediante la ley de formación dada, de modo que el resultado de esta operación … Todos los elementos de A, en este caso todos los números reales … … sea también un número real.

3) Para saber si esto es posible o no debemos forzosamente conocer y aplicar las llamadas leyes de clausura de los números reales, para una operación dada. R … son posibles de operar mediante la ley de formación dada, de modo que el resultado de esta operación … Todos los elementos de A, en este caso todos los números reales … … sea también un número real.

3) Según viéramos en estas leyes el único asunto problemático a tomar en cuenta para esta relación en particular es el caso en que x tome el valor cero … R … son posibles de operar mediante la ley de formación dada, de modo que el resultado de esta operación … Todos los elementos de A, en este caso todos los números reales … … sea también un número real.

3) Ya que si así fuera, entonces según la ley de formación de definición, la imagen para tal argumento sería 1/0 … R … son posibles de operar mediante la ley de formación dada, de modo que el resultado de esta operación … Todos los elementos de A, en este caso todos los números reales … … sea también un número real.

3) Ya que si así fuera, entonces según la ley de formación de definición, la imagen para tal argumento sería 1/0 … R No es un elemento de B. No tiene imagen en B, por ello no es argumento de R. Pero No es un número real, por lo tanto no es un elemento del conjunto de llegada definido para esta relación y por lo tanto el número cero de A, no puede ser argumento, ya que no tiene asociado en B.

Al mismo tiempo y según la definición de R … Sí es un elemento del conjunto de partida (aunque no un argumento), por lo tanto según viéramos en los gráficos del PPT anterior, el diagrama sagital, completo, para esta relación sería … R No es un elemento de B. No tiene imagen en B, por ello no es argumento de R. Pero No es un número real, por lo tanto no es un elemento del conjunto de llegada definido para esta relación y por lo tanto el número cero de A, no puede ser argumento , ya que no tiene asociado en B.

Y en base a lo que hemos aprendido sobre diagramas sagitales, el concepto de relación y el de función, podemos decir que del modo en que R ha sido definida, se concluye que esta no es una función. (pues hay x en A sin asociados en B). R

Ejemplo 3: Sea la relación: ¿ Es la relación R, así definida, una función ? , justificar

Ejemplo 3: Sea la relación: La relación así definida sí es función, ya que “ 1” es un número real, x es un número real distinto de cero y la división entre dos números reales, con divisor distinto de cero, es siempre un número real, por lo tanto para todo x en A existe un y en B tal que ese y es imagen de ese x mediante la ley de formación de definición. En símbolos … R

Además el teorema Ejemplo 3: Sea la relación: u 2, nos asegura que para cada x de A el resultado depues: 1/x Es función, es único, lo que nos permite asegurar que cada argumento de A tiene un único asociado en B, cumpliendo de esta forma con justificar el segundo aspecto de una función. R

Ejercicios resueltos: 1) Determinar si la relación dada es o no una función, si no lo es justifique por que es de ese modo. Para cada caso confeccione el diagrama sagital correspondiente. a) Sea la relación:

La relación así definida sí es función, ya que “ 3” es un número real, x es un número real y la sustracción entre números reales siempre genera un número real como resultado, por lo tanto: R

Para todo x en el conjunto de partida hay un y en el conjunto de llegada, tal que ese y es imagen del argumento x a través de la ley de formación de definición. R Por otro lado cada x de A tiene un único asociado en B, lo cual está justificado por el teorema de unicidad para la suma (resta).

b) Sea la relación: Con respecto a este enunciado, antes de responder a las preguntas del ejercicio, siempre hemos de reescribir la ley de formación dada, como otra equivalente, pero donde nos sea posible leer que la imagen de un elemento x, es decir R(x), aparezca sola, individualmente, a uno de los lados del símbolo de igualdad. Aquí en cambio no es la imagen sola, es decir no es R(x) sola, quién aparece del lado izquierdo de la igualdad, sino que está acompañada de un signo de suma y de la letra x, representante de un argumento, ¿que hacemos? R: aplicamos operaciones sobre la ley de formación de manera que R(x) quede individualizada a uno u otro lado de la igualdad.

b) Sea la relación: Sumando el opuesto de x a ambos lados de la igualdad. Obtenemos la ley de formación equivalente en la forma deseada. Entonces R se puede escribir como:

Luego R es función, pues en realidad era el mismo ejercicio a), que ya fue desarrollado.

c) Sea la relación: Hemos de encontrar la expresión equivalente que individualiza a la imagen:

Hemos encontrado que la expresión equivalente para la relación dada es: Llevándole a un diagrama sagital, comprendemos que sin necesidad del análisis habitual que hemos desarrollado hasta el momento (análisis de dominio). Podemos concluir que la relación dada no es una función, veamos:

R no es función ya que un posible argumento x, tendrá dos asociados en el conjunto de llegada. R

Aunque R dada no es función ¿Cuál es su dominio? Resp: Por definición, el dominio de R será el conjunto de todos los x en A que tienen imagen en B, es decir, cuya imagen sea un número real … R

es decir … aquellos x de A que hacen que el resultado de sea un número real. R

Para que sea un número real, sólo se requiere que todo lo que está debajo el símbolo de raíz sea positivo o cero. Matemáticamente , ello significa que: R

R

Par lo tanto la respuesta a esta pregunta se reduce a resolver la inecuación dada: Conclusión: El dominio está formado por todos los x de A menores o iguales a 25.

R ¿Qué funciones podrían definirse a partir de esta relación?

R El análisis nos dice que existen dos causas debido a las cuales R no es una función, estas causas son:

R 1) No todo los elementos de A son argumentos. Entonces, para solucionar esta carencia, lo que hacemos es definir una nueva relación, cuyo conjunto de partida incluya nada más que aquellos x que sí pueden ser argumentos.

R Sea f, la nueva relación cuyo conjunto de partida (A) esté formado por todos los valores reales menores o iguales que 25 (este conjunto se expresa): … el conjunto de llegada (B) esté formado por los números reales y tal que: todos los valores reales tal que esos valores reales sean menores o iguales que 25.

Nota: Esta es una manera simbólica de resumir el hecho de que este conjunto de partida, A, no es el mismo de antes, ya que ahora está escrito que A es un SUBCONJUNTO de los números reales y no la totalidad de ellos. f R La introducción de esta sola RESTRICCIÓN al conjunto de partida define una nueva relación, f, cuya representación es como se verá en la parte de arriba …

f Pero tal sola RESTRICCIÓN sobre R, no ha sido suficiente para que la nueva relación tenga el carácter de función, pues si bien, ahora, todo x de A tiene imagen en B, no es verdad que para cada x halla una única imagen, que es la segunda causa debido a la cual R, no podía considerarse como función. 2) Los x de A tienen doble imagen.

f Entonces debemos seguir definiendo más RESTRICCIONES sobre f. Como antes …

f Sea f, la nueva relación cuyo conjunto de partida (A) esté formado por todos los valores reales menores o iguales que 25, cuyo conjunto de llegada (B) es el conjunto de los números reales y tal que (nueva restricción):

f La introducción de esta segunda RESTRICCIÓN, ya no al conjunto de partida, sino que a la ley de formación, define una nueva relación, f, cuya representación es como se verá en la parte de arriba …

f Con ello, hemos logrado definir una función f a partir de la relación, original, no funcional R.

R Otras relaciones funcionales derivada de R, podría ser:

g R Sea g, la nueva relación cuyo conjunto de partida (A) esté formado por todos los valores reales menores o iguales que 25, cuyo conjunto de llegada (B) es el conjunto de los números reales y tal que:

h R Sea h, la nueva relación cuyo conjunto de partida (A) esté formado por todos los valores reales menores o iguales que 10, cuyo conjunto de llegada (B) es el conjunto de los números reales y tal que:

h Esta también es una función, ya que si los x menores o iguales a 25 tienen imágenes reales a través de la ley de formación en juego, los números reales menores o iguales a 10 también las tendrán, ya que 10 es menor que 25, en cambio …

j j es una relación no funcional, ya que, aún cuando los x que resulten tener imágenes, tendrán una imagen única, su conjunto de partida incluye elementos x que no tendrán imágenes reales, todos aquellos x mayores que 25 y menores o iguales a 30.

j j es una relación no funcional, ya que, aún cuando los x que resulten tener imágenes, tendrán una imagen única, su conjunto de partida incluye elementos x que no tendrán imágenes reales, todos aquellos x mayores que 25 y menores o iguales a 30.

Formato para definir funciones reales (cuyos argumentos e imágenes son números reales) cuando una ley de formación algebraica dada cumple con el principio de unicidad, pero de dominio real aún desconocido. Ejemplo: Supongamos que se cuenta con la siguiente ley de formación: “Las imágenes (R(x)) de una cierta relación (que quizá podría ser función) están formadas por la raíz positiva de la diferencia entre un argumento y el número 5”

respecto de ella, una rápida inspección visual nos hace comprender que esta cumple con el principio de unicidad (cada correcto valor de x reemplazado en ella, genera un resultado único, cada argumento correcto está asociado a una única imagen ). Entonces, por ese lado, tal ley de formación sería un buen prospecto para definir una función, pero para que ello pueda ser de esa manera estamos obligados a conocer cual será el conjunto de x que hacen que el resultado de esta ley genere un número real.

Mientras no lo sepamos no podemos definir una función basada en esta ley de formación, ya que, mientras no sepamos cuál es ese conjunto, nuestra única opción sería hacer la siguiente definición: Sea R la relación y como ha quedado estipulado en esa definición, esta no alcanza para decir que R sea una función, pues no todos los elementos del conjunto de partida, así expuesto, tendrán, necesariamente, imágenes reales a través de la ley de formación de definición, entonces si partiéramos definiéndole como función estaríamos contradiciendo la definición de función. Sin necesidad de conocer el conjunto de partida correcto, ¿cómo se hace para que la relación anterior pueda ser definida como función sin contradecir la definición de función?

La forma correcta de hacerlo es muy sencilla, sólo debemos escribir: Sea R, la función Lo que se lee de la siguiente manera: Sea R, la función cuyo dominio (o conjunto de partida funcional) es un subconjunto de los números reales o el propio conjunto de los números reales, cuyo conjunto de llegada es el conjunto de …, blah, blah … Sin necesidad de conocer el conjunto de partida correcto, ¿cómo se hace para que la relación anterior pueda ser definida como función sin contradecir la definición de función?

La forma correcta de hacerlo es muy sencilla, sólo debemos escribir: Sea R, la función Haciendo la definición de esta manera nos estamos adelantando al hecho de que el conjunto de partida funcional (es decir su dominio) pueda ser no todo el conjunto de números reales, sin negar la posibilidad de que, al mismo tiempo, pueda llegar a serlo y con ello no contradecir la definición de función. En general es la simbología que se utiliza para decir que un cierto conjunto A es subconjunto de otro B o que A es el propio conjunto B.

Para entenderlo mejor comparemos la simbología anterior con: a < b, expresa que el número a es estrictamente menor que el número b, mientras que … a < b, expresa que el número a puede ser menor que el número b, o igual que el número b. Una relación análoga existe entre los símbolos: pero en lugar de comparar relaciones de tamaños entre números, aquí se comparan relaciones de inclusión entre conjuntos: expresa que A es estrictamente un conjunto totalmente incluido dentro de B y por ello con menor cantidad de elementos.

expresa que A podría ser un conjunto totalmente incluido dentro de B y por ello con menor cantidad de elementos o bien el que A sea igual B, es decir que contenga los mismos elementos que B.

Ejercicios propuestos: 1) Determine el dominio de cada relación. 2) Justifique si estas son o no una función. 3) Si no lo son, defina al menos una función extraíble de cada relación. a) Sean las relaciones: