1 Funcin y ecuacin polinomial 1 1 Funcin

1. Función y ecuación polinomial 1. 1 Función polinomial

¿Qué es una función? Las funciones son los objetos matemáticos que sirven para describir cómo se relacionan dos cantidades Ejemplo: El área del cuadrado es una función de la longitud de su lado Gráfica de funciones La graficación de las funciones es como un retrato de la función. Nos ayuda a tener una idea de cómo transforma la función los valores que le vamos dando. Para graficar una función de la manera más sencilla, basta sustituir valores de x en la función y calcular los valores correspondientes para y , ubicar estos puntos en el sistema de coordenadas cartesianas y unir los puntos por una curva suave. A partir de la gráfica de la función podemos encontrar el dominio, el contradominio, describir su comportamiento: dónde crece, dónde decrece, dónde se hace cero, dónde tiene un mínimo o un máximo, etc. En el análisis que se presenta aquí no usaremos ese método. En su lugar, describiremos cómo se comporta la función y haremos un estudio más bien descriptivo.

El objetivo consiste en que tú logres «ver» la gráfica de la función antes de empezar a graficarla, es decir, que conozcas el comportamiento de la función, más que los puntos precisos por donde pasa. Algunas veces no se requiere precisión, sino un bosquejo es suficiente para obtener la información que requerimos. Por ejemplo, cuando queremos saber si la población de una especie en peligro de extinción va a salir de esa denominación: «en peligro de extinción» , debemos estudiar cómo se comporta el modelo matemático (que en este caso en una función que nos dice cuántos individuos de esa población habrá dependiendo del tiempo). No nos interesa saber cuántos habrá en diez o veinte años, sino si crecerá lo suficiente como para que ya no corra el peligro de extinguirse.

FUNCION POLINOMIAL Las funciones polinomiales son una generalización de las transformaciones que podemos hacer con los números. Estas funciones sirven para hacer aproximaciones a funciones más complicadas. En las calculadoras científicas casi todos los cálculos relacionados con las funciones trascendentales se realizan utilizando funciones polinomiales. CONCEPTO DE FUNCIÓN POLINOMIAL

• En la siguiente tabla se muestran algunas funciones indicando el coeficiente principal y su grado. Función polinomial Grado Coeficiente principal 1 m 2 1/2 3 1 11 Requiere desarrollo Un concepto importante que nos va a ayudar a describir más fácilmente los elementos de una función es el siguiente:

¿Es el conjunto de los números naturales cerrado bajo la suma? Ejemplo 1 ü Para contestar a esta pregunta debemos verificar si al elegir dos números naturales el resultado siempre está en el conjunto de los números naturales. ü La respuesta a esta pregunta es obvia. ü Siempre que sumamos dos números naturales obtenemos otro número natural. ü Entonces, el conjunto de los números naturales es cerrado bajo la suma. ¿Es el conjunto de los números reales cerrado bajo la suma? ¿Bajo la multiplicación? ¿Bajo la división? Ejemplo 2 Ø Siempre que sumamos dos números reales obtenemos otro número real, no importa qué números sumamos. Ø Cuando multiplicamos dos números reales siempre obtenemos otro número real. Ø Por eso decimos que el conjunto de los números reales es cerrado bajo la multiplicación.

q Esta definición implica, entonces, que para cualquier función polinomial, el dominio siempre será el conjunto de los números reales. q Por esa misma razón podemos multiplicar la potencia obtenida por el coeficiente que le corresponde.

Comentario El dominio de cualquier función polinomial es R. El problema yace en que las potencias pares arrojan resultados positivos o cero, es decir, no negativos, mientras que las impares tanto positivos como negativos.

Podemos definir una función como una relación entre dos conjuntos de números reales, uno de ellos, el primero, llamado dominio y el segundo llamado rango, donde cada elemento del dominio le corresponde uno y sólo uno del rango. Del resultado de esta relación especial se genera una serie de pares ordenados, los cuales tienen como gráfica una serie de puntos que si los llevamos a un plano real por supuesto, colocaremos al primer conjunto (dominio) en el eje de las abscisas (X) y al segundo conjunto (rango) en el de las ordenadas (Y), obteniendo gráficas que nos permiten de forma más simple la interpretación de los fenómenos que se quieran analizar Mapa conceptual

FUNCION CONSTANTE Ya hemos estudiado la función constante solamente mencionamos que se trataba de un caso especial de la función polinomial de grado cero y la graficamos. 1 2 3 4 x En primer lugar vamos a calcular el dominio de esta función. Si recuerdas, esta función siempre devuelve el mismo valor, independientemente del valor de x que le demos. Es decir, siempre nos devuelve un valor, no importa qué valor de x le hayamos dado. El contradominio de esta función consiste en un solo valor, y es precisamente el valor que la función nos devuelve cada vez que le damos un valor de x. Aunque parezca raro, este resultado es correcto. Y esto porque la función siempre asigna el mismo valor a cualquier elemento del dominio que le demos. Por eso, vamos a decir que esta función es del tipo: «muchos a uno» . Es decir, a muchos valores distintos le asigna el mismo valor.

Ejemplo 1 El alquiler de un camión de mudanza cuesta $500. 00 pesos por transportar muebles dentro de la zona metropolitana de la ciudad de México. Grafica la función que muestra el costo en función de la distancia medida en kilómetros. • Ya sabemos que el costo es independiente de la distancia recorrida. • Así que en este caso tenemos una función constante. • La gráfica es la siguiente: En la gráfica, 1 2 3 4 5 6 7

Hay muchos otros casos que podemos mencionar de este tipo. Por ejemplo, al enviar un paquete dentro de nuestro país a través del correo postal, el costo del envío depende del peso, pero no de la distancia que recorrerá. Entonces, si escribimos el costo del envío del paquete en función de la distancia, obtenemos una función constante. Otro ejemplo consiste en el pasaje de los autobuses urbanos. El costo del boleto no depende del peso del pasajero, sino de la ruta que elijas. Así, si expresamos el costo del viaje en función del peso del pasajero, obtenemos una función constante. Ahora tú, busca otros tres ejemplos donde obtengas funciones constantes al modelar cada situación.

FUNCIÓN LINEAL Ya estudiamos también el concepto de pendiente de la recta y vimos su interpretación geométrica. En otras palabras, la pendiente es una razón de cambio.

David necesita comprar pintura para pintar su casa. El litro de pintura le cuesta $125. 00 pesos. Escribe una función que le ayude a calcular el importe y al comprar x litros de pintura. Explica cómo debemos interpretar la pendiente de esta función polinomial de grado uno. • Sabemos que cada litro le cuesta $125. 00 pesos. • Si compra x litros, el importe y será de 125 x pesos. • La función es, entonces: Ejemplo 1 • Y esa es la interpretación de la pendiente: ésta nos indica el precio unitario de pintura. • Un litro de pintura cuesta $125. 00 pesos. Observa cómo es que la pendiente nos indica que si queremos comprar un litro más de pintura debemos pagar $125. 00 pesos más. Y de hecho, por cada litro de pintura, pagamos esa cantidad. La pendiente nos dice a qué razón crece el importe de la pintura comprada por David.

Gabriel viaja en su coche de Chetumal a Cancún a una velocidad promedio de 85 km/h. Escribe la distancia y medida en kilómetros como una función del tiempo x medido en horas. Ejemplo 2 • El problema dice que Gabriel viaja a una velocidad constante de 85 km/h. • Esto significa que en una hora avanza 85 km. • En dos horas avanza el doble y así sucesivamente. • Entonces, la distancia y que recorre en x horas es: • En este caso, la pendiente nos indica cuántos kilómetros de distancia recorre en una hora de tiempo. • Es decir, la pendiente nos indica la velocidad. el dominio de cualquier función polinomial es el conjunto de todos los números reales.

Ahora vamos a deducir el contradominio de la función lineal, es decir, de la función polinomial de grado 1 Utilizando el concepto de cerradura, y sabiendo que los números reales son cerrados bajo la suma y bajo la multiplicación, es evidente que, independientemente del valor x que le demos a la función, ésta siempre podrá devolvernos un número para asignarlo a y.

Comentario También es claro que la función polinomial de grado uno no incluye a la recta vertical ¿Porqué? En primer lugar, una recta vertical no es una función, pues asigna a un solo valor de x una infinidad de valores de y En segundo lugar, la pendiente en ese caso no estaría definida para la función

FUNCIÓN CUADRÁTICA Definición Los nombres de cada término están relacionados a las funciones polinomiales cuadrático lineal Independiente Los nombres de cada término es importante, porque la mayor parte de las explicaciones está basada en estos términos y conceptos.

Ejemplo 1 | Indica el término cuadrático, lineal e independiente de cada una de las siguientes funciones cuadráticas. Cuadrático Término lineal Independiente

Definición 2 Eje

Ejemplo 2 Podemos calcular las raíces de la función utilizando la fórmula general para resolver ecuaciones de segundo grado Para comprobar que en realidad esos valores son las raíces de la función, sustituimos: •

• Como ya sabes, el dominio de esta función es el conjunto de los números reales.

Si el cociente principal de la función cuadrática es positivo entonces la gráfica de la parábola abre hacia arriba a partir de su vértice y si el cociente principal es negativo entonces la gráfica are hacia arriba a partir de su vértice Si la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales distintas, entonces la gráfica tiene dos ceros Si la ecuación cuadrática tiene dos raíces reales iguales (raíces de multiplicidad 2), entonces la gráfica toca al eje x en un punto el cual corresponde al vértice de la parábola

Definición 3 • Ejemplo 4 Utilizaremos el método de completar cuadrados • Observa cómo debemos elevar al cuadrado un número y obtener como resultado un -4 • Esto nos indica que la gráfica de la función no corta al eje x

Ejercicios de tarea