Universit degli Studi di Napoli Federico II Dipartimento

Università degli Studi di Napoli “Federico II” Dipartimento di Architettura SEMINARIO DI STUDI - FORMAZIONE DOCENTI Ferdinando Casolaro ferdinando. casolaro@unina. it Quale Geometria per lo spazio fisico alla luce della Relatività Generale? Quale Geometria per i fenomeni ottici? Geometria sulla sfera, Teoria delle ombre e Trasformazioni geometriche. Aula Magna, Palazzo Gravina, 07 -08/10/2016

A me la cosa peggiore in una scuola sembra l’uso di metodi basati sulla paura, sulla forza e sull’autorità artificiosa. Un tale trattamento - Distrugge i sentimenti sani, la sincerità e la fiducia in se stesso dell’allievo. - Produce soggetti sottomessi. E’ relativamente semplice tenere la scuola lontano da questo gravissimo male. Date all’insegnante il minor numero di mezzi coercitivi, così che l’unica fonte di rispetto da parte dell’allievo sia costitutita dalle qualità umane ed intellettuali dell’insegnante stesso ALBERT EINSTEIN

“Quattro congetture fondamentali nell’evoluzione della Matematica” Prima congettura relativa alla geometria: L’universo non è piatto, è curvo (VIII-VII sec. a. C) “Il problema dell'Astronomia dal periodo Babilonese ad oggi” Seconda congettura relativa alla geometria: la luce si propaga in linea retta (III sec. a. C). “Il problema dell'Architettura e la razionalizzazione dell’arte” Terza congettura relativa all’esperienza fisica: i fenomeni fisici si possono formalizzare matematicamente (XVII sec. ) “Il problema di Galileo di esprimere i risultati dell’esperienza attraverso relazioni matematiche (concetto di funzione) Quarta congettura relativa all’incertezza Lo studio dei fenomeni fisici è legato all’incertezza (XIX-XXsec. ) “La funzione del “calcolo delle probabilità” nell’analisi dei fenomeni reali”

Quale Geometria per lo spazio fisico? DALLO SPAZIO PIATTO ALLO SPAZIO CURVO Nello spazio curvo, i corpi, in assenza di forze non gravitazionali, percorrono la linea più breve (geodetica) in analogia al percorso rettilineo che è valido solo nello spazio piatto. Precisamente, secondo il concetto classico: - la materia crea un campo gravitazionale e questo fa deviare i corpi; invece secondo Einstein: - il campo gravitazionale va interpretato come curvatura dello spazio e tale curvatura determina la sostituzione del concetto di retta con quello di geodetica.

Quale Geometria per lo spazio fisico? Curvatura dell’universo: non è una questione di oggi Una sintesi storica - VIII–VII secolo a. C. : i Caldei–Babilonesi, attratti dal fascino della Volta Celeste, cercavano di approfondire le proprietà dello spazio ed il campo di studio su cui operavano era la sfera. - III sec. A. C. : i greci, studiosi della geometria piana, hanno lasciato tracce di geometria sferica. Di ciò si è avuto notizia nel 1885, anno in cui sono stati tradotti due testi “Sulle Sfere mobili” ed “Il sorgere ed il tramontare”, scritti nel III sec. a. C. da un contemporaneo di Euclide, l’astronomo Autolico di Pitane (sono i due testi più antichi che sono stati trovati intatti).

La Geometria euclidea VI-V-IV secolo a. C. La matematica greca, nel periodo classico, si sviluppò in numerosi Centri (le Scuole). ≈ 640 -546 a. C. - Scuola Ionica fondata da Talete a Mileto. ≈ 530 a. C. - Scuola Pitagorica fondata da Pitagora a Crotone. ≈ 495 -470 a. C. - Scuola Eleatica fondata in Sicilia da Xenofane di Colofone ad Elea, dove risiedevano Parmenide e Zenone. ≈ 387 a. C. - Accademia di Platone, fondata ad Atene, di cui fu allievo Aristotele (384 -322 a. C. ). ≈ 335 a. C. - Il Liceo, (detta Scuola peripatetica), fondato da Aristotele ad Atene, . Con Talete prima, con i suoi successori dopo, si stabiliscono le prime dimostrazioni di Geometria, riassunte, poi, nel III sec. a. C. da Euclide negli "Elementi".

La Geometria euclidea - La geometria sferica - Primi studi e risultati di Ottica - III secolo a. C. La Geometria euclidea: “Gli Elementi” di Euclide. La Geometria sferica: “Sulle Sfere mobili” ed “Il sorgere ed il tramontare”, due trattati di Geometria sferica scritti dallo astronomo Autolico di Pitane, contemporaneo di Euclide. Nel libro “Sulle sfere mobili” le proposizioni sono disposte in ordine logico secondo lo stile usato da Euclide, il quale pure trattò alcune questioni di Geometria Sferica, nel trattato “I fenomeni” di cui c’è una traduzione pubblicata nel 1916. Primi studi e risultati di Ottica: gruppo di ricerche, i cui risultati costituiscono "l'Ottica degli antichi", che nasceva dal desiderio di studiare fenomeni luminosi. Partendo dal postulato che "la luce si propaga in linea retta", vengono stabiliti molti teoremi (per lo più da Euclide) che ancora oggi sono ritenuti tra i fondamenti della trattazione matematica della luce.

Quale Geometria per i fenomeni ottici? - III-II-I a. C. Ne “I fenomeni” viene definita, per la prima volta, la superficie sferica come superficie di rotazione di una circonferenza intorno ad un proprio diametro. L’opera di Euclide “I Fenomeni”, che trattava di geometria sferica, è stato tradotta nel 1915. Coniche di Apollonio (III-II secolo a. C. ): Apollonio utilizzò le sue conoscenze geometriche anche per una applicazione pratica. Il carattere innovativo della sua metodologia e della sua terminologia, nella presentazione delle sezioni coniche, hanno influenzato molti studiosi dei secoli successivi e tra questi Tolomeo, Keplero, Pierre de Fermat, Cartesio, Isaac Newton. Apollonio ha stabilito i nomi di ellisse, parabola, iperbole. Testimonianza dell'interesse dei greci per la rappresentazione come fondamento per l'arte pittorica, lo si evince da alcuni passi di Vitruvio (Marco Vitruvio Pollone, vissuto probabilmente nel I sec. a. C. ). Il De Architectura (27 a. C. ) di Vitruvio fu preso a modello da tutti i trattatisti di Architettura del Rinascimento.

Quale Geometria per lo spazio fisico? - Teodosio di Bitinia (circa 20 a. C. ), che, nella sua opera “Sphericae” tentò di affrontare il problema fondamentale dell’astronomia greca, che era quello di determinare l’ora di notte osservando le stelle. - Menelao (circa 98 d. C. ), che scrisse il trattato “Sphaerica”, pervenuto in una versione araba in tre libri. - Tolomeo (II sec. d. C. ): pone le basi teoretiche della trigonometria piana (conviene notare che la trigonometria fu creata per applicarla all’Astronomia, e poiché la trigonometria sferica era la più utile per tale scopo, essa fu la prima a essere sviluppata). - Gli arabi al’Battn (858 -929) e Abu’l Wefa (940 -998), oltre al persiano Nasir-Eddin (1201 -1274). Queste oper furono note in Europa nel XV secolo.

Oscurantismo culturale Dal 300 d. C. al 1100, in Europa non vi fu alcun progresso nell'ambito scientifico; si hanno solo tracce di traduttori delle opere di Euclide, Aristotele e degli antichi greci (Severino Boezio, Pappo, …). Le traduzioni erano tutte in latino, lingua ufficiale della Chiesa che impose il suo potere nella Cultura, per cui il Latino diventò la lingua internazionale dell'Europa (e della Matematica e della Scienza). Tra il 150 a. C e il 364 d. C. (~ al 250 d. C. ) è vissuto ad Alessandria un grande matematico, Diofanto, il quale raccolse e risolse problemi che compendiò in un unico trattato "l'Arithmetica" costituito da tredici libri, di cui solo sei sopravvissero agli eventi del medioevo perché gli altri sette furono distrutti dagli eventi successivi. Infatti, durante i secoli che separano Euclide da Diofanto, Alessandria era considerata la capitale intellettuale del mondo civilizzato, ma per tutto questo periodo la città fu ripetutamente minacciata da eserciti stranieri.

Oscurantismo culturale Il primo grande assalto si ebbe nel 47 a. C. , quando Giulio Cesare cercò di abbattere il regno di Cleopatra incendiando la flotta di Alessandria, nei cui pressi era situata la Biblioteca che prese fuoco e centinaia di migliaia di volumi furono distrutti. Cleopatra decise di riportare la Biblioteca al suo antico splendore; fu aiutata in tale operazione da Marc'Antonio che marciò sulla città di Pergamo dove era stata fondata una grande Biblioteca e trasportò tutti i volumi di Pergamo ad Alessandria (in Egitto). Nei quattro secoli successivi la Biblioteca, che Cleopatra custodiva nel Tempio di Serapide, continuò ad accumulare libri finché nel 389 d. C. l'imperatore cristiano Teodosio ordinò al vescovo di Alessandria Teofilo di distruggere tutti i monumenti pagani compreso il Tempio di Serapide. Poche copie, sopravvissute alla devastazione, furono distrutti da un attacco mussulmano nel 642 dal califfo Omar perché alcuni ritenuti contrari al Corano ed altri ritenuti superflui.

Dall’oscurantismo alla Rifioritura economica: Geometria e Architettura XI-XIII secolo Nel periodo dell’oscurantismo, la Matematica è sopravvissuta per merito degli Indiani e degli Arabi che reinventarono molti teoremi che erano stati perduti (oltre allo sviluppo dell’algebra), i cui risultati si sono conosciuti in Europa dall'XI secolo in poi (periodo della rifioritura economica), per merito principalmente di Leonardo Pisani (1170 -1250) detto Fibonacci perché figlio del mercante Bonacci. Fibonacci era nato a Pisa, ma era stato educato in Africa ed aveva viaggiato in Europa ed in Asia Minore per seguire il padre; ed è durante questi viaggi che aveva racimolato manoscritti che contenevano gran parte dei risultati di algebra ottenuti dagli arabi. Nel 1202 scrisse il Liber Abaci, di cui venne in possesso Dante Alighieri che era molto attento alla cultura scientifica del suo tempo e da bambino frequentava le lezioni di Pietro Ispano (1220 -1277) dove apprende il metodo euristico nella scienza.

Quale Geometria per i fenomeni ottici Dall’Architettura gotica alla Prospettiva XII-XIV secolo Con l'Architettura gotica, nel sec. XII, si incomincia ad intravedere un principio di rappresentazione più rigorosamente razionale. Il problema principale che poneva l'Architettura gotica era quello di ottenere la massima luminosità possibile e la massima ampiezza degli ambienti con il minimo ingombro delle masse murarie e delle strutture. Carattere gotico ebbero le abbazie di Fossanova e di Casamari, la chiesa dei Servi a Bologna e il San Francesco d'Assisi. Successivamente riscontriamo il primo passo per il superamento della concezione medioevale nelle opere di Giotto (Colle di Vespignano, 1266 - Firenze, 1337), di Duccio di Buoninsegna (di cui si ignora l'anno di nascita, ma dalle sue opere si evince il periodo di lavoro, a Siena, tra il 1278 ed il 1318 circa) e, qualche decennio più tardi, nelle opere di Ambrogio Lorenzetti (si ignora la nascita, ma si pensa che sia morto a Firenze o a Siena durante la peste del 1348), in cui è evidente la ricerca per definire lo spazio contenente i vari elementi della rappresentazione.

Quale Geometria per i fenomeni ottici? La Prospettiva XV secolo Ma l'adozione di un metodo di Prospettiva Lineare Geometrica risale all'inizio del 1400 con Filippo Brunelleschi. (Firenze, 1377 -1446), che per primo fissò le norme della Prospettiva. La Prospettiva, dal termine latino perspectiva (ottica) è considerata universalmente il fondamento teorico della Rappresentazione e dell'Arte pittorica. Il metodo della Prospettiva, in geometria, rientra quelli usati per rappresentare figure dello spazio sopra un piano.

Quale Geometria per i fenomeni ottici? La Prospettiva XV secolo La rappresentazione dei dettagli tecnici della figura avviene con i metodi della Geometria descrittiva. E’ compito, invece, della Geometria proiettiva la rappresentazione mediante le trasformazioni che essa subisce con le operazioni di proiezione e sezione. Le prime opere del Brunelleschi si mantengono ancora nell'ambito della tradizione gotica. E' col Crocefisso di Santa Maria Novella (1409) che si incomincia a intravedere un'opera nuova per le perfette proporzioni e per la simmetrica distribuzione delle parti, (prima applicazione della prospettiva).

Quale Geometria per i fenomeni ottici? La Prospettiva XV secolo Sulla stessa linea di Brunelleschi si è espresso Leon Battista Alberti (Genova 1404 circa - 1472) che ha anche dedicato al Brunelleschi il suo trattato “De pictura” in cui scrisse che nell'arte fiorentina di quegli anni si intravedeva già il superamento delle opere dell'antichità. A differenza del Brunelleschi che seguiva passo le opere che aveva progettato, l'Alberti, convinto che l'architetto non avesse un compito artigianale, affidava ad altri la realizzazione dei suoi disegni e dei suoi progetti.

Quale Geometria per i fenomeni ottici Leon Battista Alberti e Piero della Francesca Leon Battista Alberti diffuse, tra i pittori del proprio tempo, anche il procedimento (forse già noto agli antichi egiziani) che consiste nell'usare un reticolato a maglie quadrate per riprodurre in altra scala un dato disegno. E’ un procedimento fondato sul concetto di similitudine ed in cui si può individuare un primo approccio alla geometria analitica ed alla geometria proiettiva che si svilupperà due secoli più tardi. L'ingegno e la cultura dell'Alberti si manifestano anche nelle opere letterarie e pedagogiche. Egli si può definire il letterato dell'arte del XV secolo, quasi in contrapposizione ad un altro grande artista dello stesso periodo, Piero della Francesca (Arezzo, 1415 -1492), che rappresenta invece il matematico dell'arte del XV secolo (Giorgio Vasari (151 -1574).

Leonardo da Vinci In questo gruppo di eminenti pittori-geometri italiani emerge, poi, Leonardo da Vinci (Firenze, 1452 -1519) anch'egli convinto all'idea che la pittura deve avere un fondamento scientifico come si evince nel capitolo VII della sua opera Trattato della pittura, in cui così si esprime: Studia prima la Scienza e poi seguita la pratica nata da essa Scienza: quelli che si innamorano della pratica senza la diligenza sono come i nocchieri che entrano in mare sopra nave senza timone o bussola, che mai non hanno certezza dove si vadino. Sempre, la pratica deve essere edificata sopra una buona teorica, della quale la prospettiva è guida e porta: senza quella, niente si fa bene, così di pittura come in ogni altra professione.

Quale Geometria per i fenomeni ottici Dalla prospettiva all’Omologia Nel XVI secolo la prospettiva passa dalle mani degli artisti a quelle degli scienziati grazie principalmente ai lavori di un eminente commentatore, Federico Commandino (Urbino, 1509 -1575). In un suo trattato di Prospettiva lineare (che oggi chiamiamo "proiezione stereografica“), Commandino suppone di riferire tutte le figure considerate a due piani fra loro ortogonali, l'orizzontale e il verticale (con il linguaggio degli architetti la pianta e l'alzato), in modo da fissare anche gli elementi uniti. E’ questa una prima idea di composizione di due operazioni di prospettiva che, con lo sviluppo della geometria proiettiva, condurrà al concetto di omologia.

Quale Geometria per i fenomeni ottici L’OMOLOGIA: composizione di due prospettività Proiezione della finestra sul pavimento la mattina Sovrapposizione delle proiezioni: la trasformazione sul piano del pavimento, che muta ABCD in ABPQ, è l’omologia Proiezione della finestra sul pavimento alcune ore dopo

Desargues XVII sec. (1591 -1661) Inaugurando il metodo delle proiezioni centrali, definisce per la prima volta il punto all’infinito ponendo le basi della Geometria Descrittiva e della Proiettiva. 1. Il piano euclideo è ampliato al piano proiettivo 2. Aggiunta di una terza coordinata x 3 3. x 3 = 0 punto all’infinito (punto improprio). Monge (1746 -1818) Poncelet (1778 -1867)

Quale Geometria per i fenomeni ottici La geometria proiettiva fu sviluppata, prima con Gaspard Monge (1746 -1818) e quindi col suo allievo, Jean-Victor Poncelet (17881867) per trovare la sua rigorizzazione nel 1872 con “Il programma di Erlangen” di Felix Klein (1849 -1925), Klein, nominato professore ordinario all’Università di Erlangen, pubblicò il suo “Program” in cui considerava le proprietà geometriche delle figure rispetto a gruppi di trasformazioni. Ciò consiste nell’applicazione della “Teoria dei gruppi” (nella sistemazione data poi da Jordan), alle teorie geometriche. In tal modo, Klein presentava una teoria unificatrice che permetteva di classificare le varie geometrie che progredivano indipendentemente una dall’altra.

Quale Geometria per i fenomeni ottici Klein osservò che nello spazio vi sono delle trasformazioni che non alterano le proprietà geometriche delle figure. L’insieme delle trasformazioni che lascia inalterate tali proprietà è detto gruppo principale di trasformazione, in quanto: - La composizione di due o più trasformazioni è ancora una trasformazione. - Esiste la trasformazione che trasforma le figure in se stesse (identità). - Esiste la trasformazione inversa. - La composizione di trasformazioni è associativa. Per proprietà geometriche, Klein intendeva quelle indipendenti dalla posizione della figura nello spazio, dalla sua grandezza assoluta, dall’ordinamento delle sue parti [1].

Quale Geometria per i fenomeni ottici Le trasformazioni geometriche Dalle Indicazioni Nazionali: Lo studente acquisirà la conoscenza delle principali trasformazioni geometriche (traslazioni, rotazioni, simmetrie, similitudini con particolare riguardo al teorema di Talete) e sarà in grado di riconoscere le principali proprietà invarianti. - Aspetti proiettivi Rappresentazione sul piano delle figure tridimensionali. - Aspetti analitici Interrelazioni tra geometria e algebra attraverso la visualizzazione dei movimenti nello spazio

Struttura di Programmazione Didattica 1. Introduzione storica-epistemologica 2. Enti geometrici fondamentali 3. Parti limitate e parti illimitate della retta e del piano: Semirette e segmenti - Angoli e poligoni 4. I triangoli: criteri di congruenza e teoremi relativi 5. Parallelismo e perpendicolarità: teoremi relativi – 5° postulato Le discussioni sul postulato delle parallele Nascita delle geometrie non euclidee 6. Teoremi sui triangoli che si basano sul 5° postulato 7. Quadrilateri: trapezio, parallelogramma e teoremi relativi 8. Proiezioni ortogonali: perpendicolarità e segmenti obliqui Proiezione e sezione: prospettività, Omologia: la geometria proiettiva 9. Teorema di Talete Le trasformazioni geometriche - isometrie.

PROIEZIONE E SEZIONE Si definisce Proiezione di un punto P su una retta r, da un centro di proiezione S, il punto P’ SP r Se il segmento SP è perpendicolare ad r, la proiezione si dice ortogonale. Se consideriamo la retta r e la retta PP’ che si intersecano nel punto P’; il loro punto di intersezione P’ è detto sezione, in analogia alla sezione tra due piani, alla sezione di un piano con una qualsiasi figura solida

PROSPETTIVITA’ tra RETTE - PROSPETTIVITA’ tra PIANI Date due rette r ed s del piano ed un punto S esterno sia ad r che ad s, si definisce prospettività di centro S tra le rette s ed r la corrispondenza che ad ogni punto P s fa corrispondere il punto P’ SP r (cioè la proiezione del punto P di r dal centro di proiezione S) La definizione di prospettività tra rette si amplia a prospettività tra piani Ogni operazione di sezione e proiezione tra rette (o tra piani nello spazio) si definisce Prospettività.

Se s incide r in un punto U, si può osservare: a) al punto U corrisponde se stesso: U è detto punto unito; b) esiste un punto I s tale che la retta IS è parallela ad r, per cui al punto I non corrisponde alcun punto di r. E’ possibile completare la corrispondenza biunivoca tra s ed r, associando al punto I s un elemento J di r che è detto punto improprio o punto all’infinito. Se consideriamo la prospettività di centro S tra la retta s ed una qualsiasi retta r’ parallela ad r, possiamo osservare che al punto I s corrisponde ancora J. Pertanto, la caratteristica di J di essere punto improprio, non è limitata alla retta r, ma al fascio di rette parallele ad r, cioè la direzione, nel piano, della retta r. J

PUNTO e RETTA nel PIANO PROIETTIVO Partendo dalla rappresentazione di un punto P(x, y) nel piano cartesiano, mediante l’ampliamento proiettivo, si individua il punto improprio con l’aggiunta di una terza coordinata. Consideriamo una direzione d del piano (punto improprio P ); sia r la retta per l’origine che individua P e sia P 1(x, y) un punto di r. P d P 1 r

PUNTO e RETTA nel PIANO PROIETTIVO I punti di tale successione appartengono tutti alla retta r ed al crescere dell’indice k, cresce la distanza OPk , ovvero, al tendere a zero del denominatore comune alle due coordinate (o terza coordinata), il punto Pk si allontana indefinitivamente. Posto: possiamo definire le coordinate dei punti impropri come terne di numeri reali (x 1, x 2, x 3) in cui risulta x 3 = 0. Pertanto, l’espressione x 3 = 0. individua il luogo geometrico dei punti impropri del piano, cioè la retta impropria.

PROSPETTIVITA’ TRA PIANI Ogni prospettività tra piani e nello spazio o la composizione di due o più prospettività, è detta omografia tra piani e . Se e sono sovrapposti diciamo prospettività del piano in sé. La composizione di due prospettività nello spazio è detta omologia. La figura schematizza la prospettività con centro improprio (si considera il sole come punto all’infinito) tra il piano verticale che contiene la finestra (rettangolo ABST), e il piano orizzontale che contiene la proiezione ABCD (quindi è una prospettività tra piani).

Spazio piatto: da Talete (VI sec. a. C. ad oggi) Trasformazioni lineari Geometria Proiettiva Geometria Affine Geometria euclidea Omografie Affinità Similitudini Invarianti Invarianti Rette in rette Parallelismo Perpendicolarità-Misure angoli Coniche non degeneri Coniche chiuse Circonferenze Birapporto Rapporto semplice Rapporto distanze Isometrie Invarianti Le isometrie conservano tutte le proprietà delle similitudini e mutano segmenti congruenti in segmenti congruenti [F. Casolaro: Atti del Progetto di Ricerca del Ministero della Pubblica Istruzione sulle “Interrelazioni tra Disegno e Matematica per una didattica finalizzata all’uso delle nuove tecnologie” - Sorrento, 11 - 15 dicembre 1990, Roma, 6 - 10 maggio 1991, Roma, 8 - 12 dicembre 1991] www. ing. unisannio. it/casolaro

Quale Geometria per lo spazio fisico? XVIII-XIX secolo Con Eulero (1707 -1783) si sviluppa una trattazione moderna della trigonometria sferica a cui, dall’ idea di Gauss (1777 -1855) di considerare una superficie curva come spazio in se, segue uno studio generalizzato di geometrie su superfici curve: le geometrie non euclidee. I teoremi provati da Gauss nei suoi lavori sono in gran parte simili a quelli che si incontrano nelle opere di Nikolai Lobatchevsky (1793 -1856) e di Wolfgang Bolyai (1775 -1856) [1], i due matematici a cui, insieme a Georg Bernhard Riemann (1826 -1866) [1], si devono i risultati più importanti sulle geometrie non euclidee.

Quale Geometria per lo spazio fisico? XVIII-XIX secolo Nel XVIII secolo, l’interesse dei matematici era rivolto principalmente alla geometria proiettiva e le ricerche sulla geometria non euclidea non attirarono i matematici inglesi, francesi e tedeschi, almeno fino a quando Gauss non si espresse positivamente sulla validità logica di esse (nel 1817) e della possibilità di individuare uno spazio fisico che risponda alle sue proprietà. Gauss afferma: Non è possibile dimostrare che la geometria euclidea sia necessaria per lo sviluppo dell'universo fisico; è quindi possibile costruire una altra geometria applicabile fisicamente.

Quale Geometria per lo spazio fisico? XIX secolo Ed è Riemann che nel 1854 dedusse che lo studio della geometria non si può astrarre dall'evoluzione fisica. In uno spazio in cui la curvatura cambia da un luogo all'altro per la presenza della materia, e da un istante all'altro per il moto della materia, le leggi della geometria euclidea non sono valide. Pertanto, per determinare la vera natura dello spazio fisico, si deve associare fra loro spazio e materia (e di conseguenza il tempo). Riemann, applica allo spazio ordinario i suoi risultati, e conclude che lo spazio fisico è una varietà a tre dimensioni a curvatura costante.

Proprietà dello Spazio vettoriale Si dice che la struttura (S, R) è uno spazio vettoriale sul campo R [in generale, una struttura (S, K), con K campo reale o complesso] se in S è definita un’operazione binaria interna (nel nostro caso l'ordinaria addizione +) per la quale (S, +) è un gruppo commutativo ed una legge di composizione esterna (nel nostro caso l'ordinaria moltiplicazione di un vettore per un numero reale), detta moltiplicazione per uno scalare, per le quale valgono le seguenti proprietà: 1) Associativa rispetto al prodotto esterno: 2) Esiste l'elemento neutro 1 rispetto al prodotto esterno: 3) Distributiva del prodotto esterno rispetto all'addizione di vettori: 4) Distributiva del prodotto esterno rispetto all'addizione di scalari:

Definizione di vettore e concetto di iperpiano. In matematica, un vettore è definito come classe di equivalenza di segmenti equipollenti L'equipollenza tra segmenti è una relazione di equivalenza. Una classe di equivalenza v di segmenti equipollenti prende il nome di vettore. In Fisica, una grandezza si può definire come vettore quando: 1) vale la legge del parallelogramma; 2) è invariante rispetto ai sistemi di riferimento per traslazione.

Costruzione di uno spazio S 1 Se u è un vettore non nullo di uno spazio vettoriale S 1, ogni altro vettore v di S 1 si può esprimere come prodotto del vettore u per il numero reale : (3. 1) Costruzione di uno spazio S 2 Definizione: Due vettori u e v del piano S 2 si dicono linearmente dipendenti se hanno la stessa direzione (cioè se appartengono ad uno stesso S 1). In tal caso, sussiste tra essi la (3. 1). Dalla (3. 1) si ha: cioè: "se due vettori di S 2 sono linearmente dipendenti, esiste una combinazione lineare di essi con scalari non nulli che dà il vettore nullo".

Dipendenza lineare tra vettori nello spazio S 3 Tre vettori u, v, w dello spazio S 3 si dicono linearmente dipendenti se hanno la stessa giacitura, cioè se esiste un piano che contiene i segmenti orientati che li rappresentano (precisamente, appartengono ad uno stesso S 2). La giacitura individuata da due vettori u e v non paralleli definisce, dunque, tutti e soli i vettori linearmente dipendenti dal sistema {u, v}. Infatti, se u e v sono due vettori non paralleli e non nulli del piano, un qualsiasi vettore w, appartenente al piano individuato da u e v, si può decomporre lungo le direzioni di essi, cioè, si può esprimere come somma di due vettori α 1 u ed α 2 v, linearmente dipendenti da u e da v. α 1 u A u O w T w = α 1 u + α 2 v => α 1 u+α 2 v+(-1)w=0 α 2 v v B

Ampliamento della geometria euclidea alla geometria affine con l’introduzione dei vettori Esempio: Due vettori del piano sono linearmente dipendenti se hanno la stessa direzione; in tal caso, dalla rappresentazione cartesiana delle componenti, si deduce che: “la matrice costituita dalle componenti dei vettori ha determinante nullo”: ax : bx = ay : by ax by - ay bx = 0 y a cioè: ay ax bx ax det = 0 ay by by bx x

CONCETTI ESSENZIALI - Iperpiano - Dipendenza lineare - Calcolo matriciale e determinante di una matrice - Equazione della retta equazione del piano dal punto di vista affine PRODOTTO SCALARE Se : risulta: da cui:

In un riferimento cartesiano del piano, sia P(x, y) un punto diverso dall'origine, in modo che il segmento orientato identifichi il vettore che ha per componenti rispettivamente le coordinate x ed y di P. Se è un vettore ortogonale ad , da: per definizione di prodotto scalare, si ha: cioè: ax + by = 0 (*) che rappresenta la retta per l’origine perpendicolare alla direzione del vettore n. La (*), equazione della retta OP, individua dunque, il luogo geometrico dei punti P(x, y) del piano tali che il segmento OP è perpendicolare alla direzione del vettore n(a, b).

Anche per il piano in , si può fissare un riferimento cartesiano ed un punto P(x, y, z) diverso dall'origine, in modo che il segmento orientato identifichi il vettore che ha per componenti rispettivamente le coordinate x, y, z di P. Se è un vettore ortogonale ad , per definizione di prodotto scalare, si ha: che è l’equazione del piano per l'origine, che contiene i punti A, B, C. Tale equazione individua, dunque, il luogo geometrico dei punti P(x, y, z) dello spazio tali che il segmento OP è perpendicolare alla direzione del vettore

I vettori perpendicolari al piano in ogni punto, hanno la stessa direzione. Così di seguito, operando su spazi piatti, di dimensione tre, quattro, …ecc, i vettori perpendicolari allo spazio hanno tutti la stessa direzione. In uno spazio curvo, la direzione del vettore perpendicolare allo spazio cambia in ogni punto, per cui le componenti del vettore normale allo spazio in un punto (precisamente al piano tangente la superficie in quel punto) sono funzioni delle coordinate. y x

Programma concorso a cattedre 2016 Il candidato dovrà dimostrare adeguate conoscenze e competenze finalizzate a far sì che l’alunno sia in grado di studiare, con l’introduzione delle coordinate cartesiane, dal punto di vista analitico, rette, piani e sfere. Indicazioni nazionali un’introduzione ai concetti matematici necessari per lo studio dei fenomeni fisici, con particolare riguardo al calcolo vettoriale e alle nozione di derivata; Nel liceo artistico un’attenzione particolare sarà posta a tutti quei concetti e quelle tecniche matematiche hanno particolare rilevanza nelle arti grafiche, pittoriche e architettoniche e che attengono in particolare alla geometria analitica, descrittiva e proiettiva. Gli strumenti informatici oggi disponibili offrono contesti idonei per rappresentare e manipolare oggetti matematici.

Modello geometrico in uno spazio a curvatura non nulla. Considerata una superficie come spazio in sé, come si può costruire su di essa una geometria analoga a quella del piano: - Ai concetti intuitivi di punto, piano e retta associamo rispettivamente i concetti di punto stesso, superficie e geodetica. Ovviamente l’analogo del segmento rettilineo sarà l’arco di geodetica. - Alla seguente relazione di uguaglianza tra figure, in geometria euclidea : Due figure piane sono uguali, se possono farsi corrispondere punto per punto in modo che le distanze rettilinee fra le coppie di punti corrispondenti, siano uguali, corrisponde, per la geometria non euclidea: Due figure su una superficie sono uguali se possono farsi corrispondere punto per punto in modo che le distanze geodetiche fra coppie di punti corrispondenti sono uguali.

Sulla sfera valgono, per figure uguali, proposizioni analoghe ai postulati della congruenza nel piano, in quanto la sfera può muoversi liberamente su se stessa come il piano (non valgono le proprietà affini [3] e le proprietà del parallelismo che si avvalgono del V postulato). - Le proprietà fondamentali dell'uguaglianza fra archi geodetici e angoli, corrispondono ai postulati della congruenza tra segmenti ed angoli. Quella superficie che si può muovere liberamente su se stessa (conservando le proprietà locali), come accade per la superficie piana, è caratterizzata da una grandezza costante in ogni suo punto: la curvatura K.

La definizione rigorosa di curvatura richiede conoscenze che esulano da un’esposizione elementare. Come per i concetti di retta e di piano in geometria euclidea, riteniamo che si possa lasciare all’intuito dello studente di immaginare quelle superfici a curvatura zero (il piano), a curvatura costante (la sfera), a curvatura variabile (ellissoide, o banale esempio dell’uovo).

Modello di geometria di tipo ellittico (Riemann), che trova applicazione nello spazio fisico. Riemann, riteneva che le proprietà che distinguono lo spazio fisico da altre varietà, possono essere ricavate solo dall'esperienza; di conseguenza, egli pensava che gli assiomi della geometria euclidea potessero essere veri solo approssimativamente per lo spazio fisico e, come Lobacewscki, riteneva che sarebbe stata l'Astronomia a stabilire la geometria che meglio si adatta allo spazio fisico.

Già nel 1854, Riemann, dedusse che lo studio della geometria non si può astrarre dall'evoluzione fisica. In uno spazio in cui la curvatura cambia da un luogo all'altro per la presenza della materia, e da un istante all'altro per il moto della materia, le leggi della geometria euclidea non sono valide. Pertanto, per determinare la vera natura dello spazio fisico, si deve associare fra loro spazio e materia (e di conseguenza il tempo). A tale scopo, così si esprimeva: "O la realtà soggiacente lo spazio forma una varietà discreta, oppure bisognerà cercare il fondamento delle sue relazioni metriche fuori di esso, nelle forze connettive che vi agiscono. Questo ci porta nel dominio di un’altra scienza, quella della fisica, in cui l’oggetto delle nostre ricerche non ci consente di entrare oggi”

Quest'idea, che ha condotto poi alla Teoria della relatività, fu sviluppata da William Clifford (1845 -1879) il quale sosteneva che: "La variazione della curvatura dello spazio sia ciò che accade realmente in quel fenomeno che chiamiamo moto della materia, sia essa pesante o eterea”. Riemann, applica allo spazio ordinario i suoi risultati, concludendo che lo spazio fisico è una varietà a tre dimensioni a curvatura costante. In questa varietà, la geometria non si può astrarre dall'evoluzione fisica.

Ortogonalità tra vettori L'ortogonalità tra vettori, per come è stata definita su un iperpiano di uno spazio piatto, non ha significato su una superficie curva. Il prodotto scalare tra un vettore normale alla superficie in un suo punto ed un vettore del piano tangente alla superficie in quel punto è un'approssimazione corretta della realtà solo se operiamo in un intorno del punto abbastanza piccolo da poter identificare l'elemento infinitesimo di superficie con una parte infinitesima di piano.

In una varietà tridimensionale di uno spazio a quattro dimensioni, un è rappresentato da un’equazione lineare in quattro incognite del tipo: ottenuta dal prodotto scalare tra il vettore g (normale alla superficie ) ed il vettore ds (dx, dy, dz, dt) (spostamento infinitesimo su ), individua un iperpiano dello spazio in cui le (i = 1, . . . , 4) sono funzioni delle coordinate (x, y, z, t) analoghe a quelle introdotte da Riemann per la sua geometria non euclidea; la metrica è definita da (6. 3)

Nell’idea di Einstein, le funzioni , che nelle (6. 2) e (6. 3) rappresentano i coefficienti delle variabili dx, dy, dz, dt, incorporano gli effetti delle masse gravitazionali nello spazio. Tali effetti, provocando una curvatura in ogni punto, sono la causa del cambiamento di direzione del vettore normale alla superficie in quel punto. Con l’introduzione della coordinata-tempo, si ha poi una più corretta analisi dell’universo, identificato col cosiddetto spazio-tempo quadridimensionale (x, y, z, t) di Minkovsky [5], in cui l'insieme dei punti-eventi (x, y, z, t) definisce un continuo a quattro dimensioni che rappresenta uno spazio geometrico .

In tale ottica, lo spazio dei punti (x, y, z) del modello euclideo, visto come sottospazio di può essere assimilato ad un iperpiano dello spazio-tempo di Minkovsky. - per t = 0 (ovvero t = costante), si ha l'iperpiano , che è lo spazio geometrico euclideo tridimensionale, in cui valgono le leggi della cinematica classica; - se invece è costante una delle coordinate x, y, z, si hanno iperpiani di che caratterizzano modelli cinematici relativistici su , che è l'analogo del piano euclideo.

Ad esempio, l'insieme dei punti P(x, y, 0, t) P(x, y, t) è un iperpiano di , le cui coordinate (x, y, t) individuano i puntieventi del piano (x, y) che è prolungato alla cinematica con l'introduzione della coordinata tempo. In tale contesto, bisogna tener conto che la metrica è definita da: Tale relazione si può giustificare geometricamente, aggiungendo alla terna reale (O, x, y, z) del riferimento di , un quarto asse immaginario ortogonale ad in cui la coordinata tempo è moltiplicata - per uniformità dimensionale - per la velocità della luce c e per l'unità immaginaria i.

dz i (c dt) dy dx O fig. 6. 1 x Il vettore ha allora componenti (dx, dy, dz, icdt) (fig. 6. 1) e quindi la metrica è definita da: cioè la (6. 1). Ciò porta a concludere che la geometria non si può astrarre dall’evoluzione fisica.

Secondo la concezione classica, la geometria esprime un insieme di proprietà relative al movimento dei corpi ed alla propagazione della luce, che si ottengono facendo astrazione dal tempo e dalle forze. Quindi, con un’estensione della geometria alla cinematica (che è la teoria del movimento rispetto allo spazio-tempo) e successivamente alla dinamica (con l’introduzione delle forze) si avranno approssimazioni che ci avvicinano mano ad un grado più concreto della realtà fisica, che troverà poi un’ulteriore correzione con la Teoria della Relatività Generale.

Dunque, il modello newtoniano che assegna una legge per il moto libero di un punto e vi aggiunge poi una forza, risulta essere solo un’astrazione nella nuova costruzione della dinamica di Einstein. Tale concezione sarebbe reale se la materia fosse composta da piccole masse, poste a distanza tale una dall’altra da potersi muovere senza subirne la reciproca influenza. Invece la materia si muove sotto l’influenza di altra materia che, secondo la dinamica newtoniana è la causa delle forze gravitazionali.

Bibliografia 1] F. Casolaro: “Il Programma di Erlangen e le trasformazioni geometriche” - Atti del corso “Disegno e Matematica: Proposte per una didattica finalizzata all’uso delle nuove tecnologie”, a cura di Cesare Cundari: Sorrento, 11 -15 dicembre 1990; Roma, 6 -10 maggio, 8 -12 dicembre 1991 - M. P. I. e Dipartimento di Rappresentazione e Rilievo della Facoltà di Ingegneria dell’Università “La Sapienza” di Roma. [2] F. Casolaro: “La Matematica nell’insegnamento della Fisica” - Atti del Convegno Nazionale Mathesis: “Cento anni di matematica”. Palombi Editori - Roma, 1995. [3] F. Casolaro - F. Eugeni: “Trasformazioni geometriche conservano la norma nelle algebre reali doppie”. Atti del Convegno “Aspetti multidisciplinari della didattica della matematica” - Teramo, 1 -3 dicembre 1995. Ratio Matematica n. 1 1996 – pag. 23 -33. [4] F. Casolaro - L. Cirillo: “Le trasformazioni omologiche” - Atti del Congresso Nazionale Mathesis: “I fondamenti della matematica per la sua didattica e nei suoi legami con la scienza contemporanea" - Verona, 1996. [5]F. Casolaro - R. Santarossa: “Geometrie non euclidee e geometria differenziale: note didattiche”. Atti del Congresso nazionale Mathesis: "Attività algoritmiche e pensiero dialettico nello insegnamento della matematica" - Caserta, 1997. [6] F. Casolaro: "L'insegnamento dell'analisi matematica nella scuola secondaria superiore" - Appunti del corso di Perfezionamento in Didattica della Matematica 2001/2002 - Università di Napoli. [7]] F. Casolaro - R. Prosperi: "La Matematica nelle Scienze applicate: equazioni algebriche ed equazioni differenziali nei programmi degli istituti tecnici" - Atti del Congresso nazionale Mathesis - Mantova 2001, pag. 173 -186. [8] F. Casolaro: "Le trasformazioni omologiche nella Storia, nell'Arte, nella Didattica". Convegno internazionale "Arte e Matematica" - Vasto, 10 -12 aprile 2003. [9] F. Casolaro: “Un percorso di geometria per la scuola del terzo millennio: dal piano cartesiano ad un modello analitico su uno spazio curvo” – Atti del Congresso nazionale Mathesis – Bergamo 2003. [10] F. Casolaro - R. Pisano: “Riflessioni sulla geometria nella Teoria della relatività”, Atti del XXVI Congresso Nazionale di “Storia della Fisica e dell'Astronomia” (SISFA 15 -17 giugno 2006), Facoltà di Architettura “Valle Giulia” dell’Università di Roma “La Sapienza”.

[11] F. Casolaro – R. Prosperi L’evoluzione della matematica attraverso l’osservazione del mondo fisico – Atti del convegno “Qual è il ruolo culturale ed interdisciplinare delle scienze fisiche e matematiche? Ipotesi e prospettive” - Aversa 26 Maggio 2008. [12] F. Casolaro: “L’evoluzione della Matematica attraverso quattro congetture fondamentali” sull’osservazione del mondo fisico”. Atti del 1° Convegno AIF: Calitri, Latina, Minturno, Napoli: “Qual è il ruolo culturale ed interdisciplinare delle scienze fisiche e matematiche? Ipotesi e prospettive” - Aversa, 26 Maggio 2008 - pag. 71 -83. [13] F. Casolaro (con R. Pisano): "An Historical Inquiry on Geometry in Relativity: Reflections on Early Relationship Geometry-Physics (Part two)" - History Research - Vol. 2, Number 1, january 2012 - pag. 57 -65. [14] F. Casolaro: "L'evoluzione della geometria negli ultimi 150 anni ha modificato la nostra cultura. Lo sa la Scuola? " - Pubblicazione dell'intervento tenuto al Convegno "Euclide. . . oltre Euclide" (Castellammare di Stabia, 10 -12 maggio 2013) - sulla rivista "Science &Philosophy Divulgation" - Di. Sci. Phil - Fascicolo 1 (2014) - Fondazione “Panta Rei” Numero speciale di Ratio Mathematica - ISSN: 2282 -7757 [15] F. Casolaro – A. Trotta: “I neutrini” "Science &Philosophy Divulgation" - Di. Sci. Phil - Fascicolo 1 (2014) - Fondazione “Panta Rei” Numero speciale di Ratio Mathematica - ISSN: 2282 -7757 [16] F. Casolaro (con A. Rotunno): “Mathematics and Art: from the pictorial art to the linear transformations”. Accettato per la pubblicazione agli atti del Convegno: Third International Conference - Recent Trends in Social Sciences: Qualitative Theories and Quantitative Models (RTSS), tenutosi all’University of Defence - Brno, Czech Republic, 15 -17 ottobre 2015.

[17] F. Casolaro: “Dalla Geometria euclidea alla Geometria Proiettiva”. In fase di pubblicazione nel volume dedicato al Prof. Cesare Cundari, relativamente al Progetto della Facoltà di Architettura dell’Università “La Sapienza” di Roma sulle Interrelazioni tra Matematica e Disegno. [18] Cesare Cundari: “Disegno e Matematica per una didattica finalizzata alle nuove tecnologie”. - dicembre 1990; 6 -10 maggio 1991; 8 -12 dicembre 1991 - M. P. I. e Dipartimento di Rappresentazione e Rilievo della Facoltà di Ingegneria dell’Università “La Sapienza” di Roma: - F. Casolaro: “Dai numeri reali al piano di Argand-Gauss”. Pag. 260 -264. - F. Casolaro: “Dal risultato di Gauss sulla costruibilità del poligono di 17 lati agli sviluppi della teoria algebrica dei campi”. Pag. 246 -259. - F. Casolaro: “Il Programma di Erlangen e le Trasformazioni geometriche”. Pag. 101 -103. - F. Casolaro: “La geometria proiettiva: Omografie”. Pag. 104 -118. - F. Casolaro: “La geometria analitica: cenni storici e funzione didattica”. Pag. 91100. - F. Casolaro: “Dualità nel piano e nello spazio: Metodi analitici per la costruzione delle coniche”. Pag. 240 -245: - F. Casolaro: “Algebra delle matrici”. Pag. 85 -90. - F. Casolaro: “Il gruppo delle Affinità”. Pag. 220 -225. - F. Casolaro: “Il gruppo delle Similitudini”. Pag. 226 -230. - F. Casolaro: “Il gruppo delle Isometrie”. Pag. 231 -239. - F. Casolaro: “Costruzioni di coniche”. Pag. 240 -245.