Fulvia Furinghetti Dipartimento di Matematica Universit di Genova

Fulvia Furinghetti Dipartimento di Matematica, Università di Genova INSEGNARE GEOMETRIA

1911

David E. Smith (USA, 1860 -1944)

Inizia con una lista delle ragioni per cui non studiare geometria Non perché è utile Non perché educa la memoria

Ha un valore culturale? Molti lo negano William J. Locke, The morals of Marcus Ordeyne

Ma l’opinione di quei molti riguarda la geometria o come è stata loro insegnata la geometria? Che cosa si può dire delle altre materie?

Perché studiare la geometria Il piacere

Offre la migliore applicazione della logica che abbiamo a disposizione

Eterno dilemma sulle finalità nell’insegnamento della matematica e sulla sua utilità

Rivoluzione francese École Polytechnique

Gaspard Monge (1746 -1818)

James Hargreaves (1720 -1778): filatoio meccanico 1764 probabilmente analfabeta Edmund Cartwright (1743 -1823): telaio meccanico 1785 prete con formazione universitaria James Watt (1736 -1819): motore a vapore 1763 -75 ha lavorato all’università di Glasgow, ma non come accademico, bensì come costruttore di strumenti George Stephenson (1781 -1848): lampada di sicurezza dei minatori 1815, prima locomotiva 1814, prima ferrovia 1820, autodidatta, ha seguito lezioni serali La teoria sottostante alle invenzioni di Watt e Stephenson è stata elaborata da Sadi Carnot negli anni 1820 in Francia

Non c’è solo la costruzione teorica degli Elementi di Euclide, ma c’è anche una tradizione “pratica”

7 8 15 Manuale del tardo medioevo

Manuali del ‘ 600 e ‘ 700

Leclerc

Sculture di Santo Varni alla biblioteca universitaria

Alexis Claude Clairaut (1713 -1765)

La linea retta è il più corto cammino tra due punti Adrien-Marie Legendre (1752 -1833)

Dall’Ottocento la geometria (euclidea) entra nei programmi di ogni tipo di scuola Diventa un argomento “tradizionale” quasi “conservatore”

Ha avuto uno strano destino: è stata al centro di importanti rivoluzioni Inizio 1900 Anni 1950 -60 (Matematica Moderna) Calcolatore

Nell’Ottocento in UK gli esami di ammissione alle università di Cambridge, London e Oxford consistevano in esercizi meccanici di geometria euclidea Augustus De Morgan e James Sylvester sono tra i critici di questo orientamento Ci furono grandi discussioni a partire dagli anni 1870 con echi anche in Italia (dove era stato proposto Euclide)

‘The teaching of mathematics’ (Nature, 1900, 317 -320) John Perry’s address on ‘The teaching of mathematics’ nella sezione ‘Education’ della British Association (1901)

The young applier of physics, the engineer, needs a teaching of mathematics which will make his mathematical knowledge part of his mental machinery, which he shall use [readily and certainly]. [This] method is one which may be adopted in every school in the country, and adopted even with the one or two boys in a thousand who are likely to become able mathematicians. In England we have a ruling class whose interests are sporting, athletic and literary. They do not know, or if they know do not realise, that this western civilisation on which they are parasitic is based on applied mathematics. This defect will lead to difficulties, it is curable and the place for curing it is school.

La sua idea di matematica pratica era diretta particolarmente alla geometria. Nelle sue linee di base la geometria dovrebbe essere un lavoro sperimentale con riga, compasso, goniometro, squadre, carta da ritagliare. L’idea di laboratorio di matematica La matematica secondaria della UK è rifondata Resteranno echi in tutto il XX secolo

Nelle grandi riforme all’inizio del 1900 (Felix Klein in Germania, Borel e i grandi analisti in Francia) Introduzione della geometria analitica e ruolo della visualizzazione

In Italia le cose vanno diversamente Diverso livello di industralizzazione 1868 Gli Elementi di Euclide curati da Betti, Brioschi (Cremona) Alla fine dell’Ottocento molti ottimi libri di geometria 1903 Enriques-Amaldi

Matematica moderna

Jean Dieudonné

Modifiche nei programmi Teoria degli insiemi Sviluppo di nozioni algebriche: legge di composizione in un insieme, nozione di gruppo, anello, corpo Introduzione precoce dell’analisi Nozioni eliminate Geometria euclidea À bas Euclide

L’eliminazione della geometria euclidea è fondata su due argomenti: Argomento teorico I lavori assiomatici seguiti a Hilbert hanno mostrato la “pretesa” di rigore in Euclide e il ricorso frequente all’intuizione. Nell’algebra la presentazione rigorosa è possibile Argomento pratico La geometria tradizionale è inutile e pedante

Atti di ICME-2 (1972, Exeter, UK) International Conference on Mathematical Education

La matematica moderna esiste? Sottolinea la contraddizione di un insegnamento che è euristico in principio, ma è basato sulla matematica astratta. René Thom (1923 Questo è contro il modo 2002) usuale di fare matematica che va dal concreto all’astratto.

1. Il modernismo. Le necessità culturali e strumentali dei matematici devono necessariamente ricadere sull’insegnamento secondario? 2. Di tutti i “giochi” la geometria è quello meno gratuito, poiché si riferisce costantemente all’intuizione 3. Se si afferma che la geometria è riservata una élite si fa un discorso sociologico (che Thom non vuole affrontare, siamo nel dopo 1968) 4. Comunque le strutture algebriche non sono più semplici a imparare 5. Rigore (catene di deduzioni locali) 6. Genesi dello spazio nei bambini

1974, Mathématiques modernes et mathématiques de toujours Il problema da affrontare nell’insegnamento della matematica non è un problema di rigore, ma di senso

Gli anni 1960 sono fecondi di inziative Si sviluppano molti importanti progetti (School Mathematics Project in UK)

Conseguenze della matematica moderna La scomparsa della geometria Scomparsa della geometria parallela = scomparsa della dimostrazione Inchiesta sugli insegnanti

“Pertanto sembrano giustificate alcune mie scelte di base che sono risposte alle seguenti domande: -Perché introdurre la geometria elementare del piano euclideo? perché occorre rafforzare la componente formativa (in tutti i tipi di scuola) -Come introdurla in un biennio attuale di scuola secondaria? non come sistema ipotetico deduttivo ma come alcune catene deduttive Quali sono le difficoltà che si incontrano? L’impressione che gli studenti hanno di uscire da schemi procedurali unita alla necessità di fare uso del metalinguaggio li pone spesso in condizioni di rifiuto Con quale strategia introdurla? tra il livello intuitivo/sperimentale della scuola media inferiore e quello assiomatico, occorre inserire un livello intermedio, che Francesco Speranza ha definito “di razionalizzazione progressiva””

calcolatore

Dato il quadrilateralo ABCD, si considerino le bisettrici dei quattro angoli interni: Sia H il punto d’intersezione delle bisettrici in <A e in <B, K il punto d'intersezione delle bisettrici in <B and in <C, L il punto d'intersezione delle bisettrici in <C e in <D, M il punto d'intersezione delle bisettrici in <D e in <A. Come varia HKLM al variare di ABCD? Prova le tue congetture.

Alex e Luca

3 a fase “Abbiamo allora cercato una relazione tra queste figure che si ottengono con la stessa configurazione della figura interna. Svolgendo questa ricerca abbiamo scoperto un teorema che abbiamo così formalizzato: quando le bisettrici di un quadrilatero si intersecano in un unico punto P, questo punto è il centro di una circonferenza inscrittibile nel quadrilatero”

4 a fase Abbiamo quindi cercato di dimostrarlo: per fare ciò ci siamo serviti di due rette passanti per il centro che siano perpendicolari a due lati adiacenti del quadrilatero Passano a carta e matita

La dimostrazione non è ovviamente completa, ma basterebbe poco per renderla del tutto accettabile. In ogni caso risulta chiaro che gli studenti, in questa fase, hanno cambiato modalità di comunicazione, ponendo attenzione non ai fatti che si osservano sullo schermo, ma alla loro giustificazione all’interno della geometria euclidea L’idea di tracciare le perpendicolari (e quindi di effettuare una costruzione) è venuta in modo naturale dopo l’esplorazione in Cabri

Legame geometria-algebra attraverso la storia (Cartesio)

Dato un triangolo ABC, costruire un retta passante per un P appartenente ad AB e che divide il triangolo in due parti di uguale area C A P B

Area tr. UPB: xdsen. B Area tr. ABC: acsen. B xdsen. B = 1/2 acsen. B xd = 1/2 ac x : c = 1/2 a : d

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Furinghetti, F. (1998). La tradizione italiana nell’insegnamento della geometria. La Matematica e la sua Didattica, n. 2, 176 -198. Furinghetti, F. , Olivero, F. & Paola, D. (2001). Students approaching proof through conjectures: snapshots in a classroom. International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 32, 319 -335. Furinghetti, F. & Paola, D. (2003). To produce conjectures and to prove them within a dynamic geometry environment: a case study. In N. A. Pateman, B. J. Dougherty, J. T. Zilliox (Eds. ), PME 27 -PMENA (2, 397 -404). Howson, A. G. (1982). A history of mathematics education in England. Cambridge etc: C. U. P. Howson, A. G. (2010). 
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