Unit 11 La quantit di moto e il

Unità 11 La quantità di moto e il momento angolare Copyright © 2009 Zanichelli editore

1. La quantità di moto Il moto a reazione avviene per la legge di conservazione della quantità di moto. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Il vettore quantità di moto di un corpo è dato dal prodotto della massa per il vettore velocità. • ha la stessa direzione e verso del vettore velocità; • è proporzionale alla velocità e alla massa (a parità di v, p è maggiore per un treno che per un'automobile). • Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

2. La conservazione della quantità di moto Consideriamo un fenomeno che simula “l’esplosione” di un corpo in due frammenti: p totale era zero all'inizio e rimane zero alla fine. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La conservazione della quantità di moto Consideriamo ora i due frammenti di massa l'una doppia dell'altra: p totale era zero all'inizio e rimane zero alla fine. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La conservazione della quantità di moto Quindi la quantità di moto di ciascun corpo cambia, mentre la quantità di moto totale del sistema rimane costante. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

La legge di conservazione della quantità di moto In termini più generali si esprime: se su un sistema non agiscono forze esterne, la quantità di moto totale del sistema si conserva. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

3. L'impulso di una forza Definiamo impulso di una forza F il vettore prodotto della forza per l'intervallo di tempo durante il quale essa agisce: L'impulso è legato alla variazione di p: ovvero Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Il teorema dell'impulso Dalle formule precedenti si ricava il teorema dell'impulso: ovvero La variazione della quantità di moto che una forza determina è uguale all'impulso della forza stessa. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Minimizzare la forza d'urto Quando si subisce un urto, c'è una grossa variazione di p. Poiché Furto= p/ t. Se il tempo dell'urto t è più lungo allora la Furto è più piccola. Per aumentare t , nelle cadute si piegano le gambe. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Minimizzare e massimizzare la forza d'urto Nelle automobili l'intervallo di tempo t viene aumentato (e quindi Furto minimizzata) utilizzando gli airbag e carrozzerie deformabili. Nel karate, un brevissimo t massimizza Furto e consente di spezzare una pila di mattoni. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

4. I princìpi della dinamica e la legge di conservazione della quantità di moto Consideriamo l'interazione di due corpi A e B e utilizziamo la notazione seguente: Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

I princìpi della dinamica e la legge di conservazione della quantità di moto Per il III principio della dinamica: Moltiplicando per t: Per il teorema dell'impulso si ha: quindi Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

I princìpi della dinamica e la legge di conservazione della quantità di moto La formula precedente si può scrivere: La conservazione della quantità di moto in un sistema isolato è conseguenza dei princìpi della dinamica. L'emissione di gas dai motori dell'aereo determina la spinta in avanti. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Una conferma sperimentale La foto mostra l'urto di due biglie di massa diversa: Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Una conferma sperimentale Se rappresentiamo con frecce dello stesso colore delle biglie le quantità di moto iniziali e finali, si vede che la quantità di moto totale resta la stessa prima e dopo l'urto. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

5. Gli urti su una retta Durante un urto i due corpi che collidono rappresentano un sistema isolato, quindi la quantità di moto totale si conserva. m 1, m 2: masse dei corpi v 1, v 2: velocità prima dell'urto V 1, V 2: velocità dopo l'urto Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Urto elastico Un urto si definisce elastico se si conservano: • la quantità di moto totale; • l'energia cinetica totale. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Urto elastico Se conosciamo le masse di corpi e le velocità iniziali, possiamo ricavare le velocità finali risolvendo il sistema: p 1 + p 2 = cost. K 1 + K 2 = cost. In cui compaiono due equazioni nelle due incognite V 1 e V 2. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Urto completamente anelastico Un urto si dice completamente anelastico se i due oggetti che collidono rimangono uniti dopo l'urto: Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Urto completamente anelastico In un urto completamente anelastico V 1 = V 2 = V: la velocità finale V è determinata dalla sola legge di conservazione della quantità di moto. Si ha ovvero Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

6. Gli urti obliqui Caso semplice: due biglie uguali di massa m, di cui una inizialmente ferma; urto elastico. Indichiamo con: Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Gli urti obliqui 1) Imponiamo la conservazione di p: dividendo per m: 2) Imponiamo la conservazione di K: ovvero Il triangolo ABC è rettangolo. Dopo l'urto le due biglie hanno velocità perpendicolari tra loro. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

7. Il momento angolare Esaminiamo i moti di rotazione. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Il momento angolare Per descrivere le momento angolare: rotazioni (Il vettore quantità di moto ha stessa direzione e verso del vettore velocità. ) Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica introduciamo il

Il momento angolare Ricordando la definizione di prodotto vettoriale, L ha: direzione perpendicolare al piano di r e v; verso dato dalla regola della mano destra; modulo L dato dalle formule: dove è l'angolo tra i vettori r e p. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

8. Conservazione e variazione del momento angolare Il momento angolare totale di un sistema si conserva se è nullo il momento totale delle forze esterne che agiscono sul sistema stesso. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Conservazione e variazione del momento angolare Se sul sistema agiscono delle forze che hanno un momento totale M per un tempo t, la variazione di L è data da: M è il momento torcente del sistema, che è in grado di aumentare o diminuire la velocità di rotazione. Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Conservazione e variazione del momento angolare Come si vede questa formula, che descrive la rotazione di un corpo, è del tutto analoga a quella del teorema dell’impulso, riferito invece alle traslazioni Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Il momento d’inerzia I Il MOMENTO D’INERZIA I di un corpo è una grandezza, dipendente dalla massa del corpo e dalla sua forma geometrica nello spazio, più precisamente da come la massa è dislocata nello spazio rispetto all’asse intorno a cui il corpo ruota. I misura la resistenza che il corpo oppone a modificare la propria velocità angolare (come caso particolare, ad iniziare a ruotare partendo da fermo). Si dimostra che il modulo L del momento angolare è uguale al prodotto tra il momento d’inerzia I e la velocità angolare ω L=Iω Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Il momento d’inerzia I Per un sistema rotante elementare formato da n punti materiali di massa m 1, m 2, … collegati con sbarrette di massa trascurabile e di lunghezza rispettivamente r 1, r 2, … con il centro di rotazione O il momento d’inerzia è I = m 1 r 12 + m 2 r 22 + m 3 r 32 + … Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Il momento d’inerzia I Per corpi rigidi estesi nello spazio il momento d’inerzia I si calcola attraverso il calcolo integrale. Riportiamo qui sotto una tabella con i momenti d’inerzia di alcuni solidi omogenei notevoli Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

8. Energia cinetica di un corpo in rotazione • • Si dimostra che l’energia cinetica di un corpo in rotazione ha una formula del tutto analoga a quella dei corpi che traslano. Se infatti l’energia cinetica di un punto materiale che si muova con velocità v è K= l’ energia cinetica di un corpo che ruota intorno ad un asse è K= Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

8. Massa inerziale e momento di inerzia • • Ricordiamo che la massa inerziale m di un corpo misura la resistenza che esso oppone a modificare la sua velocità , ossia ad accelerare o decelerare (come caso particolare a mettersi in moto partendo da fermo): a parità di forza applicata F, il modulo dell'accelerazione a sarà tanto maggiore quanto minore sarà la massa inerziale m (il che equivale a dire che a parità di forza applicata la massa inerziale e la accelerazione sono due grandezze inversamente proporzionali; sappiamo inoltre che la forza è direttamente proporzionale alla accelerazione , a parità di massa inerziale). • Tutto quello che abbiamo appena ricordato è sintetizzato dalla formula del secondo principio della dinamica • Copyright © 2009 Zanichelli editore F=ma Ugo Amaldi - Corso di fisica

8. Massa inerziale e momento di inerzia • • Analogamente il momento di inerzia I di un corpo misura la resistenza che esso oppone a modificare la sua velocità di rotazione intorno ad un asse, ossia a subire una accelerazione angolare α ( come caso particolare , ad iniziare a ruotare intorno ad un asse partendo da fermo): a parità di momento torcente applicato M l’accelerazione angolare α sarà tanto maggiore quanto minore sarà il momento di inerzia I (il che equivale a dire che a parità di momento torcente il momento di inerzia e l’accelerazione angolare sono due grandezze inversamente proporzionali, mentre il momento torcente è direttamente proporzionale all’accelerazione angolare). Tutto quello che abbiamo appena ricordato è sintetizzato dalla formula M = I α (si noti che M è il modulo di M) che, come si vede, è l’analogo (per le rotazioni) del 2°principio della dinamica (per le traslazioni) Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

Il momento d’inerzia I VIDEO Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica

8. Massa inerziale e momento di inerzia • • Uno sportivo (come una pattinatrice o un tuffatore) che nella sua disciplina stia eseguendo una rotazione può aumentare o diminuire la sua velocità di rotazione modificando il momento di inerzia del proprio corpo: più assumerà una posizione raccolta, minore sarà il suo momento d’inerzia, maggiore sarà la sua accelerazione angolare Copyright © 2009 Zanichelli editore Ugo Amaldi - Corso di fisica