Quantit di moto Definizione Sistemi isolati Teorema degli

Quantità di moto Definizione Sistemi isolati Teorema degli impulsi Moto di un razzo

Quantità di moto • In meccanica, la quantità di moto è una grandezza vettoriale definita come il prodotto della massa dell'oggetto per la sua velocità. • Le dimensioni della quantità di moto sono: [MKS-1], sono cioè le dimensioni di una forza [MKS-2] per un tempo [S]. • La quantità di moto è una grandezza fisica conservativa, che rimane uguale nel tempo. • Quindi in un sistema isolato, dove non ci sono forze esterne dp/dt = 0 • Se invece il sistema non è isolato la variazione della quantità di moto non è nulla, dp/dt ≠ 0, e possiamo dire che dp/dt = F. • La Forza applicata ad un corpo determina una variazione della quantità di moto. • La differenza fra la quantità di moto finale e la quantità di moto iniziale diviso l’intervallo di tempo in cui avviene la variazione (derivata di p), è una forza. • la direzione della forza è data dalla differenza dei vettori quantità di moto (finale ed iniziale).

Quantità di moto e Impulso • La seconda legge di Newton lega l’azione di una forza alla variazione di p • ovvero il prodotto FDt (meglio noto come impulso) è l’equivalente alla variazione della quantità di moto

Impulso J J l’impulso è anche definito come l’integrale del prodotto della forza per il tempo ed è pari alla variazione della quantità di moto. Le aree sotto le due curve di figura sono uguali è sono entrambe un impulso. Quindi conoscere l’impulso vuole dire conoscere solo il valore della forza media

Applicazione dell’impulso • L’impulso è un concetto che si utilizza quando una forza molto intensa esercita la sua azione per un tempo estremamente breve (urti). • In questo caso ha senso conoscere solo la forza media <F> che interviene durante l’urto e si ottiene conoscendo la massa del corpo e le velocità prima e dopo l’urto.

Esempio di uso dell’impulso Una palla di 200 g lanciata alla velocità di 100 km/h, viene colpita da un bastone e torna indietro nella stessa direzione, con F una velocità di 150 km/h. Se il tempo di contatto tra bastone e palla non supera i 2 milliecondi, dire quale è la forza media <F> esercitata dal bastone sulla palla t 1 t 2 t

Altro esempio Un ragazza di 50 kg salta da un tavolino alto 1 m e atterrando flette le ginocchia di circa 5 cm. Quale è la forza media con cui la ragazza colpisce il pavimento ? • Dp è la variazione fra la velocità di atterraggio e la velocità di rimbalzo che non si conosce, ma si può ricavare supponendo una decelerazione costante. • La velocità con cui arriva al suolo è data da v 2 = v 02 +2 gh ovvero v = √ 2 gh • Supponendo che la flessione delle ginocchia sia il risultato di una decelerazione lineare; dalla relazione che lega lo spazio percorso e il tempo impiegato, cioè x-x 0 = ½ (vi+vf) Dt con x-x 0 = d (flessione delle ginocchia) e (vi+vf) pari a vi perché la vf = 0, avremo Dt = 2 d/v e Dp = 0 - mvi

Conservazione del momento • In un sistema isolato non ci sono forze esterne, quindi la relazione F = dp/dt diventa dp/dt = 0. Ma se la derivata è zero la funzione primitiva deve essere costante. • Quindi possiamo dire che in un sistema isolato la quantità di moto p si conserva (III legge di Newton) • Supponiamo di avere due corpi di massa m 1 ed m 2, fermi su un binario privo di attrito separati da una molla e tenuti insieme da uno spago. Appena lo spago viene tagliato i due corpi si dirigeranno nella direzione opposta con velocità tali che la somma vettoriale mv 1 + mv 2 deve essere uguale alla quantità di moto che aveva prima del taglio dello spago. Cioè deve essere nulla.

La forza di reazione Esercizio ipotetico Un uomo al centro di un lago ghiacciato indossa pattini assolutamente privi di attrito, cosa fa per arrivare alla riva? In questa situazione la quantità di moto iniziale p 0 = 0 è deve rimaner zero in qualunque istante successivo. Soluzione se lancio un guanto con una forza Fx nella direzione delle X crescenti, questa forza dovrà essere bilanciata da un’altra forza –Fx nella direzione opposta. Le forze i gioco hanno modulo uguale e versi opposti, ma i corpi a cui esse sono applicate hanno masse molto diverse, per cui le accelerazioni che il guanto ed il pattinatore subiscono saranno inversamente proporzionali alle loro masse. Cioè se il al guanto ha una massa 1000 volte più piccola dell’uomo, questi si muoverà con una accelerazione 1000 volte più piccola del guanto.

Moto di un razzo Al tempo t si osservi, da un sistema inerziale, il moto di un razzo e supponiamo: 1. che il moto razzo non risenta della forze di gravità 2. che il razzo abbia velocità v e massa M Dopo un tempo dt il razzo avrà gettato una massa d. M con velocità + U rispetto al nostro sistema di riferimento. Il sistema razzo + gas di scarico dovra’ conservare la propria quantità di moto pi = pf quindi Mv = d. M U + (M - d. M)(v + dv) Dal sistema del razzo, avremo che la velocità di scarico u vale u = (v +dv) - U ovvero U = v + dv - u e sostituendo Mv = d. Mv + d. Mdv - d. Mu + Mv - d. Mv + Mdv - d. Mdv Pertanto resta d. Mu = Mdv Dividendo per l’unità di tempo dt si avrà: Ru = Ma (Ru è la spinta del razzo)

Calcolo della velocità del razzo • R = d. M/dt ed u = (v + dv) - U ; cioè sono la quantità di carburante che si brucia nell’unità di tempo e la velocità del gas di scarico rispetto alla velocità del razzo stesso (la temperatura a cui brucia il gas di scarico) • La velocità del razzo in funzione della massa di carburante bruciata è: che integrata da La soluzione di questo integrale da il valore della velocità finale corrispondente alla diminuzione della massa totale del razzo