Il moto armonico Altro esempio interessante di moto

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Il moto armonico • Altro esempio interessante di moto è quello armonico caratterizzato dal

Il moto armonico • Altro esempio interessante di moto è quello armonico caratterizzato dal fatto che l’accelerazione è proporzionale all’opposto della posizione: a=-w 2 x con w una costante positiva (s-1) • L’equazione differenziale caratteristica del moto armonico è: x è la posizione del punto materiale L’accelerazione è nulla nell’origine e diventa sempre più grande, sempre diretta verso l’origine, mano che ci si allontana da essa a 2 x 2 a 1 O x 1 La ricerca della soluzione dell’eq. diff. è un po’ più complicata che negli altri casi, ma ci si può arrivare aggirando l’ostacolo G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il moto armonico • Andiamo cercando una funzione del tempo, x(t), tale che la

Il moto armonico • Andiamo cercando una funzione del tempo, x(t), tale che la sua derivata seconda rispetto al tempo sia uguale alla stessa funzione x(t), cambiata di segno e moltiplicata per una costante positiva. • Tra le funzioni che conosciamo, le funzioni senq e cosq hanno la proprietà che la loro derivata seconda rispetto a q è uguale all’opposto della funzione stessa. • Infatti: • Le funzioni seno e coseno potrebbero farci comodo. • Le funzioni seno e coseno sono funzioni dell’angolo • A noi servono delle funzioni del tempo: – Possiamo provare con le funzioni sen(k 1 t) e cos(k 2 t), k 1 e k 2 due costanti aventi dimensioni di un tempo alla meno uno, così che moltiplicate per t danno un numero puro che è compatibile come argomento delle funzioni seno e coseno. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il moto armonico • Proviamo: • le funzioni sen(k 1 t) e cos(k 2

Il moto armonico • Proviamo: • le funzioni sen(k 1 t) e cos(k 2 t) sono soluzioni dell’equazione differenziale del moto armonico se k 1=k 2=w w = pulsazione angolare ha le dimensioni rad/s • Possiamo dunque scrivere l’integrale generale dell’equazione differenziale del moto armonico nella forma: • Le costanti reali a e b ci consentono di determinare le infinito alla due soluzioni dell’equazione differenziale del moto armonico. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il moto armonico • È meglio riscrivere l’integrale generale in una forma leggermente diversa:

Il moto armonico • È meglio riscrivere l’integrale generale in una forma leggermente diversa: • Scegliamo A e j in modo che: • L’integrale generale diventa: • Poiché il cos(wt+j) varia tra -1 e 1, x(t) varia tra -A e A • A si chiama Ampiezza del moto • wt+j si chiama fase del moto • j è la fase iniziale: il valore della fase quando t=0 Ampiezza Fase iniziale G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il moto armonico e la fase -A O A vx -A O A O

Il moto armonico e la fase -A O A vx -A O A O A vx -A G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il moto armonico è periodico • Il punto materiale ripassa ad intervalli regolari, dopo

Il moto armonico è periodico • Il punto materiale ripassa ad intervalli regolari, dopo ogni periodo T, per la stessa posizione. • Cerchiamo l’intervallo T imponendo che la posizione del punto materiale all’istante t+T sia la stessa che aveva all’istante t: • Noi vogliamo anche la velocità sia la stessa: Le due condizioni si verificano se: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il moto armonico - le condizioni iniziali • I valori dell’Ampiezza e della Fase

Il moto armonico - le condizioni iniziali • I valori dell’Ampiezza e della Fase iniziale si determinano in base alle condizioni iniziali • Supponiamo che x(t=0 s)=xo • e che la velocità a t=0 s sia uguale a vox. • All’istante di tempo t=0: • Quadrando e sommando: • Dividendo membro a membro la seconda per la prima: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il moto armonico il grafico orario T G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il moto armonico il grafico orario T G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il moto alternativo del pistone all’interno del cilindro è approssimativamente armonico. Scrivere la legge

Il moto alternativo del pistone all’interno del cilindro è approssimativamente armonico. Scrivere la legge oraria del pistone sapendo che il motore compie 3000 giri al minuti, che la corsa del pistone è di 10 cm, in un sistema di riferimento avente origine a metà della corsa del pistone e supponendo di far partire la misura dei tempi quando il pistone si trova a metà corsa andando verso destra. O Appli cazio ne x • Legge oraria del moto armonico quando l’origine del sistema di riferimento si trova nel centro delle oscillazioni – Questo è anche il nostro caso – Dobbiamo determinare A, w e j. – A è uguale a metà della corsa (A=5 cm) – Per trovare w osserviamo che ogni giro del motore il pistone si riporta nella stessa posizione. Valutiamo quanto dura un giro del motore questo sarà il periodo del moto armonico – j lo valutiamo sulla base delle condizioni iniziali G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

 • Dobbiamo determinare la durata di un giro dell’albero motore. • Il legame

• Dobbiamo determinare la durata di un giro dell’albero motore. • Il legame tra il periodo e la pulsazione angolare w nel moto armonico è dato da: • La legge oraria e la velocità diventano: • • Dobbiamo valutare j, sulla base delle condizioni iniziali, A t=0, xo=0 m, mentre vxo è positiva (il pistone si sta muovendo nella direzione positiva dell’asse delle x) dalla prima equazione: • Appli cazio ne La seconda soluzione è quella compatibile con una velocità positiva G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Moto in tre dimensioni • Traiettoria: luogo di punti via occupati dal punto materiale

Moto in tre dimensioni • Traiettoria: luogo di punti via occupati dal punto materiale • La posizione del punto materiale viene individuato dal vettore posizione • Il vettore posizione rappresenta lo spostamento a partire dall’origine per raggiungere la posizione del punto materiale • Legge oraria: posizione in funzione del tempo. • Le componenti cartesiane del vettore posizione sono le coordinate del punto materiale • Il moto nello spazio è la composizione di tre moti rettilinei dei punti proiezione sugli assi coordinati Equaz. parametriche della traiettoria G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La velocità vettoriale media • Lo spostamento del punto materiale in Dt • Si

La velocità vettoriale media • Lo spostamento del punto materiale in Dt • Si definisce velocità media nell’intervallo Dt • Se il punto materiale nell’intervallo Dt viene costretto a muoversi con la velocità media, allora si muoverà sul segmento che connette il punto P(t) al punto P(t+ Dt) • La descrizione del moto non è accurata • Un miglioramento si ottiene se si scelgono intervalli più piccoli G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La velocità vettoriale istantanea • Si fissa l’istante t • Si fissa un intervallo

La velocità vettoriale istantanea • Si fissa l’istante t • Si fissa un intervallo Dt maggiore di zero • Si calcola la velocità media nell’intervallo Dt • Si definisce la velocità istantanea come • La velocità vettoriale tende ad assumere la direzione tangente alla traiettoria nel punto P(t). • Il verso è quello del moto. • La velocità vettoriale è la derivata del vettore posizione valutata all’istante t. Attenzione è la derivata di un vettore G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La velocità riferita alla traiettoria • Indichiamo con Ds il percorso effettuato sulla traiettoria

La velocità riferita alla traiettoria • Indichiamo con Ds il percorso effettuato sulla traiettoria dal punto materiale. • Osserviamo che per • La velocità media può essere scritta: • Il limite per Dt che tende a zero ci darà la velocità scalare istantanea. • Supponiamo di poter calcolare il limite del rapporto incrementale nel seguente modo: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La velocità riferita alla traiettoria • Osserviamo che • La lunghezza dell’arco, per Dt,

La velocità riferita alla traiettoria • Osserviamo che • La lunghezza dell’arco, per Dt, o Ds che tende a zero diventa uguale alla lunghezza della corda • Abbiamo già osservato che lo spostamento, per Dt che tende a zero, si dispone lungo la direzione della tangente alla traiettoria nel punto considerato nel verso del moto. • Quindi possiamo porre • La velocità istantanea può essere scritta: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il moto in tre dimensioni • La lezione non è completa • Fare riferimento

Il moto in tre dimensioni • La lezione non è completa • Fare riferimento alle “Dispense del corso di Fisica Generale per Ing. Edile” G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03