La quantit di moto La quantit di moto

La quantità di moto • La quantità di moto di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le quantità di moto di ciascun punto materiale • Ricordando l’espressione della velocità del centro di massa • La quantità di moto di un sistema di punto materiali è proprio uguale alla quantità di moto del Centro di Massa – Centro di massa: • massa pari alla massa totale del sistema • velocità uguale alla velocità del centro di massa Per quanto riguarda la quantità di moto, il centro di massa rappresenta completamente il sistema di particelle. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

I equazione cardinale della dinamica dei sistemi di punti materiali • • • La derivata della quantità di moto di un sistema di punti materiali è uguale alla risultante delle sole forze esterne È equivalente al teorema del centro di massa G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La conservazione della quantità di moto • Se la risultante delle forze esterne è nulla • la quantità di moto delle singole particelle agenti sul sistema possono variare, ma la quantità di moto totale del sistema rimane costante in modulo, direzione e verso. Un sistema isolato è un sistema molto lontano da altri corpi e quindi non soggetto a forze esterne: la quantità di moto di un sistema isolato si conserva. La conservazione della quantità di moto è equivalente alla terza legge di Newton • • Noi abbiamo ricavato la conservazione della quantità di moto dalle leggi di Netwon: in realtà il principio di conservazione della quantità di moto è un principio più generale: vale anche al di fuori della meccanica classica. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• Un’astronave di massa totale M staviaggiando nelle profondità dello spazio con una velocità vi=2100 km/h rispetto al sole. Espelle uno stadio posteriore di massa 0. 20 M alla velocità relativa u=500 km/h rispetto all’astronave, diretta lungo l’asse x. Quanto diventa la velocità dell’astronave rispetto al sole? Applic azione Indichiamo con U la velocità dello stadio posteriore rispetto al sole. Siamo molto lontani da qualsiasi altro corpo, quindi le forze esterne sono nulle. La quantità di moto si conserva. Consideriamo il sole come un sistema di riferimento inerziale La quantità di moto iniziale è diretta lungo l’asse x La quantità di moto finale dello stadio posteriore è anch’essa diretta lungo l’asse x Anche la quantità di moto del resto dell’astronave sarà diretta lungo l’asse x G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

La conservazione parziale della quantità di moto • La I equazione cardinale della dinamica dei sistemi è una relazione vettoriale • Se il sistema non è isolato, allora la risultante non sarà nulla – È possibile che alcune delle componenti della risultante siano nulli – Allora si conservano le corrispondenti componenti della quantità di moto G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• Nella figura si vede un vagone ferroviario a pianale basso di massa M che è libero di muoversi senza attrito su un binario rettilineo orizzontale. Applic All’inizio un uomo di massa m sta fermo sul vagone che viaggia verso destra azione con velocità vo. Quale sarà la variazione di velocità del vagone se l’uomo si metterà a correre verso sinistra con una velocità vrel rispetto al vagone? Si assuma vo=1 m/s, vrel=5 m/s, m=70 kg, M=1000 kg. In questo caso le forze esterne non sono nulle: peso del vagone, peso dell’unomo, reazione vincolare del binario (solo componente normale). Però le forze sono tutte verticali Si conserva la quantità di moto orizzontale, in x particolare quella diretta secondo i binari. Il sistema di riferimento è quello dei binari (inerziale). vu velocità dell’uomo rispetto ai binari Dai moti relativi G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

L’energia cinetica di un sistema di punto materiali • Come già visto nel caso della quantità di moto: • L’energia di un sistema di punti materiali è la somma dell’energia cinetica dei singoli punti materiali. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il sistema di riferimento del centro di massa • Il sistema di riferimento del CM è un sistema di riferimento avente – Origine nel Centro di Massa CM – Assi paralleli a quelli del sistema inerziale in cui si studia il moto del sistema. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il I teorema di Konig • L’energia cinetica di un sistema di particelle è uguale all’energia cinetica del centro di massa più l’energia cinetica del sistema di particelle misurata nel sistema di riferimento del CM. • Dimostrazione: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il I teorema di Konig • Per quanto riguarda l’energia cinetica, il CM non rappresenta completamente il sistema di particelle, occorre aggiungere l’energia cinetica del moto relativo al centro di massa. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Estensione del teorema delle forze vive ai sistemi di punti materiali • Per ogni particella del sistema G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il lavoro delle forze interne • Abbiamo già osservato che le forze interne esistono a coppie. • Consideriamo le particelle i e j • Facciamo vedere che il lavoro complessivo fatto delle forze interne tra le particelle i e j è nullo se la distanza tra le due particelle resta costante! Spostamenti uguali i ferma, j moto circolare attorno a i G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il lavoro delle forze interne • Per valutare il lavoro fatto dalle forze interno consideriamo la particella i ferma e la particella j che si sposta facendo variare la distanza tra le due particella • Il lavoro complessivo fatto delle forze interne di un sistema di particelle è nullo se le distanze tra le particelle restano costanti! G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Estensione della conservazione dell’energia ai sistemi di punti materiali • Se tutte le forze interne ed esterne sono conservative • Allora si può definire una funzione energia potenziale relativa a tutto il sistema ed è uguale alla somma delle energie potenziali dei singoli punti materiali Ui è la somma delle energie potenziali della particella i – In altri termini la somma va estesa a tutte le forze interne ed esterne agenti sulla particella i • Poiché per ogni particella vale la conservazione dell’energia, allora essa vale anche per tutto il sistema. • Se tutte le forze sono conservative, l’energia meccanica totale del sistema rimane costante durante il moto. • Se, alcune delle forze agenti, siano esse interne od esterne, sono non conservative, allora vale la relazione lavoro-energia: • Wnc è il lavoro di tutte le forze non conservative. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

L’energia potenziale della forza peso • Per ciascuna particella: • L’energia potenziale è uguale al prodotto della massa totale del sistema di particelle per l’accelerazione di gravità per la quota del CM. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• Un bastone assimilabile ad una sbarretta omogenea di massa m 0. 5 kg e lunghezza L=1 m. Inizialmente il bastone ha n estremo a contatto con il pavimento e viene lasciato cadere partendo da una posizione pressoché verticale. Determinare il lavoro fatto dalla forza peso. y Applic azione Posizione iniziale Posizione finale x Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• y L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0. 5 kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1 kg di 20 cm di diametro. Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale Posizione iniziale Applic azione x Posizione finale Il pendolo poi prosegue oltre questa posizione (in assenza di attriti raggiunge la posizione simmetrica a quella di partenza rispetto all’asse di rotazione e poi ritorna indietro e oscilla tra la posizione iniziale e quella simmetrica rispetto all’asse di rotazione) G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• y L’elemento oscillante di un pendolo, di cui abbiamo già determinato la posizione del CM, è costituito da una sbarretta di massa ms=0. 5 kg e lunga 50 cm a cui è attaccata un disco di massa md=1 kg di 20 cm di diametro. Esso è libero di ruotare attorno ad un asse passante per l’estremo libero della sbarretta. Supponendo di lasciarlo cadere quando la sbarretta è orizzontale, determinare il lavoro fatto dalla forza peso nello spostamento dalla posizione iniziale alla posizione in cui la sbarretta è verticale Posizione iniziale Applic azione x Ricordando il calcolo della posizione del CM già fatto nella lezione precedente d 1=. 22 m Scegliendo come piano orizzontale a cui attribuire energia potenziale zero il piano y=0, otteniamo G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

• Una maniera alternativa per arrivare allo stesso risultato parte dall’osservazione che l’energia potenziale di un sistema di punti materiali si ottiene sommando le energie potenziali delle singole particelle: Applic azione y x Che, a parte errori di arrotondamento, è uguale al valore trovato con l’altro metodo. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Momento della quantità di moto, o momento angolare, di un sistema di punti materiali • Per ciascuna particella • Il momento della quantità di moto o momento angolare dell’intero sistema rispetto al polo O, è dato da: G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Cambiamento di polo • Naturalmente possimo calcolare il momento della quantità di moto rispetto a qualsiasi punto, non necessariamente l’origine! G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa • Se O’ coincide con il centro di massa CM • • • Il momento della quantità di moto valutato rispetto al centro di massa assume lo stesso valore sia se viene calcolato nel sistema Oxyz che nel sistema di riferimento del CM. Il momento della quantità di moto rispetto al polo O è uguale al momento della quantità di moto del centro di massa rispetto al polo O + il momento della quantità di moto rispetto al centro di massa (II teorema di Konig) Il CM non rappresenta del tutto il sistema G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

Teorema del momento angolare II equazione cardinale della dinamica • • • Se le particelle del sistema sono in moto, variano le loro posizioni e potrebbe anche variare la loro velocità. Il momento della quantità di moto rispetto al polo O varia. Valutiamo la rapidità con cui varia. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03

II equazione cardinale della dinamica dei sistemi • Il momento risultante delle forze interne è nullo: • Pertanto la variazione del momento della quantità di moto di un sistema di punti è uguale al momento risultante delle sole forze esterne • Mentre nel caso del punto materiale questa equazione è equivalente alla II legge della dinamica • Nel caso dei sistemi di punti, la I e la II equazione cardinale, sono indipendenti e quindi forniscono informazioni complementari. • • O = origine del sist. Rif O = punto fisso O = CM (SRI o SCM) O punto mobile ma con velocitàB-Automazione parallela a 2002/03 v. CM G. M. - Informatica

Possibile uso della seconda equazione cardinale • Si consideri una carrucola il cui asse è ancorato al soffitto, su cui è avvolta una corda. • Applichiamo all’estremo libero della corda una forza F. • La prima equazione cardinale della dinamica non ci da alcuna informazione sul moto della carrucola, ci permette solo di determinare l’intensità della reazione vincolare. • La seconda equazione cardinale della dinamica dei sistemi non è banalmente soddisfatta • Questa equazione ci può dare informazioni sul moto di rotazione della carrucola attorno all’asse passante per il centro di massa. G. M. - Informatica B-Automazione 2002/03