Palermo Filomena Il moto armonico MOTO OSCILLATORIO Consideriamo

Palermo Filomena

Il moto armonico

MOTO OSCILLATORIO Consideriamo la proiezione Q sul diametro del cerchio di un punto P che si muove di moto circolare uniforme lungo una circonferenza. Mentre P percorrerà la circonferenza, Q si muoverà lungo il diametro una volta da destra a sinistra e l’altra da sinistra a destra.

Questo tipo di moto è caratterizzato dall'entità massima dello spostamento rispetto alla posizione di equilibrio, definita ampiezza di oscillazione A e dall'intervallo di tempo che il moto impiega per ripetersi, definito periodo di oscillazione T. In stretto rapporto con il periodo è la frequenza di oscillazione f, definita come il numero di cicli di oscillazione nell'unità di tempo.

La frequenza ed il periodo sono l'una l'inverso dell'altra: Dall'analisi di questo tipo di moto risulta che la velocità ha intensità variabile nel tempo e l'accelerazione è proporzionale allo spostamento

Esempi di moti armonici L’oscillatore armonico l Il pendolo l Due cariche l Circuiti RLC l L’elettrone l

L’oscillatore armonico Consideriamo ora l’ applicazione della legge di Newton nel caso in cui siano presenti forze elastiche o di richiamo, ovvero forze che sono proporzionali e opposte allo spostamento del punto materiale da una certa posizione di equilibrio:

Oscillatore armonico Un caso elementare in cui entrano in gioco forze elastiche è quello di una massa m appoggiata ad un piano liscio (= senza attriti) legata ad un vincolo tramite una molla. l 0 N mg Le quantità fisiche rilevanti per la descrizione della molla sono due: • Lunghezza a riposo: è la lunghezza assunta dalla molla quando la risultante delle forze agenti su di essa parallela alla direzione di deformazione è nulla. • Costante elastica: è la costante di proporzionalità fra la deformazione della molla (allungamento o compressione) e la forza di richiamo da essa esercitata.

Oscillatore armonico Torniamo ora al nostro oscillatore sul piano orizzontale. Supponiamo di spostare la massa m in modo da cambiare la lunghezza della molla. Fel N La deformazione della molla origina una forza di richiamo sulla massa m. l 0 x mg In questo caso non c’è nessuna forza che possa equilibrare la forza elastica: il sistema si metterà in moto.

Oscillatore armonico Le equazioni del moto per il sistema saranno: Fel N l 0 x mg

Oscillatore armonico l 0 Come determiniamo la costante elastica di una molla? Misuriamo ad esempio l’ allungamento in condizioni di equilibrio che otteniamo appendendo delle masse m, 2 m, 3 m, … alla molla in posizione verticale. Dx x m

Oscillatore armonico Ciascuno dei valori di Dx=(x-l 0) misurati, corrisponde a una posizione in cui la forza peso viene bilanciata esattamente dalla forza elastica. L’ esperimento ci dice che l’ allungamento della molla e’ proporzionale secondo una certa costante a mg, che dovrà anche essere eguale al modulo della forza elastica: Dx x Fel mg e considerando i versi di Dx e Fel La costante elastica k ha le dimensioni di una forza divisa per una lunghezza. La sua unità di misura MKS e’ N/m

Oscillatore armonico Consideriamo solo la componente dell’ equazione lungo x (stiamo assumendo che la molla si possa deformare solo in direzione longitudinale!). Questa mi da’ un’ equazione differenziale di questo tipo: Possiamo per il momento supporre di prendere l’ origine del nostro asse x in corrispondenza della lunghezza a riposo della molla. Questo permette di semplificare l’ equazione:

Oscillatore armonico Questo implica che la relazione e’ soddisfatta solo se: La costante w e’ detta pulsazione dell’ oscillatore, e dipende solo da caratteristiche intrinseche al sistema (la costante elastica e la massa). La pulsazione si misura in radianti/secondo, ed ha la dimensione di un tempo inverso. Che significato ha w? Sappiamo che sin(x) e cos(x) sono funzioni periodiche, di periodo 2 p. Questo significa che il nostro oscillatore ripasserà per la stessa posizione ogni qualvolta si abbia:

Oscillatore armonico T rappresenta quindi l’ intervallo di tempo che trascorre fra due istanti in cui il corpo occupa la stessa posizione. Questo e’ detto periodo dell’ oscillazione, ed e’ legato alla pulsazione dalla seguente relazione: L’ inverso del periodo e’ la frequenza n dell’ oscillazione, ovvero il numero di oscillazioni che il sistema compie per unità di tempo. Asin(wt+f) T t L’ unità di misura MKS della frequenza e’ l’ Hertz (s-1).

Oscillatore armonico Cosa possiamo dire delle altre due costanti che compaiono nella legge oraria? Asin(wt+f) Asin(f) A t A e’ detta ampiezza dell’ oscillazione, e rappresenta il modulo dello spostamento massimo dalla posizione di equilibrio f e’ detta fase dell’ oscillazione, ed e’ legata allo spostamento iniziale rispetto alla posizione di equilibrio, che e’ dato da Asin(f).

Oscillatore forzato Riconsideriamo ora il caso dell’ oscillatore verticale, in cui, oltre alla forza elastica, agisce la forza peso. Abbiamo visto che la condizione di equilibrio e’ data da: Dx x Fel mg Cosa succede se spostiamo la massa da questa posizione di equilibrio? Naturalmente la forza peso e la forza elastica non si equivalgono più e il sistema inizia ad oscillare, come nel caso visto in precedenza. Tuttavia possiamo intuire che ci sono alcune differenze: che ruolo ha la forza peso nel moto?

Oscillatore forzato Scriviamo ora l’ equazione del moto per il nostro sistema. Anche in questo caso possiamo trovare un sistema di riferimento in cui il problema risulta essere unidimensionale. l 0 Scriviamo la corrispondente equazione differenziale: Fel che possiamo riscrivere come: x mg

Oscillatore forzato L’espressione trovata per la legge oraria ci dice che: che coincide con la posizione di equilibrio calcolata in precedenza; • la pulsazione delle oscillazioni non cambia rispetto a quella dell’ oscillatore libero. Asin(wt+f) +xeq • le oscillazioni avvengono intorno a un valore costante xeq t

Pendolo Consideriamo un sistema formato da una massa m appesa ad un filo inestensibile di lunghezza L. Le forze che agiscono sulla massa sono in questo caso la forza peso e la tensione del filo, come illustrato in figura. L q(t) T mg Il moto della massa e’ vincolato dal filo su un arco di circonferenza. Analogamente a quanto gia visto in cinematica nella descrizione del moto circolare, possiamo utilizzare come variabile per descrivere il moto l’angolo formato dal filo con la direzione verticale.

Pendolo Il diagramma delle forze agenti sulla massa e’ quindi il seguente: T eq er mg q(t) Ci conviene usare un sistema di riferimento con un asse nella direzione istantanea del filo (radiale) e l’ altro ad esso perpendicolare (tangente quindi alla traiettoria del pendolo). In questo sistema di riferimento scomponiamo la forza peso, e scriviamo l’ equazione del moto. Notare che il verso degli assi e’ stato preso consistentemente con la nostra definizione di angolo positivo.

Pendolo Le equazioni del moto sono quindi le seguenti: Notare la presenza nella prima equazione dell’ espressione per l’accelerazione centripeta che abbiamo incontrato descrivendo il moto circolare. La seconda equazione ci da’ invece un’ espressione per l’ accelerazione tangenziale. Le due equazioni non sono più disaccoppiate: per ricavare il valore della tensione del filo dobbiamo conoscere la velocità. La seconda equazione tuttavia non dipende da T, e quindi possiamo risolverla in maniera indipendente.

Pendolo L’equazione del moto per la parte tangenziale e’ quindi: In questa forma questa equazione e’ risolvibile solo numericamente. Supponiamo tuttavia che l’ angolo q(t) sia molto piccolo. In questo caso, se la suo valore e’ espresso in radianti, e’ possibile fare la seguente approssimazione (per piccoli angoli): In questa approssimazione l’ equazione del moto tangenziale diventa:

Pendolo Questa equazione e’ identica a quella dell’ oscillatore armonico, con l’ unica differenza che la variabile questa volta e’ l’ angolo q(t). Conosciamo gia la soluzione di questa equazione, che scriveremo come: dove la pulsazione e’ data dalla famosa relazione: Il moto del pendolo e’ quindi oscillatorio, con periodo costante e indipendente dall’ ampiezza delle oscillazioni a patto che queste non siano troppo ampie (questa osservazione risale a Galileo).